重難點(diǎn)12 與圓相關(guān)的6種模型-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類(lèi)討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類(lèi)討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想：體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難轉(zhuǎn)簡(jiǎn)，把不熟轉(zhuǎn)熟，把未知轉(zhuǎn)為已知的問(wèn)題。
重難點(diǎn)突破12 與圓有關(guān)的6種模型
（四點(diǎn)共圓、圓冪定理、垂徑定理、定弦定角、定角定高、
阿基米德折弦定理）目錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157674849" 題型01 四點(diǎn)共圓
\l "_Tc157674850" 題型02 圓冪定理
\l "_Tc157674851" 題型03 垂徑定理
\l "_Tc157674852" 題型04 定弦定角
\l "_Tc157674853" 題型05 定角定高模型（探照燈模型）
\l "_Tc157674854" 題型06 阿基米德折弦定理
題型01 四點(diǎn)共圓
1. 四點(diǎn)共圓的判定
【擴(kuò)展】
托勒密定理：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.
證明:過(guò)點(diǎn)C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，
∴△ACD∽△BCP.∴ACBC=ADBP，則AC·BP=AD·BC ①.
∵∠1=∠2 ∴∠1+∠ACP=∠2+∠ACP 則∠ACB=∠DCP 而∠5=∠6
∴△ACB∽△DCP.∴ACCD=ABDP，則AC·DP=AB·CD ②.
①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC

2. 四點(diǎn)共圓的性質(zhì)
1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等（如下圖1，∠BAC=∠BDC）；
2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（如下圖2，∠1=∠2）；
3) 圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角（如下圖3，∠1=∠3）.
1．（2020·山東東營(yíng)·東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D放置的兩個(gè)正方形，大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，小正方形CEFG邊長(zhǎng)為b（a＞b），M在BC邊上，且BM＝b，連接AM，MF，MF交CG于點(diǎn)P，將△ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADN，將△MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至△NGF．給出以下五個(gè)結(jié)論：①∠AND＝∠MPC；②CP=b?b2a；③△ABM≌△NGF；④S四邊形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四點(diǎn)共圓．其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，Rt△ABC中，AB=AC=122，Rt△ADE中，AD=AE=62，直線BD與CE交于P，當(dāng)∠EAD繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，P到直線AB距離的最大值是．
3．（2019·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于點(diǎn)E，EA平分∠BED．
（1）CD的長(zhǎng)是；
（2）當(dāng)點(diǎn)F是AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是．
4．（2021上·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接BC．過(guò)點(diǎn)A垂直于AB的直線與過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的直線交于點(diǎn)D，連接BD，則sin∠BDC的值是．
5．（2023下·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題提出如圖1，點(diǎn)E為等腰△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC，∠BAC=α，將AE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到AD，求證：△ABE≌△ACD．
嘗試應(yīng)用如圖2，點(diǎn)D為等腰Rt△ABC外一點(diǎn)，AB=AC，BD⊥CD，過(guò)點(diǎn)A的直線分別交DB的延長(zhǎng)線和CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，M，求證：S△ABN+S△ACM=12AN?AM．
問(wèn)題拓展如圖3，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，∠BDA=∠BEA=60°，AE，BD交于點(diǎn)H．若CE=a，AH=b，直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)度（用含a，b的式子）．
6．（2022上·江蘇鹽城·九年級(jí)校考期中）如圖，以點(diǎn)P?1,0為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），AD=2，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△MCB．
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)動(dòng)直線l從與BM重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG．請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小是否變化？若不變，求出∠MQG的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
7．（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）射線AB與直線CD交于點(diǎn)E，∠AED＝60°，點(diǎn)F在直線CD上運(yùn)動(dòng)，連接AF，線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，連接FG，EG，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．
(1)如圖1，點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)時(shí)，EG與GH的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)如圖2，點(diǎn)F和點(diǎn)G在射線AB的兩側(cè)時(shí)，線段EF，AE，GH之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
(3)若點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)，AE=1，EF=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出HG的長(zhǎng)．
8．（2021·福建·校聯(lián)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為E，CF⊥AB于點(diǎn)F，直線CF與直線BD于點(diǎn)G．
（1）若點(diǎn)G在⊙O內(nèi)，如圖1，求證：G和D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)；
（2）連接AG，若AG=BC，且AG與⊙O相切，如圖2，求∠ABC的度數(shù)．
9．（2021上·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠CED，AC=8，BC=6，點(diǎn)D在邊AB上，射線CE交射線BA于點(diǎn)F．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上時(shí)，聯(lián)結(jié)AE．
①求證：AE∥BC；
②若EF=12CF，求BD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)直線AE與直線CD交于點(diǎn)P，若△PCE為等腰三角形，求BF的長(zhǎng)．
10．（2022·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：
(1)填空：
①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；
②依據(jù)2指的是________．
(2)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．
(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，BD=CF，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．
11．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過(guò)探究得出：在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問(wèn)題：
如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°

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