注意事項(xiàng)
考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則（ ）
A. －4B. －2C. D. 2
【答案】D
【解析】，故，解得.
故選：D
2. 若直線與平行，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由題意可得：，解得，
若，
則直線、，兩直線平行，
綜上所述：.
故選：A.
3. 已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>令，可得；
令，可得；
令，可得；
令，可得；
故選：C
4. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為10，公差為，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（ ）
A. B. 30C. 80D. 不存在
【答案】B
【解析】由題意可知：，且數(shù)列為遞減數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以數(shù)列的前項(xiàng)和的最大項(xiàng)數(shù)為5或6，最大值為.
故選：B.
5. 已知雙曲線的離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則的頂點(diǎn)到漸近線的距離為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由題意可知：拋物線的準(zhǔn)線為，
則為雙曲線的焦點(diǎn)，
即，
又因?yàn)殡x心率為，可得，
且，
解得，
取漸近線為，
即，
取頂點(diǎn)為，
所以的頂點(diǎn)到漸近線的距離為.
故選：A.
6. 如圖，是某心形二次曲線，則的方程可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】顯然圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即把x換成方程不變，可知CD錯(cuò)誤；
對(duì)于B：令，可得，解得或，不合題意；
故選：A.
7. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，過原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，的面積是20，則（ ）
A. 5B. C. D. 10
【答案】D
【解析】由題意得，故，故，
因?yàn)榈拿娣e為20，所以面積為10，
設(shè)，則，解得，
將代入中得，
故，則.
故選：D
8. 已知是圓的一條弦，，是的中點(diǎn).當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上總存在兩點(diǎn)，使得為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，
因?yàn)?，則，
可知點(diǎn)軌跡是以O(shè)0,0為圓心，半徑的圓C，
設(shè)的中點(diǎn)為，
因?yàn)闉殁g角，可知以為直徑的圓與圓C相交，

且O0,0到直線的距離，可知，
以外切為臨界，可得，可得，
若使得存在兩點(diǎn)，滿足題意，則，
所以AB的取值范圍是.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線的傾斜角的取值范圍是
B. 斜率之積為的兩直線相互垂直
C. 在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線斜率為
D. 直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線
【答案】BD
【解析】對(duì)于A：直線的傾斜角的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：斜率之積為的兩直線相互垂直，故B正確；
對(duì)于C：例如直線，此時(shí)在兩坐標(biāo)軸上截距均為0，相等，但斜率不為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線，故D正確；
故選：BD.
10. 下列四個(gè)命題中，正確的是（ ）
A. 要唯一確定圓，只需給出圓上三點(diǎn)
B. 要唯一確定拋物線，只需給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線
C. 要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓，只需給出橢圓上兩點(diǎn)
D. 要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A：根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知：A正確；
對(duì)于B：根據(jù)拋物線的定義可知：給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線即可確定拋物線，故B正確；
對(duì)于C：給出兩點(diǎn)不能確定橢圓，例如給定長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)橢圓有無數(shù)個(gè)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)橹行臑樽鴺?biāo)原點(diǎn)，若給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)，
可以求出a,b,c，且可以確定焦點(diǎn)位置，即可得雙曲線方程，可以確定雙曲線，故D正確；
故選：ABD.
11. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列為常數(shù)列（各項(xiàng)均為同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列）的一個(gè)充分條件是（ ）
A.
B.
C.
D. ，
【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的通項(xiàng)公式為，為常數(shù)列，故A正確；
B選項(xiàng)，，，不妨設(shè)，則此時(shí)不為常數(shù)列，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，，兩者相減得，
故，即，故為常數(shù)列，故C正確；
D選項(xiàng)，時(shí)，，即，
又，故在上恒成立，為常數(shù)列，故D正確；
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知圓，試寫出一個(gè)半徑為1，且與軸和圓都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：_______________.
【答案】（答案不唯一，符合題意即可）
【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，
設(shè)所求圓的圓心為，則，
且或，
若，，解得，
可得圓心為，所求圓的方程為；
若，，無解，不合題意；
若，，
解得或，
可得圓心為或，
所求圓方程為或；
若，，解得，
可得圓心為，所求圓的方程為；
故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）.
13. 定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)加上它的前一項(xiàng)所得的和都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，，，則公和為_______________.
【答案】7
【解析】由題意可知：（公和），則，
可得，可知數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，
可得，，所以公和.
故答案為：7.
14. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則__________；若為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.
【答案】① ②5
【解析】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為，
設(shè)，圓，即為，
則；
因?yàn)?，則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
則，當(dāng)且僅當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
綜上所述：，
當(dāng)且僅當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為0,3時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為5.
故答案為：；5.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于點(diǎn)，.
（1）若直線的斜率為1，求；
（2）求證：.
解：（1）直線的方程為，
聯(lián)立得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
則；

（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去，
設(shè)直線的方程為，
與聯(lián)立得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
則，
故，
故.
16. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，，若，，成等差數(shù)列，求并證明為等差數(shù)列.
解：（1）已知，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得.
又因?yàn)?，根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，
可得，即.
聯(lián)立方程組，可得，即.
將代入，可得.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由，，
可得.
所以.
因?yàn)?，，成等差?shù)列，則.
.
.
.
故：.解得或；
當(dāng)時(shí)，.
，為常數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)；
所以或，為等差數(shù)列.
17. 已知為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)作直線（與軸不重合）與相交于點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，，求的方程.
解：（1）由題意可知：的圓心為，半徑為4，且，

則，
可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，則，
所以的方程為.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，

設(shè)直線，，則，
聯(lián)立方程，消去x可得，
則，
又因?yàn)椋?br>若，則，即，
可得，解得，
所以的方程為，
即.
18. 已知等軸雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別，，且焦距為，分別是在第二象限和第一象限上的一點(diǎn)，且.
（1）求的方程；
（2）若直線的斜率為，求直線的斜率；
（3）若四邊形的面積為，求直線的方程.
解：（1）由題意可知：，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）可知：，

設(shè)直線，Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立方程，消去可得，
則，可得，
因?yàn)椋?br>若，則，
即，整理可得，
又因?yàn)椋?br>可得，解得，
此時(shí)即為，
解得或（舍去），
此時(shí)，即，
所以直線的斜率.
（3）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，即，
可得,
設(shè)直線的傾斜角為，則，
可得，
解得，
同理可得，
此時(shí)梯形的高為，
可知梯形的面積，
整理可得，解得或（舍去），
可知或，則直線的斜率，
所以直線的方程，即.
19. 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.
（1）證明：是關(guān)于的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；
（2）等差數(shù)列的公差為，且.
①求的通項(xiàng)公式；
②記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為
由題意可得：，
則二次項(xiàng)系數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)0，
所以是關(guān)于的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).
（2）①由題意可知：，
即
，
可得，解得，或，
若，則；
若，則，
綜上所述：或；
②因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，若，，則，不合題意；
當(dāng)時(shí)，
若為偶數(shù)，則
，
因?yàn)闉榕紨?shù)，則或，
若，則，即，不合題意；
若，則，
整理可得，
可知，代入檢驗(yàn)可得僅成立；
若為奇數(shù)，則
，
因?yàn)闉槠鏀?shù)，則或，
若，則，即，不合題意；
若， 則，
整理可得，
顯然為偶數(shù)，方程無解，不合題意；
綜上所述：.

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