注意事項
考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求
1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將答題卷交回。
2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在答題卷上。
3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與你本人的是否相符。
4.作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米的簽字筆寫在答題卷上的指定位置，在其它位置作答一律無效。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設(shè)全集，集合，則
A.B.
C.D.
2.已知終邊上一點，則
A.B.C.D.
3.在中，為的中點，記，，則
A.B.C.D.
4.已知復(fù)數(shù)滿足，當(dāng)?shù)奶摬咳∽畲笾禃r，
A.B.C.D.
5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，方程在上有兩個不同的實根，，則的最大值為
A.B.C.D.
6.在四邊形中，，，則的最大值為
A.3B.4C.5D.6
7.已知數(shù)列的通項公式為，若，當(dāng)數(shù)列的前項和取最大值時，
A.29B.32C.33D.34
8.設(shè)，，，則
A.B.C.D.
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.若，則下列結(jié)論正確的是
A.B.若，則或
C.D.若，則或
10.已知，，，，下列結(jié)論正確的是
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，且，均為銳角，則
11.設(shè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為，且在區(qū)間上都是單調(diào)增函數(shù)，則
A.不具有奇偶性，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)
B.不具有奇偶性，且在區(qū)間上的單調(diào)性不能確定
C.是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)
D.是偶函數(shù)，且在區(qū)間上的單調(diào)性不能確定
12.已知數(shù)列滿足，且，則
A.為遞增數(shù)列B.
C.D.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13.設(shè)為實數(shù)，若向量，，且與共線，則__________.
14.已知函數(shù)的減區(qū)間為，則__________.
15.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，是等比數(shù)列，滿足，則_______.
16.已知函數(shù)在，處分別取得極大值和極小值，記點，，的圖象與軸正半軸的交點為.若的外接圓的圓心在以為直徑的圓上，則___________.
四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.（10分）在中，角，，的對邊分別為，，，.
（1）證明：；
（2）求的最小值.
18.（12分）如圖，是邊長為2的正三角形的中位線，將沿折起，使得平面平面.
（1）求四棱錐的體積；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
19.（12分）設(shè)等比數(shù)列的首項為2，公比為，前項的和為，等差數(shù)列滿足.
（1）求；
（2）若，，求數(shù)列前項的和.
20.（12分）環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的PM2.5的平均濃度（單位：）.調(diào)研人員收集了50天的數(shù)據(jù)，汽車日流量與PM2.5的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差分別為252，36，制作關(guān)于的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區(qū)域I、II、III、IV，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點的個數(shù)依次為6，20，16，8.
（1）請完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為PM2.5平均濃度不小于與汽車日流量不小于1500輛有關(guān)；
（2）經(jīng)計算得回歸方程為，求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值.
參考公式：①，其中.
②回歸方程，其中.
③.若，則與有較強(qiáng)的相關(guān)性.
21.（12分）已知雙曲線的右頂點為，過點且斜率為的直線與的左、右支分別交于點，.
（1）若，求；
（2）若直線，與軸分別交于點，，，求.
22.（12分）已知函數(shù).
（1）若是函數(shù)的極小值點，求證：；
（2）若，求.
2024屆高三期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷
數(shù)學(xué)參考答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】B 【解析】，選B.
2.【答案】B 【解析】，，選B.
3.【答案】A 【解析】，選A.
4.【答案】B 【解析】令，，則，，∴，∴，，∴，選B.
5.【答案】D 【解析】關(guān)于對稱，，∴，，，；.
6.【答案】C 【解析】設(shè)，，選C.
7.【答案】C 【解析】
，，
，∴，
∴時，取最大值.
8.【答案】A 【解析】令，，
∴，
∴在，，∴.
令，，，
，，，，∴
∴，在，，∴，∴，選A.
對于和的比較，∵（，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）
，（運(yùn)用了時，），∴.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.【答案】ACD 【解析】，A對.
，此時且，B錯.
，，，，
，，C對.
，則或，D對，選ACD.
10.【答案】ABD 【解析】，，A對.
，B對.
，，，
∴，C錯.
，則，則
∴，∴，D對，選ABD.
11.【答案】ABD 【解析】方法一：，在區(qū)間上都是單調(diào)增函數(shù)，單調(diào)增，單調(diào)性沒有辦法確定，單調(diào)性的沒有辦法確定，C錯.
單調(diào)性沒有辦法確定，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，奇偶性，A，B對.
，∴為偶函數(shù)，D對，選ABD.
方法二：例如取，，，顯然非奇非偶，又，，均在上單增，增+增=增，A對.
對于B，，在上；上，B正確.
此時，，在上先減后增了，C錯.
對于D，，在上也是先減后增，D正確.
選：ABD.
12.【答案】ABC 【解析】，由知與同號，，
∴易知，，，A正確.
，C正確.
且對于B，∵，∴，∴，
∴，B正確.
對于D，，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”），∴，D錯.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.【答案】 【解析】，，與共線，則，則.
14.【答案】3 【解析】，解集為，則.
15.【答案】 【解析】為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，，則的等比數(shù)列，，∴，則，∴，，
，∴，.
16.【答案】 【解析】方法一：，或.
，或.
的圖象與軸正半軸交點為，則，.
在，，，，，
外接圓：，
∴，圓心，在以為直徑的圓上.
∴，∴，
∴，∴.
方法二：∵的圖象與軸正半軸交于，∴，大致圖象如下圖.
∴，，令或，
∴，，∴，，中垂線方程：，
中垂線方程，∴，，
，∴，∴.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.【解析】（1）∵，
∴
.
（2）
當(dāng)且僅當(dāng)即，時取“=”.
18.【解析】（1）取中點，連接，∵為等邊三角形，∴，
又∵平面平面，∴平面，
∴.
（2）如圖建系，∴，，，，，
∴，，，，
設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，，
∴，.
設(shè)平面與平面夾角為，
∴.
19.【解析】（1）∵為等差數(shù)列，
∴，而，，，
∴，或1.
（2）∵，∴，∴，
，∴，
∴，∴.
20.【解析】（1）2×2列聯(lián)表如下：
∴
∴有99%的把握認(rèn)為PM2.5平均濃度不小于與汽車日流量不小于1500輛有關(guān).
（2），
而，，
∴.
∵，∴與有較強(qiáng)的相關(guān)性，∴該回歸方程有價值.
21.【解析】（1）直線方程為，即
，∴，，∴.
（2）設(shè)直線方程為，，，.
∴，
直線方程：，令
同理
∴
.
22.【解析】（1），∵是的極小值點，
∴.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴，∴，∴在上.
當(dāng)時，，
∴在上，∴.
（2）∵恒成立，
∴0為的一個最小值點，也為極小值點（極值點效應(yīng)）
∴，
且當(dāng)時，由（1）知（已證）
綜上：.
汽車日流量
汽車日流量
合計
PM2.5的平均濃度
PM2.5的平均濃度
合計
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汽車日流量
汽車日流量
合計
PM2.5的平均濃度
16
8
24
PM2.5的平均濃度
6
20
26
合計
22
28
50

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