一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即可作出判斷.
【詳解】由命題“，”的否定是“，”,
故選：C.
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集、補集的概念計算即可.
【詳解】由題意可知，所以，則.
故選：A
3. 已知函數(shù)則下列結(jié)論正確是（ ）
A. 是偶函數(shù)B. 是增函數(shù)
C. 是周期函數(shù)D. 的值域為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性的定義，逐一分析選項即可.
【詳解】分段函數(shù)的左右兩邊的函數(shù)圖像不關(guān)于軸對稱， A不正確.
當時，不單調(diào)， B不正確.
當時，沒有周期性， C不正確.
當時，的值域為，當時，的值域為，所以的值域為，D正確.
故選:D.
4. 已知函數(shù)的定義域為.記的定義域為集合的定義域為集合.則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先利用抽象函數(shù)的定義域求得集合A，B，再利用充分條件、必要條件的定義判斷.
【詳解】的定義域為.
當時，的定義域為，即.
令，解得的定義域為1,2，即.
“”是“”必要不充分條件，
故選：B.
5. 函數(shù)的部分圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】確定奇偶性排除兩個選項，再由單調(diào)性排除一個選項后得結(jié)論．
【詳解】易知的定義域為R，，所以是偶函數(shù)，排除A，C；
當時，，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，排除B，
故選：D．
6. 鏡片的厚度是由鏡片的折射率決定，鏡片的折射率越高，鏡片越薄，同時鏡片越輕，也就會帶來更為舒適的佩戴體驗．某次社會實踐活動中，甲、乙、丙三位同學(xué)分別制作了三種不同的樹脂鏡片，折射率分別為，則這三種鏡片中，制作出最薄鏡片和最厚鏡片的同學(xué)分別為（ ）
A. 丙同學(xué)和甲同學(xué)B. 乙同學(xué)和甲同學(xué)
C. 甲同學(xué)和丙同學(xué)D. 乙同學(xué)和丙同學(xué)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)運算公式，以及冪的運算公式，即可比較大小.
【詳解】，
，，所以，
，所以，
所以甲同學(xué)制作的最薄，丙同學(xué)制作的最厚.
故選：C
7. 如圖，矩形的三個頂點、、分別在函數(shù)，，的圖象上，且矩形的邊分別平行于兩坐標軸．若點的縱坐標為2，則點的坐標為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指對冪函數(shù)的圖象及解析式求出點的橫坐標、點縱坐標，即可得點的坐標.
【詳解】由圖可知，點在函數(shù)的圖象上，所以，
即，故，
則點在函數(shù)的圖象上，所以，即，故，
則點在函數(shù)的圖象上，所以，故，
又，，故點的坐標為，
故選：A
8. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，把和用表示出來，根據(jù)等量關(guān)系求出的值，而，可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
則有，，，
可得，即，解得，
所以.
故選：D.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分）
9. 設(shè)為非空實數(shù)集，定義，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)定義逐項判斷可得答案.
【詳解】對于A，由的定義得，顯然成立，故A正確；
對于B，由的定義得，，故B錯誤；
對于C，設(shè)，則，
，所以成立，故C正確；
對于D，設(shè)，則，
所以，
又，
所以，
所以成立，故D正確.
故選：ACD.
10. 若正數(shù)，滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本（均值不等式）可判斷ABD的真假；設(shè)函數(shù)（），分析其單調(diào)性，可判斷C的真假.
【詳解】因為，且，所以（當且僅當時取“”）.
所以，故A正確；
，故B正確；
設(shè)（），則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以成立，故C正確；
又，又，所以，即，故D錯誤.
故選：ABC
11. 已知函數(shù)．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 圖像關(guān)于點中心對稱
B. 圖像關(guān)于直線對稱
C. 的最大值為
D. 既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性的性質(zhì)、奇函數(shù)的定義、周期函數(shù)的定義，結(jié)合換元法、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】A：因為，
，
所以，
因此圖像關(guān)于點中心對稱，所以本選項結(jié)論正確；
B：因為，
，
所以，
因此圖像關(guān)于直線對稱，所以本選項結(jié)論正確；
C：，
設(shè)，所以，
當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，函數(shù)有極大值，
極大值為：，而，所以函數(shù)的最大值為，因此本選項結(jié)論不正確；
D：因為，
所以是奇函數(shù)，
因為，
所以是周期函數(shù)，因此本選項結(jié)論正確，
故選：ABD
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用換元法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，請把正確答案填在題中橫線上）
12. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先由奇函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式計算參數(shù)a，再代入計算函數(shù)值即可.
【詳解】由題意知，所以，
即.
故答案為：.
13. 函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列式求解.
【詳解】因為在R上單調(diào)遞減，
所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集，，且，那么稱子集族構(gòu)成集合的一個劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個數(shù)為__________.
【答案】4
【解析】
【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定義對集合進行劃分.
【詳解】依題意，，
的2劃分為，共3個，
的3劃分為，共1個，
故集合的所有劃分的個數(shù)為4.
故答案為：4
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算）
15. 已知集合
（1）若，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求集合，由并集結(jié)果知，列不等式組求參數(shù)范圍；
（2）由補集運算求得或，根據(jù)集合包含關(guān)系列不等式組求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
由，
，
因為，即，顯然，
所以，則.
【小問2詳解】
由（1）知：或，又，
所以或，可得或.
16. 已知函數(shù)，．
（1）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）若對任意，存在，使得，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）變形為，，結(jié)合開口方向和根的判別式得到不等式，求出答案；
（2）在上的值域包含在上的值域，其中，分和，得到在上的值域，根據(jù)包含關(guān)系得到不等式，得到答案.
【小問1詳解】
，，
需滿足，解得，
故的取值范圍為.
【小問2詳解】
對任意，存在，使得，
故在上的值域包含在上的值域，
其中時，，
的對稱軸為，
若，則在上單調(diào)遞增，
故，
但不會是1,2的子集，舍去；
當時，則在上單調(diào)遞減，
故，
是1,2的子集，則，解得，
綜上，的取值范圍是.
17. 已知真命題：“函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”.
（1）將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)y=gx圖象對稱中心的坐標；
（2）求函數(shù)圖象對稱中心的坐標.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平移變換寫出函數(shù)解析式并化簡，分析得到函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，從而依題得到函數(shù)的對稱中心；
（2）設(shè)函數(shù)hx的對稱中心為，則得為奇函數(shù)，代入整理，由函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱求得的值，由函數(shù)為奇函數(shù)列方程求得的值，即得.
【小問1詳解】
平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，
整理得，
由于函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，由題設(shè)中真命題知，函數(shù)y=gx圖象對稱中心的坐標是.
【小問2詳解】
設(shè)的對稱中心為，由題設(shè)知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù)，
設(shè)，則，即.
由不等式的解集關(guān)于原點對稱，得，解得，.
此時，.
任取，由可得，，
化簡得，，解得，，
所以函數(shù)圖象對稱中心的坐標是2,1.
18. 已知
（1）當，解關(guān)于的不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）分類討論當、、、情況下，解一元二次不等式即可；
（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為，利用分離參數(shù)法可得，結(jié)合換元法和對勾函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值即可.
【小問1詳解】
若即，原不等式為，解得，
即原不等式的解集為；
若即，方程的解為和，
當時，，原不等式的解集為或；
當時，，原不等式的解集為R；
當即時，，原不等式的解集為.
綜上，當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為或；
當時，原不等式的解集為R.
【小問2詳解】
由，得，
對于方程，，
所以在R上恒成立，故，
令，則，得可變形為，即，
對于對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得最小值，為，
所以在上的最大值為，
得.
綜上，a的取值范圍為.
19. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，
（1）求的最小值
（2）當時，
（i）令，，求的值域
（ii）記，已知，，且，當取最大值時，求的值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)是偶函數(shù)，得到，再代入所求式子，表示為的二次函數(shù)求最值；
（2）（?。┯蓷l件可知，，求函數(shù)d的解析式，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的值域；
（ⅱ）利用反證法進行證明.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，根據(jù)偶函數(shù)的定義：
，f?x=fx，即，
即：上式對任意恒成立，這等價于．
，等號成立當且僅當，．
所以的最小值為．
【小問2詳解】
（?。┯桑?）可得：，由于，為偶函數(shù)，故只需考慮時，的值域，
，
，
令，，，
∴，單調(diào)遞增，∴上單調(diào)遞增，
的值域為，，．
故的值域為．
（ⅱ）對于常數(shù)，令，為偶函數(shù)．
下面先證明一個結(jié)論：在上單調(diào)遞增．
證明：
．
由(2)可得：為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，
證畢．
對于，，且，
先證明：當取最大值時，，，，中最多只有一個，其余的數(shù)要么等于，要么等于．
用反證法，假如當取最大值時，，，，中存在兩個數(shù)，，不妨設(shè)，
記，則，且，．
記，則，根據(jù)的單調(diào)性可知
，
在中，將，分別替換成，，
其余數(shù)不變的情況下，得到了更大的值，這與取最大值相矛盾
∴：，，，中最多只有一個．
，，，中沒有數(shù)字在區(qū)間時，，，，中的每一個數(shù)，要么等于，要么等于，
記，，，中等于的元素個數(shù)為，，，這與為整數(shù)矛盾
，，，中只有一個數(shù)字在區(qū)間時，不妨記為，記等于的數(shù)字個數(shù)為，
則等于的數(shù)字個數(shù)為，則．
即：，由于，，
又∵，∴，，
∴這1000個數(shù)為，其中有333個，個2．
．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵1是根據(jù)偶函數(shù)的條件，得到，關(guān)鍵2是判斷函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵3的利用反證法證明，，，中最多只有一個.

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