2、學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會搶得分點。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。
4、學(xué)會運用等價轉(zhuǎn)換思想。將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會運用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉(zhuǎn)化思想：體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難轉(zhuǎn)簡，把不熟轉(zhuǎn)熟，把未知轉(zhuǎn)為已知的問題。
重難點突破14 幾何最值問題4種類型
（費馬點、胡不歸模型、阿氏圓模型、瓜豆原理）
題型01 費馬點
【基礎(chǔ)】費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.
結(jié)論：
1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；對于2)有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.
（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）
【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短，得出最短長度.
結(jié)論證明過程：
情況一：當(dāng)△ABC各角不超過120°時，
將?APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到?A’P’B
則?APB≌?A’P’B ∴BP=BP’ AP=AP’ ∠A’P’B =∠APB
而∠P’BP=60° 則? P’BP為等邊三角形
∴∠BPP’=∠P’BP=∠B P’P=60°
∵PA+PB+PC= P’A’+PP’+PC≤A’C
∴當(dāng)A’、P’、P、C四點共線時，PA+PB+PC的最小值為A’C
此時∠BPC=180°-∠BPP’=120°
∠APB=∠A’P’B =180°-∠BP’ P=120°
∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°
情況二（僅需理解）：當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角不小于120°時，
延長BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，
并且使得AP'=AP, PC'=PC，則△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC（ (只有當(dāng)P、A重合時取等號)）
所以，當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點．
【費馬點的作法】（當(dāng)△ABC各角不超過120°）
作法：1）如圖，分別以?ABC中的AB、AC為邊，作等邊?ADB、等邊?AEC
2）連接CD、BE，則?ADC≌?ABE(手拉手模型)
3）記CD、BE交點為P，點P為費馬點.
4）以BC為邊作等邊?BCF，連接AF，必定經(jīng)過點P，且BE=AF=CD.
【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論
如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為費馬點.
【進階】
加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.
【關(guān)鍵】系數(shù)的改變只是影響了旋轉(zhuǎn)角度的改變，依然考的是旋轉(zhuǎn).
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5, △ABC內(nèi)部有一點P,連接PA，PB，PC
備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進行求解.
【費馬點 專項訓(xùn)練】
1．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD= ．
2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為 ．
3．（2021·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC= ；若AB=23,BC=2,AC=4，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC= ．
4．（2022下·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”．
如圖，點P是△ABC內(nèi)的一點，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△AP'C'，則可以構(gòu)造出等邊△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為PP'+PB+P'C'的值，當(dāng)B，P，P'，C四點共線時，線段BC的長為所求的最小值，即點P為△ABC的“費馬點”．
(1)【拓展應(yīng)用】
如圖1，點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，連接PA，PB，PC，將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C'．
①若PA=3，則點P與點P'之間的距離是______；
②當(dāng)PA=3，PB=5，PC=4時，求∠AP'C'的大??；
(2)如圖2，點P是△ABC內(nèi)的一點，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．
5．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）
當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，
如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為 ④ 點．
(2)如圖4，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為△ABC的“費馬點”，求PA+PB+PC的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
6．（2021上·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校┍尘百Y料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB=∠APC=∠CPB=120°時，則PA+PB+PC取得最小值．
(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB=_______；
知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．
(2)如圖3，△ABC三個內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過△ABC的費馬點．
(3)如圖4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點P為△ABC的費馬點，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．
(4)如圖5，在正方形ABCD中，點E為內(nèi)部任意一點，連接AE、BE、CE，且邊長AB=2；求AE+BE+CE的最小值．
7．（2022·山東德州·統(tǒng)考一模）若一個三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為120°，此時該點叫做這個三角形的費馬點．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，此時∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最?。?br>(1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，連接PP'，此時△ACP'≌△ABP，這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB=______．
(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長BP，在射線BP上取點D，E，連接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求證：BE=PA+PB+PC．
(3)如圖4，在直角三角形ABC中 ，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，點P為直角三角形ABC的費馬點，連接AP，BP，CP，請直接寫出PA+PB+PC的值．
8．（2021·河南鄭州·鄭州外國語中學(xué)?？寄M預(yù)測）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置．托里拆利成功地解決了費馬的問題．后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A，B，C距離之和最小的點稱為△ABC的費馬-托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點．問題解決：
（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，連接PD，可得△BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值與線段 的長度相等；
（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動點P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；
（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動點E，在點E運動過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在△ADE內(nèi)部是否存在一點P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請說明理由．
9．（2020·江蘇南通·南通市新橋中學(xué)?？家荒＃?）【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖1，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)50°，得到△ADE，連接BD，則∠ABD＝ 度．
（2）【解決問題】
①如圖2，在邊長為7的等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面積．
②如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，則PC＝ ．
（3）【拓展應(yīng)用】
如圖4是A，B，C三個村子位置的平面圖，經(jīng)測量AB＝4，BC＝32，∠ABC＝75°，P為△ABC內(nèi)的一個動點，連接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
【加權(quán)費馬點 專項訓(xùn)練】
1．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費馬點）求：
（1）PA+PB+PC的最小值；
（2）PA+PB+2PC的最小值
（3）PA+PB+3PC的最小值；
（4）2PA+PB+3PC的最小值
（5）12PA+PB+32PC的最小值；
（6）2PA+4PB+23PC的最小值
（7）4PA+2PB+23PC的最小值；
（8）3PA+4PB+5PC的最小值
題型02 胡不歸模型
【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學(xué)習(xí)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子略懂?dāng)?shù)學(xué)常識，考慮到“兩點之間線段最短”的知識，雖然他所在求學(xué)的地方與家之間布滿了砂石，但他還是義無反顧的踏上了歸途.當(dāng)他趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當(dāng)時先沿著驛道走一段距離，再通過砂石區(qū)域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應(yīng)該沿著驛道走多遠再通過砂石區(qū)域回家呢？這就是流傳千百年的“胡不歸問題.
如圖，A是出發(fā)點，B是目的地，直線m是一條驛道，而驛道靠目的地一側(cè)全是砂石，為了選擇合適的路線，假設(shè)通過驛道速度為v1米/秒，通過砂石區(qū)域速度為v2米/秒（v1> v2），小伙子需要在直線m上選取一點C，再折往至B，求點C在何處時，用時最短（A→C→B）？
由題目可知A、B為定點，點C在直線m上運動，求tAC+tBC的最小值.
t總=tAC+tBC=ACv1+BCv2= 1v2BC+v2v1AC，因為v1，v2為定值，所以只需求BC+v2v1AC的最小值即可，因此需要在圖中構(gòu)造出長度為v2v1AC的替換線段.因為v1> v2，所以設(shè)v2v1 =sinα，則在AC外側(cè)作∠CAM=α，過點C作CE⊥AM，則CEAC=v2v1 =sinα，所以CE=v2v1AC，原問題轉(zhuǎn)化為1v2BC+CE的最小值，顯然垂線段最短，即過點B作AM的垂線，與直線m的交點C即為所求點.
【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+KPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與 kPB相等的線段，將“PA+KPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.(若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可).
【胡不歸模型 專項訓(xùn)練】
1．（2023上·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
2．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+bx+3的圖像與x軸交于A、C兩點，與x軸交于點C(3,0)，若P是x軸上一動點，點D的坐標(biāo)為(0,?1)，連接PD，則2PD+PC的最小值是（ ）
A．4B．2+22C．22D．32+232
3．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 ．
4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE，使AD=AE．②分別以點D和點E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點M．③作射線AM交BC于點F．若點P是線段AF上的一個動點，連接CP，則CP+12AP的最小值是 ．
5．（2020·陜西·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM+12BM的最小值為 ．
6．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP的最小值為 ．

7．（2023下·全國·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，A(1,1)，直線l:y=43x+1經(jīng)過B(m,113)，點H在直線l上運動，求AH+45BH最小值．
8．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）拋物線y=ax2+bx+3分別交x軸于點A1,0，B?3,0，交y軸于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點D，點M為線段OC上的動點，點N為線段AC上的動點，且MN⊥AC．
(1)求拋物線的表達式；
(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請寫出你的理由；
(3)在M，N移動的過程中，DM＋12MC是否有最小值，如果有，請寫出理由．
9．（2022下·重慶·八年級統(tǒng)考期末）已知，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AD上的兩點，連接BE、CF，并延長交于點G，連接DG，H為CF上一點，連接BH、DH，∠GBH+∠GED=90°
(1)如圖1，若H為CF的中點，且AF=2DF，DH=102，求線段AB的長；
(2)如圖2，若BH=BC，過點B作BI⊥CH于點I，求證：BI+22DG=CG；
(3)如圖2，在（1）的條件下，P為線段AD（包含端點A、D）上一動點，連接CP，過點B作BQ⊥CP于點Q，將△BCQ沿BC翻折得△BCM，N為直線AB上一動點，連接MN，當(dāng)△BCM面積最大時，直接寫出22AN+MN的最小值．
10．（2021·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝12x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是x＝－32且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．
(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達式；
(2)點P為線段AB上的動點，求AP＋2PC的最小值；
(3)拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
11．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝33x＋3和直線l2：y＝﹣3x＋b相交于y軸上的點B，且分別交x軸于點A和點C．
（1）求△ABC的面積；
（2）點E坐標(biāo)為（5，0），點F為直線l1上一個動點，點P為y軸上一個動點，求當(dāng)EF＋CF最小時，點F的坐標(biāo)，并求出此時PF＋22OP的最小值．
12．（2019·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2a>0的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、B(點A在點B的左側(cè))，OA=1，經(jīng)過點A的一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與y軸正半軸交于點C，且與拋物線的另一個交點為D，ΔABD的面積為5．
(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；
(2)拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方，求ΔACE面積的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)；
(3)若點P為x軸上任意一點，在(2)的結(jié)論下，求PE+35PA的最小值．
13．（2019·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點A(1,0)，B(3,0)兩點，與y軸交于點C，OC=3．
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；
(2)過點A作AM⊥BC，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；
(3)點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當(dāng)ΔPBC面積最大時，求點P的坐標(biāo)；
(4)若點Q為線段OC上的一動點，問：AQ+12QC是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
題型03 阿氏圓模型
【模型由來】已知平面上兩點 A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”，又稱阿波羅尼斯圓.
【模型解讀1】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點 A、B 都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r=k·OB.連接 PA、PB，則當(dāng)PA+kPB的值最小時，P 點的位置如何確定?
思路：如圖 2，在線段OB上截取OC，使OC= k·r（即OCOP=k=OPOB）且∠BOP=∠COP，則可說明△BPO與△PCO相似，即PCPB=k .故本題求 PA+kPB的最小值可以轉(zhuǎn)化為PA+ PC的最小值,其中A與C為定點，P為動點，故當(dāng) A、P’、C三點共線時， PA+kPB的最小值為線段AC的長.
具體步驟：
1：連接動點至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點分別與圓心相連接），即連接OP、OB；
2：計算連接線段OP、OB長度；
3：計算兩線段長度的比值OP/OB="k" ；
4：在OB上截取一點C，使得OC/OP=OP/OB構(gòu)建母子型相似：
5：連接AC，與圓0交點為P，即AC線段長為PA＋K*PB的最小值．
【模型解讀2】如圖點A，B在⊙O上，OA⊥OB,OA=OB=12，點C是OA的中點，D在OB上，OD=10，點P是⊙O上一動點，則2PC+PD的最小值 ，PC+65PD的最小值 ．
【詳解】解：如圖1，延長OA到E，使OA=AE，連接PE、OP，
∵OA=OP，C為OA中點，∴OPOE=12，OCOP=12，∴OPOE=OCOP=12，
∵∠COP=∠POE，∴△OCP∽△OPE，∴OPOE=APPE=12，
∴PE=2PC，∴2PC+PD=PE+PE,即當(dāng)E、P、D三點共線時，2PC+PD有最小值，
最小值為OE2+OD2=242+102=26；
如圖2，延長OB到F，使OF=725，連接PF、OP，
∵OD=10，OP==OA=12，∴OPOF=ODOP=56，
∵∠DOP=∠POF，∴△ODP∽△OPF，∴OPOF=DPPF=56，∴PF=65PD，
∴PC+65PD=PC+PF,即當(dāng)C、P、F三點共線時，PC+65PD有最小值，
最小值為OC2+OF2=62+7252=15.6．
【模型總結(jié)】
對于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k＜1的時候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造。
當(dāng)系數(shù)k＞1的時候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造。
【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當(dāng)軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；
當(dāng)軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.
【阿氏圓模型 專項訓(xùn)練】
1．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則13AP＋BP的最小值為（ ）
A．7B．52C．4+10D．213
2．（2023·陜西咸陽·?？既＃┤鐖D，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是OD、OC上的兩個動點，且EF=4，P是EF的中點，連接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，則PC+14PD的最小值為 ．

3．（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，AB＝2，點C與點D在AB的同側(cè)，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝1，BC＝3，點P是⊙O上的一動點，則22PD+PC的最小值為 ．
4．（2022上·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限內(nèi)一動點，OP=2，連接AP、BP，則BP+12AP的最小值是 ．
5．（2020·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點C在OA上，且OC=2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為 ．
6．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則2PA＋PB的最小值為 ．
7．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則PD?12PC的最大值為 ．
8．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=90°,AB=CB=2，以點B為圓心作圓B與AC相切，點P為圓B上任一動點，則PA+22PC的最小值是 ．

9．（2018·甘肅天水·校聯(lián)考一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣12PC的最大值為 ．
10．（2023下·江蘇宿遷·九年級校考開學(xué)考試）
【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，點P在半徑為2的⊙O上，求12AP+BP的最小值．
【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點C使得OC=1，這樣可得OCOP=12=OPOA，又因為∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以CPAP=OPOA=12，得CP=12AP所以12AP+BP=CP+BP．
又因為CP+BP≥CB=OC2+OB2，所以12AP+BP最小值為 ．
【思路點撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3），將12AP轉(zhuǎn)化成CP，再利用“兩點之間線段”最短”求出CP+ BP的最小值．
【嘗試應(yīng)用】如圖4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，點P是半徑為6的⊙O上一動點，求AP+23BP的最小值．
【能力提升】如圖5，∠ABC=120°， BA= BC=8，點D為平面內(nèi)一點且BD= 3CD，連接AD，則△ABD面積的最大值為 ．
11．（2022·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線y=ax2+bx?4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標(biāo)為?1,0，拋物線的對稱軸是直線x=32．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點P是直線BC下方的拋物線上一個動點，是否存在點P使四邊形ABPC的面積為16，若存在，求出點P的坐標(biāo)若不存在，請說明理由；
(3)如圖2，過點B作BF⊥BC交拋物線的對稱軸于點F，以點C為圓心，2為半徑作⊙C，點Q為⊙C上的一個動點，求24BQ+FQ的最小值．
12．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉(zhuǎn)動，且CD＝2，連接AF，BD
（1）求證：△BDC≌△AFC
（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD＋22AD的值；
（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD＋22AD的最小值．
13．（2017下·江蘇鹽城·九年級階段練習(xí)）如圖1，拋物線y=ax2+a+3x+3a≠0與x軸交于點A4,0，與y軸交于點B，在x軸上有一動點Em,0（0

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