考試時(shí)間：2025年1月17日 試卷滿分：150分
?？荚図樌?br>注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若曲線表示橢圓，則的取值范圍是( )
A. B. C. D. 或
3. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)滿足，則拋物線方程為（ ）
A. B. C. D.
4. 若斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 若圓：關(guān)于直線對(duì)稱，，則與間的距離是（ ）
A. B.
C D.
6. 雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖：為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線在雙曲線上的點(diǎn)、處反射后射出共線），若，則（ ）
A. B. C. 2D.
7. 已知圓，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線與圓相切于點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，左，右焦點(diǎn)分別為，，且關(guān)于它的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為，若以為圓心，為半徑的圓過原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分
9 已知曲線，，則（ ）
A. 的長軸長為8B. 的漸近線方程為
C. 與的離心率互為倒數(shù)D. 與的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同
10. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列是遞增數(shù)列B.
C. D. 當(dāng)取得最大值時(shí)，
11. “心形線”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，某研究小組用函數(shù)圖象：，和拋物線的部分圖象圍成了一個(gè)封閉的“心形線”，過焦點(diǎn)的直線交（包含邊界點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，是或上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）

A. 拋物線的方程為
B. 的最小值為5
C. 的最大值為7
D. 若在上，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 若兩條直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)m的值等于_________．
13. 已知橢圓與雙曲線有相同的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓和雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為__________．
14. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)D，若且，則___________.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟
15. 如圖，已知圓，點(diǎn)．
（1）求圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)和原點(diǎn)的圓的方程；
（2）若過點(diǎn)直線與圓交于兩點(diǎn)，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程．
16. 如圖，正方體的棱長為為的中點(diǎn)．點(diǎn)在上．
（1）求證：平面；
（2）若．求直線與平面所成角的大小；
17. 記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求使成立的的最小值；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
18. 已知，，點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為，
（1）求點(diǎn)軌跡方程
（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于、兩點(diǎn)，直線分別交直線、于點(diǎn)、，以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
19. 已知為拋物線上的兩點(diǎn)，是邊長為的等邊三角形，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求的方程.
（2）已知圓的兩條切線，且與分別交于點(diǎn)和.
（i）證明：定值.
（ii）求的最小值.

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