一、選擇題: 本大題共 8 小題, 每小題 5 分, 共 40 分.
1. 已知集合 ,則
A. B. C. D.
2. 若復(fù)數(shù) ,則 的虛部為
A. B. C. D.
3. 在平行四邊形 中, 為 的中點,記 ,則
A. B. C. D.
4. 在素數(shù)研究中, 華裔數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式, 孿生素數(shù)是指相差為 2 的素數(shù)對, 例如 3 和 5,5 和 7 等. 從不超過 20 的素數(shù)中隨機抽取 2 個, 則這 2 個數(shù)是孿生素數(shù)的概率為
A. B. C. D.
5. 記 為數(shù)列 的前 項和. 若 ,則
A. -63 B. -127 C. -256 D. -512
6. 若 ,且 ,則 的最大值為
A. B. C. D.
7. 設(shè) 是定義在 上的連續(xù)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù), ( 為自然對數(shù)的底數(shù)),且 ,則不等式 的解集為
A. B. D.
8. 已知 ,則關(guān)于 的方程 的實根個數(shù)為
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、選擇題: 本題共 3 小題, 每小題 6 分, 共 18 分.
9.下列說法中, 正確的是
A. 對于獨立性檢驗,隨機變量 的值越大,則推斷“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越小
B. 若 ,則
C. 隨機變量 服從正態(tài)分布 ,若 ,則
D. 數(shù)據(jù)4,3,2,5,6,7的 分位數(shù)為 4
10. 在 中,內(nèi)角 所對的邊分別為 ,其中 ,且
,若 邊上的中點為 ,則
A. B. 的最大值為
C. 的最小值為 D. 的最小值為
11. 已知 ,且 ,則
A. B.
C. 無最小值,只有最大值為 4 D. 的最小值為 12
三、填空題: 本題共 3 小題, 每小題 5 分, 共 15 分.
12. 已知單位向量 的夾角為 ,若 ,則 _____.
13. 已知函數(shù) 在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,則 的最大值為_____.
14. 已知函數(shù) 的定義域為 ,則
四、解答題: 本題共 5 小題, 共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.
15. (13 分) 已知數(shù)列 滿足: ,且 .
(1) 求證: 數(shù)列 是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列 的前 項和 .
16. (15 分) 已知 分別為 三個內(nèi)角 的對邊,且
(1) 求 ;
(2)若 ,試討論當(dāng) 取不同值時, 解的個數(shù).
17. (15 分) 統(tǒng)計顯示, 我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢, 下表為 2019 年-2023 年我國在線直播生活購物用戶規(guī)模 (單位: 億人), 其中 2019 年-2023 年對應(yīng)的代碼依次為 1-5 .
參考數(shù)據(jù): ,其中 .
參考公式: 對于一組數(shù)據(jù) ,其經(jīng)驗回歸直線 的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為 .
(1) 由上表數(shù)據(jù)可知,若用函數(shù)模型 擬合 與 的關(guān)系,請估計 2027 年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模 (結(jié)果精確到 0.01);
(2)已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率為 ,現(xiàn)從我國在線直播購物用戶中隨機抽取 5 人,記這 5 人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為 ,若 ,求 的數(shù)學(xué)期望和方差.
18. (17 分) 已知函數(shù) .
(1) 當(dāng) 時,函數(shù) 的極值為 10,求 和 的值;
(2)設(shè) ,若 ,對于任意的 ,都有 恒成立,求 的最小值.
19. (17 分) 已知數(shù)列 ,記集合
(1) 若 ,當(dāng) ,即 時,寫出集合 ;
(2) 若 ,是否存在 ,使得 ? 若存在,求出一組符合條件的 ; 若不存在,說明理由;
(3) 若 ,把集合 中的元素從小到大排列,得到的新數(shù)列為: ,若 ,求 的最大值.年份代碼
1
2
3
4
5
市場規(guī)模
3.98
4.56
5.04
5.86
6.36

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