命題人：江春 復核人：沈宏
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線一個方向向量為，則的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
3. 經(jīng)過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
4. 已知直線與直線平行，則這兩條平行直線間距離為 （ ）
A. B. C. D.
5. 設(shè)為空間的一個基底，，，，若，，共面，則（ ）
A. B. C. D.
6. 圓與圓的公切線條數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8. 在正四棱柱中，，為棱的中點，為線段上的一點，且，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 直線的橫截距與縱截距之積為
B. 方程（R）能表示平行軸的直線
C. 過點引直線，使點，到的距離相等，則的方程為
D. 點關(guān)于直線對稱點為
10. 對于復數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B.
C. 一定是純虛數(shù)D. 若，，則
11. 已知曲線：（不同時為零），則（ ）
A. 上的點的到點的距離的最大值為
B. 上的點的橫坐標的取值范圍是
C. 圍成的圖形的面積為
D. 若上有四個點到直線的距離等于，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 經(jīng)過圓上的點的的切線方程為____________.
13. 已知斜三棱柱的所有棱長均為，，，分別為，的中點，則______.
14. 已知兩條互相垂直的直線，分別經(jīng)過點，，公共點為，，則當取最小值時，______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，， 為棱的中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線和平面所成的角的正弦值.
16. 已知復數(shù)（R），為實數(shù).
（1）求；
（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，且為實系數(shù)方程的根，求實數(shù)的值.
17. 已知圓，點.
（1）過直線截所得的弦長為，求的方程；
（2）經(jīng)過點和的圓與外切，過作的兩條切線，切點分別為，，求直線的方程.
18. 如圖，直三棱柱中，，，為棱的中點，為棱上一動點.
（1）試確定的位置，使得平面；
（2）求點到平面距離的最大值；
（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的大小.
19. 已知圓，過點的直線與相切，切點在第一象限，在軸上的射影為點.
（1）求的坐標；
（2）過且斜率不為零的另一條直線與交于兩點，在線段上.
①若，求坐標及線段的長；
②設(shè)為線段的中點，直線交直線于點，證明：與軸平行.
2024-2025學年度秋學期期中聯(lián)考試卷
高二數(shù)學
命題人：江春 復核人：沈宏
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線的一個方向向量為，則的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由直線的方向向量可得其斜率，從而可得直線的傾斜角.
【詳解】因為直線的一個方向向量為，
所以直線的斜率，
又，所以.
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，即可根據(jù)共軛復數(shù)的定義求解.
【詳解】由可得，
故，
故選：D
3. 經(jīng)過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)直線在軸上的截距為，分別在，條件下利用待定系數(shù)法求直線方程即可.
【詳解】設(shè)直線在軸上的截距為，
當時，所求直線的方程可設(shè)為，
因為直線過點，
所以，故，即直線方程為，
當時，可設(shè)直線方程為，
由直線過點可得，，
所以，故直線方程為.
所以經(jīng)過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)
的直線方程是或.
故選：C.
4. 已知直線與直線平行，則這兩條平行直線間的距離為 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行，建立方程，可得直線方程，利用平行直線的距離公式，可得答案.
【詳解】由題意可得，則，解得，經(jīng)檢驗符合題意，
可得直線與直線，整理可得，
兩直線之間的距離.
故選：B.
5. 設(shè)為空間的一個基底，，，，若，，共面，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量共面定理列方程，解方程組即可.
詳解】由已知，，共面，
則可設(shè)，
即，
即，解得，
故選：D.
6. 圓與圓的公切線條數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)方程可知圓心和半徑，可得，進而判斷兩圓的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知：圓，即，
可知其圓心為，半徑；
圓，即，
可知其圓心為，半徑；
因為，即，
所以兩圓相交，公切線有2條.
故選：B.
7. 已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，求出直線恒過定點，分析可得在圓內(nèi)部，分析可得：當直線與垂直時，弦最小，求出此時的值，由弦長公式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，圓，圓心的坐標為，半徑，
直線，即，恒過定點，
又由圓的方程為，則點在圓內(nèi)，
當直線與垂直時，弦最小，
此時，
則的最小值為；
故選：A
8. 在正四棱柱中，，為棱中點，為線段上的一點，且，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以點為原點建立空間直角坐標系，根據(jù)，求出點的坐標，再利用向量法求解即可.
【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，
不妨設(shè)，
則，
設(shè)，
則，
因為，
所以，解得，
所以，則，
所以，
即直線與直線所成角的余弦值為.
故選：B.
【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：
（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；
（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 直線的橫截距與縱截距之積為
B. 方程（R）能表示平行軸的直線
C. 過點引直線，使點，到的距離相等，則的方程為
D. 點關(guān)于直線對稱的點為
【答案】ABD
【解析】
【分析】由截距的定義即可判斷A，當時，即可判斷B，分直線斜率存在與不存在，再結(jié)合點到直線的距離公式即可判斷C，由兩點關(guān)于直線對稱，代入計算，即可判斷D
【詳解】對于A，令可得，則直線的縱截距為，
令可得，則直線的橫截距為，
所以直線的橫截距與縱截距之積為，故A正確；
對于B，當時，方程為，表示平行軸的直線，故B正確；
對于C，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
不滿足到直線的距離相等；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，則，
化簡可得，由到直線的距離相等可得，
，解得或，
當時，直線方程為，
當時，直線方程為，
所以的方程為或，故C錯誤；
設(shè)點關(guān)于直線對稱的點坐標為，
則，解得，則對稱的點坐標為，故D正確；
故選：ABD
10. 對于復數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B.
C. 一定是純虛數(shù)D. 若，，則
【答案】BD
【解析】
【分析】對于AC：舉反例說明即可；對于BD：根據(jù)復數(shù)的運算結(jié)合模長公式分析判斷.
【詳解】對于選項A：例如，則，故A錯誤；
對于選項C：例如，則，，故C錯誤；
設(shè)，則，
對于選項B：因，
所以，故B正確；
對于選項D：若，可得，
且，即，可得，即，故D正確；
故選：BD.
11. 已知曲線：（不同時為零），則（ ）
A. 上的點的到點的距離的最大值為
B. 上的點的橫坐標的取值范圍是
C. 圍成的圖形的面積為
D. 若上有四個點到直線的距離等于，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】通過對稱性確定曲線圖形，再結(jié)合圖形逐項判斷即可.
【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對稱，
當，時，曲線
可化為：，表示的圖形為以為圓心，半徑為的一個半圓，
其圖象為：
對于A：坐標原點到的距離為，所以上的點的到點的距離的最大值為，正確；
對于B：由圖象可知上的點的橫坐標的取值范圍是，故B錯誤；
對于C:第一象限圍成的面積為，
故曲線圍成的圖形的面積為.C正確；
對于D:
連接第二象限和第四象限的圓心得到直線：，顯然與垂直，
畫出與兩條直線，
由?1,1到的距離為，可知曲線上恰有三個點到直線的距離等于，
由到的距離為，可知曲線上恰有三個點到直線的距離等于，
所以結(jié)合圖象可知：若上有四個點到直線的距離等于，則，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 經(jīng)過圓上的點的的切線方程為____________.
【答案】
【解析】
【分析】由過切點的半徑與切線垂直得切線斜率，從而求得切線方程.
【詳解】圓心為，切點為，則，所以切線斜率為，
得：切線方程為，化簡得：.
故答案為：
13. 已知斜三棱柱的所有棱長均為，，，分別為，的中點，則______.
【答案】
【解析】
【分析】首先以向量為基底向量，得：，然后兩邊平方，根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)求解即可.
【詳解】因為，分別為，的中點，
所以，
兩邊平方得：
，
因此可得：.
故答案為：
14. 已知兩條互相垂直的直線，分別經(jīng)過點，，公共點為，，則當取最小值時，______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件分析出動點在以線段為直徑的圓上，進而求出當取得最小值時點的坐標，然后利用三角形面積公式求解即可.
【詳解】由題可知，且點為垂足，故點在以線段為直徑的圓上，此時該圓的圓心，半徑，故圓的方程為.
此時易知，當點為直線與圓在第四象限的交點時取得最小值，
此時直線的方程為，將該直線與圓的方程聯(lián)立，
解得，或（舍），故此時，
所以.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：動點問題求解的關(guān)鍵是分析出動點的軌跡，本題中是利用了定義法求出了動點的軌跡方程.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，， 為棱的中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線和平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線線垂直證明線面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，利用坐標法可得直線的方向向量與平面的法向量，進而可得線面角的正弦值.
【小問1詳解】
，且為棱的中點，
，
四邊形為正方形，
，
又平面，平面，
，
，，平面，
平面，
平面，
，
又，，平面，
平面；
【小問2詳解】
四邊形為正方形，
，
以點為坐標原點，，，，方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則A0,0,0，C1,1,0，D0,1,0，P0,0,1，
又為中點，
，
則，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，
令，即n=1,?1,1，
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
16. 已知復數(shù)（R），為實數(shù).
（1）求；
（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，且為實系數(shù)方程的根，求實數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復數(shù)為實數(shù)求出，代入化簡后求復數(shù)模即可；
（2）由復數(shù)是實系數(shù)方程的根代入求出，再結(jié)合所在象限舍去不合適的值.
【小問1詳解】
由，為實數(shù)，則為實數(shù)，
所以，即，，
所以.
【小問2詳解】
由在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，
所以，
又為實系數(shù)方程的根，
則，
所以，，
又，所以.
17. 已知圓，點.
（1）過的直線截所得的弦長為，求的方程；
（2）經(jīng)過點和的圓與外切，過作的兩條切線，切點分別為，，求直線的方程.
【答案】（1）或者.
（2）
【解析】
【分析】（1）由弦長得到圓心到直線的距離為1，即可求解；
（2）求得圓，再結(jié)合四點在以為直徑的圓上，即可求解.
【小問1詳解】
易知知直線斜率存在，設(shè)的方程為：，
因為截圓所得的弦長為，所以到的距離為，
所以，解得或者，
所以的方程為或者.
【小問2詳解】
因為圓經(jīng)過點和，所以設(shè)，又圓與圓外切于點，
所以，，與點共線，則，得，
則圓半徑為，圓方程為，
又，與圓相切，所以四點在以為直徑的圓上，
圓的方程為，即，
直線為圓與圓的公共點所在的直線，則由，
兩式相減得直線的方程為.
18. 如圖，直三棱柱中，，，為棱的中點，為棱上一動點.
（1）試確定的位置，使得平面；
（2）求點到平面距離的最大值；
（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的大小.
【答案】（1）在中點處
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）由空間向量的坐標運算，結(jié)合點到平面的距離公式，代入計算，即可得到結(jié)果；
（3）由空間向量的坐標運算，結(jié)合二面角的夾角公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
當在中點處時，面.
證明如下：在直棱柱中，，以為坐標原點，
以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，.
設(shè)平面的一個法向量為，，，
，令，得，
即.
設(shè)，則，又平面，
則令，解得，
故在中點處時，平面.
【小問2詳解】
設(shè)，為平面的一個法向量.
，，
，
令得即.
到平面的距離為，
當時，到平面的距離的最大值為.
【小問3詳解】
由（2）知平面的一個法向量為，
又平面的一個法向量為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為，
則平面與平面夾角的大小為.
19. 已知圓，過點的直線與相切，切點在第一象限，在軸上的射影為點.
（1）求的坐標；
（2）過且斜率不為零的另一條直線與交于兩點，在線段上.
①若，求的坐標及線段的長；
②設(shè)為線段中點，直線交直線于點，證明：與軸平行.
【答案】（1）
（2）①的坐標為或者，；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）通過為以為斜邊的等腰直角三角形，確定為的中點，即可求解；
（2）①設(shè)Ax0,y0，由，列出方程，結(jié)合Ax0,y0在圓上即可求解；②設(shè)直線方程為，，Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立圓方程，結(jié)合韋達定理，通過 可求證
【小問1詳解】
因為直線與圓相切，切點為，所以
由，所以為以為斜邊的等腰直角三角形，
由第一象限點在軸上的射影為，所以為的中點，
所以點的坐標為.
【小問2詳解】
①設(shè)Ax0,y0，，則，
即，
又，
解得，，
所以的坐標為或者
此時，取為線段的中點，則，由，且為
中點，則，所以.
②證明：因為為線段的中點，所以，
設(shè)直線方程為，，Ax1,y1,Bx2,y2
聯(lián)立方程組，得，
，且，，，
直線方程為，直線方程為，得，
則
，
所以，又，所以與軸平行.
【點睛】利用韋達定理法解決直線與圓相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；
（5）代入韋達定理求解.

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