第八章　§8.10　圓錐曲線中常見結(jié)論及應(yīng)用-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

橢圓、雙曲線、拋物線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識(shí)，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式、法則固然很重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，正確靈活地運(yùn)用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問題便能迎刃而解.
題型一　橢圓、雙曲線的常用結(jié)論及其應(yīng)用
設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓的半徑為r，因?yàn)椤鱂1PF2的內(nèi)切圓的面積為3π，
在△F1PF2中，根據(jù)橢圓的定義及焦點(diǎn)三角形的面積公式，
又a2＝b2＋c2，③
所以該橢圓的長軸長為2a＝2×6＝12.
焦點(diǎn)三角形的面積公式：P為橢圓(或雙曲線)上異于長(或?qū)?軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)且∠F1PF2＝θ，
設(shè)橢圓C1中，a1＝2，b1＝1，又四邊形AF1BF2為矩形，
命題點(diǎn)3　切線、切點(diǎn)弦方程
設(shè)B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，
設(shè)P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即直線AB過定點(diǎn)(－1，－1).
題型二　拋物線的常用結(jié)論及其應(yīng)用
與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的二級(jí)結(jié)論
(6)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，以FA為直徑的圓與y軸相切.
∴F為AB的三等分點(diǎn)，令|BF|＝t，則|AF|＝2t，
(2)已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，A，B的縱坐標(biāo)之積為－8，且|AF|＝3|BF|，則△OAB的面積是
不妨令A(yù)(xA，yA)在第一象限，B(xB，yB)在第四象限，
即|yA|＝3|yB|，代入yAyB＝－8，
焦半徑公式和焦點(diǎn)弦面積公式容易混淆，用時(shí)要注意使用的條件；數(shù)形結(jié)合求解時(shí)，焦點(diǎn)弦的傾斜角可以為銳角、直角或鈍角，不能一律當(dāng)成銳角而漏解.
跟蹤訓(xùn)練4　(1)斜率為的直線經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，A在第一象限且|AF|＝4，則|AB|＝_____.
直線l的傾斜角α＝60°，
得p＝4(1－cs α)＝2，
(2)(2023·長沙模擬)已知拋物線C：y2＝16x，傾斜角為的直線l過焦點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABO的面積為______.
依題意，拋物線y2＝16x，p＝8.
(3)(2023·“四省八校”聯(lián)考)已知拋物線y2＝4x，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則2|AF|＋|BF|的最小值為_________.
所以2|AF|＋|BF|
如圖，由對稱性知MN與F1F2互相平分，∴四邊形MF2NF1為平行四邊形，∵|F1F2|＝|MN|，∴四邊形MF2NF1為矩形，∴　　＝4a2，
3.已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C相交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為A.16　　　B.14　　　C.12　　　D.10
由拋物線的焦點(diǎn)弦弦長公式知
∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，
不妨令直線l的傾斜角為θ，
6.已知F為橢圓C：＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是直線x＝3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作橢圓C的切線AM，AN，切點(diǎn)分別為M，N，則|MF|＋|NF|－|MN|的值為A.3　　　B.2　　　C.1　　　D.0
由已知可得F(1,0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(3，t)，
因?yàn)榍芯€AM，AN過點(diǎn)A(3，t)，
所以點(diǎn)F(1,0)在直線MN上，所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以|MF|＋|NF|－|MN|＝0.
二、多項(xiàng)選擇題7.已知拋物線C：x2＝4y，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，該拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為H，G，如圖所示，則下列說法正確的是A.線段AB長度的最小值為2B.以AB為直徑的圓與直線y＝－1相切C.∠HFG＝90°D.∠AMO＝∠BMO
如圖，取AB的中點(diǎn)E，作ED⊥GH，垂足為D，當(dāng)線段AB為通徑時(shí)長度最小，為2p＝4，故A不正確；∵直線y＝－1為準(zhǔn)線，
故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線y＝－1相切，故B正確；又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF，又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG，
∴∠BFG＝∠MFG，同理可得∠AFH＝∠MFH，又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°，∴∠MFG＋∠MFH＝90°，∴FG⊥FH.即∠HFG＝90°，故C正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，直線AB的斜率存在，∴設(shè)直線AB：y＝kx＋1，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
∴∠AMO＝∠BMO，故D正確.
8.(2024·廣州模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，P為雙曲線的左支上一點(diǎn)，且直線PA1與PA2的斜率之積等于3，則下列說法正確的是A.雙曲線C的離心率為2B.若PF1⊥PF2，且　 ?。?，則a＝2C.以線段PF1，A1A2為直徑的兩個(gè)圓外切D.若點(diǎn)P在第二象限，則∠PF1A2＝2∠PA2F1
對于B，因?yàn)镻F1⊥PF2，
對于C，設(shè)PF1的中點(diǎn)為O1，O為原點(diǎn).因?yàn)镺O1為△PF1F2的中位線，
則可知以線段PF1，A1A2為直徑的兩個(gè)圓外切，故C正確；對于D，設(shè)P(x0，y0)，則x00.
所以∠PF1A2＝2∠PA2F1，故D正確.
三、填空題9.設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為_________________.
y2＝4x或y2＝16x
拋物線C的方程為y2＝2px(p>0)，因?yàn)橐訫F為直徑的圓與y軸相切，所以該圓與y軸相切于點(diǎn)(0,2)，故圓心的縱坐標(biāo)為2，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
代入拋物線方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x.
10.已知橢圓C：＋y2＝1.如圖，設(shè)直線l與圓O：x2＋y2＝R2(1

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