命題人：王慧 復核人：王登智
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 設命題：，則的否定為（ ）
A. B.
C. D.
3. “”成立的一個充分不必要條件是（ ）
A. 或B. C. D.
4. 若、、，，則下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
6. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
7. 一元二次不等式則對一切實數(shù) 都成立，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知定義在上的函數(shù)，對，都有，若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（ ）
A. B. C. 2D. 1
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列選項正確的是（ ）
A. 集合的真子集有7個;
B. 設，是兩個集合，則;
C. 若集合，則的元素個數(shù)為4;
D. 已知 ，則的取值范圍為.
10. 若正實數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 有最大值B. 有最大值
C 有最小值D. 有最小值4
11. 下列說法正確是（ ）
A. 函數(shù)表示同一個函數(shù)；
B. 函數(shù)的值域是；
C. 已知，則函數(shù)的解析式為（）；
D. 函數(shù)，若不等式對x∈0,+∞恒成立，則范圍．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
12. 已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)__________;
13. 指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標的取值范圍為______.
14. 若關于的不等式的解集為且非空，則的值為____________.
15. 已知函數(shù)，存在直線與圖象有4個交點，則_____，若存在實數(shù)，滿足，則的取值范圍是_______________．
四、解答題：本題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. （1）求值：
（2）已知正實數(shù)滿足，求的值.
17. 在①，②“”是“”的充分不必要條件，③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，并求解.
已知集合，
（1）當時，求；
（2）若______，求實數(shù)的取值范圍.
18. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求的解析式；
（2）判斷并證明的單調性；
19. （1）已知，且，求的取值范圍.
（2）解關于的不等式.
20. 某地區(qū)上年度電價為元/（kW·h），年用電量為kW·h，本年度計劃將電價下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之間，而用戶期望電價為0.4元/（kW·h）.經測算，下調電價后新增用電量和實際電價與用戶的期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)的電力成本價為0.3元/（kW·h）.記本年度電價下調后電力部門的收益為（單位：元），實際電價為（單位：元/（kW·h））.（收益=實際電量（實際電價-成本價））
（1）寫出本年度電價下調后電力部門收益為關于實際電價為的函數(shù)解析式；
（2）當時，實際電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長?
（3）當時，求收益的最小值.
21. 設函數(shù)的定義域分別為，且?．若對于任意，都有，則稱為在上的一個延伸函數(shù)．給定函數(shù)．
（1）若是在給定上的延伸函數(shù)，且為奇函數(shù)，求的解析式；
（2）設為在上的任意一個延伸函數(shù)，且是上的單調函數(shù)．
①證明：當時，．
②判斷在的單調性（直接給出結論即可）；并證明：都有．2024-2025學年度秋學期期中聯(lián)考試卷
高一數(shù)學
命題人：王慧 復核人：王登智
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由并集運算法則可得，再由區(qū)間表示可得結果.
【詳解】集合，則，
再由集合的區(qū)間表示可得.
故選：B
2. 設命題：，則的否定為（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.
【詳解】解：因為命題：，
所以的否定：，
故選：B
【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，是基礎題.
3. “”成立的一個充分不必要條件是（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，解出不等式，然后將充分不必要條件轉化為真子集關系，即可得到結果.
【詳解】解不等式可得，解得或，
所以不等式的解集為或，
因此不等式成立的一個充分不必要條件，對應的范圍是解集的真子集，
即是或的真子集.
故選：B
4. 若、、，，則下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性質依次分析選項即可求解.
【詳解】對于A，B，取，，則，，故A，B錯誤；
對于C，因為，，所以，故C正確；
對于D，取，則，故D錯誤；
故選：C
5. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由且可求得結果.
【詳解】由題意得，解得且，
所以函數(shù)的定義域為.
故選：C
6. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結合特殊值排除即可.
【詳解】定義域為，且，則原函數(shù)為奇函數(shù).排除B.
再取特殊值，且為正數(shù).排除D.
當時，，越大函數(shù)值越接近1，排除C.
故選：A.
7. 一元二次不等式則對一切實數(shù) 都成立，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質及二次不等式的解法列式可得.
【詳解】由一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，
則，解得.
滿足一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立的k的取值范圍是.
故選：C.
8. 已知定義在上的函數(shù)，對，都有，若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)的奇偶性和周期性求出即可；
【詳解】由函數(shù)fx?1的圖象關于直線對稱，可得，
即，為偶函數(shù)，
由得，即是以4為周期的偶函數(shù)，
所以，
由,令可得，
所以.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列選項正確的是（ ）
A. 集合的真子集有7個;
B. 設，是兩個集合，則;
C. 若集合，則的元素個數(shù)為4;
D. 已知 ，則的取值范圍為.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)集合中元素的個數(shù)判斷集合真子集的個數(shù)，可判斷A的真假；根據(jù)集合的運算結果，可判斷兩集合的包含關系，判斷B的真假；可列出集合中的元素，判斷C的真假；根據(jù)不等式的性質確定的取值范圍，判斷D的真假.
【詳解】對A：因為集合有3個元素，所以其真子集的個數(shù)為：，故A正確；
對B：因為，所以，故B錯誤；
對C：由題意：，有4個元素，故C正確；
對D：因為，，兩式相加得：，即，故D錯誤.
故選：AC
10. 若正實數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 有最大值B. 有最大值
C. 有最小值D. 有最小值4
【答案】ABD
【解析】
【分析】由基本不等式和乘“1”法逐項分析即可；
【詳解】對于A，，所以，當且僅當時取等號，故A正確；
對于B，，當且僅當時取等號，所以有最大值，故B正確；
對于C，，當且僅當時取等號，故C錯誤；
對于D，，當且僅當時取等號，故D正確；
故選：ABD.
11. 下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)表示同一個函數(shù)；
B. 函數(shù)的值域是；
C. 已知，則函數(shù)的解析式為（）；
D. 函數(shù)，若不等式對x∈0,+∞恒成立，則范圍為．
【答案】BCD
【解析】
【分析】由兩函數(shù)的定義域不同可得A錯誤；由二次函數(shù)的單調性可得B正確；由換元法設可得C正確；由換元法結合指數(shù)冪的運算可得D正確；
【詳解】對于A，的定義域為，的定義域為，所以不是同一個函數(shù)，故A錯誤；
對于B，，
圖象關于對稱，在上單調遞減，在1,2上單調遞增，
所以，故B正確
對于C，設，則，
則，即（），故C正確；
對于D，因為x∈0,+∞，所以，
所以，
又，
令，所以，
當且僅當時取等號，
所以范圍為，故D正確；
故選：BCD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
12. 已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)__________;
【答案】
【解析】
【分析】設出冪函數(shù)的解析式，把點代入求的值.
【詳解】設冪函數(shù)，因為函數(shù)過點，所以，解得：，
所以
13. 指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，結合二次函數(shù)性質分析求解即可.
【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，
所以二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標.
故答案為：.
14. 若關于的不等式的解集為且非空，則的值為____________.
【答案】或##或?2
【解析】
【分析】由題意可得，且方程的實數(shù)解為，再利用韋達定理求出即可.
【詳解】因為關于的不等式的解集為且非空，
所以，且方程的實數(shù)解為，
所以，解得或，
所以或.
故答案為：或.
15. 已知函數(shù)，存在直線與的圖象有4個交點，則_____，若存在實數(shù)，滿足，則的取值范圍是_______________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】作出分段函數(shù)的圖象，結合圖象進行分析,第一個填空：當時，直線與的圖象有4個交點；第二個填空：當時，存在實數(shù)，滿足，進而可得取值范圍，再結合函數(shù)對稱性從而可得結論.
【詳解】當時，令，解得或；
令，解得；
故可作出的圖象，如圖：

由圖可知，當時，，當時，，
所以若存在直線與的圖象有4個交點時，如圖：

當時，直線與的圖象有4個交點；
若存在實數(shù)，滿足，
如圖：

可知當時，存在實數(shù)，滿足，
令，解得，
則可得；
因為
關于對稱，；同理關于對稱，；
所以，
又因為，
所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：1；.
【點睛】關鍵點睛：作出分段函數(shù)的圖象是關鍵，本題考查數(shù)形結合思想，以及空間想象能力，屬于較難題.
四、解答題：本題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. （1）求值：
（2）已知正實數(shù)滿足，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用指數(shù)運算法則直接計算可得結果；
（2）利用平方關系可求得，再由立方差公式計算即可得出結果.
【詳解】（1）原式；
（2）因為是正實數(shù)，由可得，
所以，
則，所以，
可得
所以.
17. 在①，②“”是“”的充分不必要條件，③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，并求解.
已知集合，.
（1）當時，求；
（2）若______，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）.
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）解不等式可得，代入可得，可得出結果；
（2）根據(jù)選擇的條件得出集合間之間的關系，對集合是否為空集進行分類討論，得出對應的不等關系，解不等式可得實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意得,
可得
當時，，
所以.
【小問2詳解】
若選①，
由可得，
由已知可得當時，，解得;
當時，有，解得；
所以
若選②“”是“”的充分不必要條件，
由已知可得是的真子集，
當時，，解得;
當時，有，解得；
所以，
若選③，
由已知可得當①時，，解得;
當時，需滿足，即；
由或，解或；
所以可得或
即.
18. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求的解析式；
（2）判斷并證明的單調性；
【答案】（1）
（2）為增函數(shù)，證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性及已知條件代入即可求出未知參量，從而得出.
（2）先下結論，再根據(jù)單調性的定義法判斷的單調性.
【小問1詳解】
由題函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，
又由，得，解得，
所以，
則定義域為，且，
所以.
【小問2詳解】
在區(qū)間上為增函數(shù).證明如下：
設，則，
由，得，即，，，
所以，即，所以函數(shù)在上單調遞增.
19. （1）已知，且，求的取值范圍.
（2）解關于的不等式.
【答案】（1）；（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）運用基本不等式，換元結合一元二次不等式解法求解；（2）進行分類討論解二次不等式即可.
【詳解】（1）因為，且，
所以,令，
則，所以,因為，所以，所以.
（2）由題意得，
得，
當，即時，由，得，
當，即時，無解，
當，即時，由，得，
綜上，當時，該不等式解集為；
當時，該不等式的解集為;
當時，該不等式的解集為.
20. 某地區(qū)上年度電價為元/（kW·h），年用電量為kW·h，本年度計劃將電價下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之間，而用戶期望電價為0.4元/（kW·h）.經測算，下調電價后新增用電量和實際電價與用戶的期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)的電力成本價為0.3元/（kW·h）.記本年度電價下調后電力部門的收益為（單位：元），實際電價為（單位：元/（kW·h））.（收益=實際電量（實際電價-成本價））
（1）寫出本年度電價下調后電力部門收益為關于實際電價為的函數(shù)解析式；
（2）當時，實際電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長?
（3）當時，求收益最小值.
【答案】（1），
（2）0.6元/（kW.h）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意表示出下調電價后新增用電量，從而得到電力部門的收益的表達式，由此得解；
（2）當時，代入表達式中列出不等式，解之即可得解；
（3）當時，代入收益中，利用基本不等式即可得解.
【小問1詳解】
由題意知，下調電價后新增用電量為，
故電力部門的收益，.
【小問2詳解】
當時，，
由題意知且，
化簡得，解得或，
又，，
所以實際電價最低定為：0.6元/（kW·h）時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%.
【小問3詳解】
當時，，
令，，，
，
，
當且僅當時取等號，
故收益的最小值.
21. 設函數(shù)的定義域分別為，且?．若對于任意，都有，則稱為在上的一個延伸函數(shù)．給定函數(shù)．
（1）若是在給定上的延伸函數(shù)，且為奇函數(shù)，求的解析式；
（2）設為在上的任意一個延伸函數(shù)，且是上的單調函數(shù)．
①證明：當時，．
②判斷在的單調性（直接給出結論即可）；并證明：都有．
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②單調遞增，證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及“延伸函數(shù)”的定義求得的解析式；
（2）①通過差比較法證得不等式成立；
②根據(jù)函數(shù)的單調性以及不等式的性質證得不等式成立.
【小問1詳解】
依題可知，
當時．則，
，
為奇函數(shù)，，
.
小問2詳解】
①證明：當時，
，
.
②當時且單調遞增，
在上單調遞增，
，
即，即，
同理可得，
將上述兩個不等式相加可得．
原不等式成立.
【點睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

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