2、學會運用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學思想。
3、要學會搶得分點。一道中考數(shù)學壓軸題解不出來，不等于“一點不懂、一點不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。
4、學會運用等價轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。
5、學會運用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
重難點突破10 與四邊形有關(guān)7種模型
（垂美四邊形、中點四邊形、梯子模型、正方形半角模型、四邊形折疊模型、十字架模型、對角互補模型）
目 錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157081899" 題型01 垂美模型
\l "_Tc157081900" 題型02 中點四邊形
\l "_Tc157081901" 題型03 梯子模型
\l "_Tc157081902" 題型04 正方形半角模型
\l "_Tc157081903" 題型05 四邊形翻折模型
\l "_Tc157081904" 題型06 十字架模型
\l "_Tc157081905" 題型07 對角互補模型
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定
題型01 垂美模型
【模型介紹】對角線互相垂直的四邊形為垂美四邊形.
1．（2020·四川雅安·中考真題）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=2，BC=4，則AB2+CD2= ．
2．（2022·安徽安慶·統(tǒng)考二模）我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形（如圖1）．下面就讓小聰同學帶領(lǐng)你們來探索垂美四邊形的奧秘吧！請看下面題目：
（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．
（2）試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系．猜想結(jié)論：（要求用文字語言敘述） 寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證、證明）．
（3）如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，則GE長為 ．(直接寫出結(jié)果，不需要寫出求解過程)
3．（2021·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；
（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．猜想：AB2+CD2與AD2+BC2有什么關(guān)系？并證明你的猜想．
（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的長．
4．（2019·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；
(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2=AD2+BC2；
(3)解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的長．
5．（2018·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學?？级＃╅喿x理解：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質(zhì)：
垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．
已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點E．
求證：AD2+BC2=AB2+CD2
證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形
∴AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
拓展探究：
（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．
（2）如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；
問題解決：
如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE長．
題型02 中點四邊形
【模型介紹】依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.
中點四邊形的性質(zhì)：
已知點E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點，則
①四邊形EFGH是平行四邊形 ②CEFGH =AC+BD ③sEFGH =12sABCD
證明：
結(jié)論一：順次連接任意四邊形各邊中點所組成的四邊形是平行四邊形.
結(jié)論二：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和.
結(jié)論三：中點四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.
結(jié)論四：順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所組成的四邊形是矩形.
結(jié)論五：順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是菱形.
結(jié)論六：順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是正方形.
速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.
6．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，順次連接菱形ABCD各邊中點E、F、G、H，則四邊形EFGH的周長為（ ）

A．4+23B．6+23C．4+43D．6+43
7．（2018·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點E、F、G．H分別是菱形ABCD各邊的中點，則四邊形EFGH是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四邊形
8．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
任務：
(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．
依據(jù)2是指：_____________．
(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）
(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,BD長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

9．（2017·吉林長春·中考真題）【再現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，可以得到：DE∥BC，且DE=12BC．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．
【應用】在（1）【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是： ．（只添加一個條件）
（2）如圖③，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，對角線AC，BD相交于點O．若AO=OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為 ．
10．（2016·甘肅蘭州·中考真題）閱讀下面材料：
在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？
小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC．
結(jié)合小敏的思路作答：
（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由，參考小敏思考問題的方法解決一下問題；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接AC，BD．
①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結(jié)論并證明；
②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結(jié)論．
11．（2016·山東德州·中考真題）我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．
（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；
（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀．（不必證明）
12．（2023·陜西寶雞·?？家荒＃﹩栴}提出
如圖1，在△ABC中，AB=12,AC=9,DE∥BC．若AD=4，則AE的值為__________．
問題探究
如圖2，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，連接EF、FG、GH、HE．若AC=14,BD=16,∠AOB=60°，求四邊形EFGH的面積．
問題解決
如圖3，某市有一塊五邊形空地ABCDE，其中∠BAE=∠ABC=∠BCD=90°,AB=600米，BC=800米，AE=650米，DC=400米，現(xiàn)計劃在五邊形空地內(nèi)部修建一個四邊形花園MNGH，使點M、N、G、H分別在邊AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN,AM=CG,tan∠BNM=34,請問，是否存在符合設計要求的面積最大的四邊形花園MNGH？若存在，求四邊形MNGH面積的最大值；若不存在，請說明理由．
題型03 梯子模型
【模型介紹】如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上，當梯子底端滑動時，探究梯子上某點（如中點）或梯子構(gòu)成圖形上的點的軌跡模型（圖2），就是所謂的梯子模型.

【考查方向】已知一條線段的兩個端點在坐標軸上滑動，求線段最值問題.
模型一：如圖所示，線段AC的兩個端點在坐標軸上滑動，∠ACB=∠AOC=90°，
AC的中點為P，連接OP、BP、OB，則當O、P、B三點共線時，此時線段OB
最大值.
思路：∵OP+BP ≥ OB （三點共線時，取相等）
∴OB≤ OP+BP
∴當O、P、B三點共線時，此時線段OB取最大值
OB= OP+BP = 12AC+BC2+PC2= 12AC+BC2+(12AC)2
即已知Rt?ACB中AC、BC的長，就可求出梯子模型中OB的最值.
模型二：如圖所示，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當點A在
邊OM上運動時，點B隨之在ON上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保
持不變，AB的中點為P，連接OP、PD、OD，則當O、P、D三點共線時，此時
線段OD 取最大值.
思路：∵OP+PD ≥ OD （三點共線時，取相等）
∴OD≤ OP+PD
∴當O、P、D三點共線時，此時線段OD取最大值
OD= OP+DP = 12AB+AP2+AD2= 12AB+(12AB)2+AD2
即已知矩形ABCD中AB、AD的長，就可求出梯子模型中OD的最值.
13．（2023·廣西南寧·廣西大學附屬中學校聯(lián)考一模）如圖，已知∠MON=90°，線段AB長為6，AB兩端分別在OM、ON上滑動，以AB為邊作正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點P，連接OC．則OC的最大值為（ ）
A．6+35B．8C．3+35D．9
14．（2023·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，點A在x軸的正半軸上滑動，點B在y軸的正半軸上滑動，點A，點B在滑動過程中可與原點O重合，下列結(jié)論：
①若C，O兩點關(guān)于AB對稱，則OA=23；②若AB平分CO，則AB⊥CO；
③四邊形ACBO面積的最大值為4+23；④AB的中點D運動路徑的長為12π．
其中正確的結(jié)論是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）．
15．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考一模）如圖，邊長為2的菱形ABCD的頂點A，D分別在直角∠MON的邊OM，ON上滑動．若∠ABC＝120°，則線段OC的最大值為 ．
16．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考一模）在求線段最值問題中，我們常通過尋找（或構(gòu)造）待求線段的“關(guān)聯(lián)三角形”來解決問題．“關(guān)聯(lián)三角形”中除待求線段外的兩條線段的長度是已知（或可求的），再利用三角形三邊關(guān)系定理求解，線段取得最值時“關(guān)聯(lián)三角形”不復存在（即三頂點共線）．
例：如圖1，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A，B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離是多少？
分析：如圖1，取AB的中點E，連接DE、OE，則△ODE中，OD為待求線段，DE，OE的長是可求的，即△ODE為待求線段OD的“關(guān)聯(lián)三角形”，在△ODE中利用三角形三邊關(guān)系定理可以得到OD的不等式，當點O，E，D三點共線時（如圖2），“關(guān)聯(lián)三角形”不存在，此時可得到OD的最值．
(1)根據(jù)上面的分析，完成下列填空：
解：如圖1，取AB的中點E，連接DE，OE．
在Rt△OAB中，OE=12AB=1，
在Rt△ADE中，DE=1+1=2，
在△ODE中，OD

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