考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分
注意事項(xiàng)：
1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上
一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.直線的傾斜角為（ ）
A.B.C.D.
2.已知圓，圓，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（ ）
A.B.C.D.
3.平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A.B.C.D.
4.“”是“直線與直線平行”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（ ）
A.3B.4C.6D.10
6.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（ ）
A.B.C.D.
7.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A.的方程為
B.在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為3
C.在上存在點(diǎn)，使得
D.上的點(diǎn)到直線的最小距離為1
8.，，函數(shù)的最小值為（ ）
A.2B.C.D.
二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）
9.對(duì)于隨機(jī)事件和事件，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.若與互斥，則B.若與互斥，則
C.若與相互獨(dú)立，則D.若與相互獨(dú)立，則
10.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A.若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則
B.若空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面
C.若空間向量，滿足，則與夾角為鈍角
D.若空間向量，，則在上的投影向量為
11.伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（ ）
A.
B.直線與平面所成角的正弦值為
C.異面直線與所成角的余弦值為
D.點(diǎn)到直線的距離是
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知向量，，若，則__________.
13.已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是__________.
14.已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為__________；直線過(guò)定點(diǎn)__________.
四、解答題：（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15.（13分）已知直線的方程為.
（I）直線與垂直，且過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；
（II）直線與平行，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線的方程.
16.（15分）某居民小區(qū)為了提高小區(qū)居民的讀書興趣，特舉辦讀書活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站.由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)讀書者進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天中40名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：
，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）估計(jì)這40名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)；
（2）估計(jì)這40名讀書者年齡的眾數(shù)和第80百分位數(shù)；
（3）從年齡在區(qū)間上的讀書者中任選兩名，求這兩名讀書者年齡在區(qū)間上的人數(shù)恰為1的概率.
17.（15分）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段的中點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）記（1）中所求軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，曲線的中心記為點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.
18.（17分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)（與，不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由.
19.（17分）圓冪是指平面上任意一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差：在平面上任給兩個(gè)不同心的圓，則兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸.已知圓與圓
（1）求圓與圓的根軸；
（2）已知點(diǎn)為根軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程；
（3）給出定點(diǎn)，設(shè)，分別為根軸和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
高二數(shù)學(xué)期中答案學(xué)生版
參考答案：
12.2
13.
14.
15.（1）（2）直線的方程為：或
【詳解】試題分析：（1）由直線與垂直，可設(shè)直線的方程為：，將點(diǎn)代入方程解得，從而可得直線的方程；（2）由直線與平行，可設(shè)直線的方程，由直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，解得可得直線的方程.
試題解析：（1）設(shè)直線的方程為：
直線過(guò)點(diǎn)，
解得
直線的方程為：.
（2）設(shè)直線的方程為：
令，得；令，得
則，得
直線的方程為：或.
16.（1）30
（2）眾數(shù)為55；第80百分位數(shù)為66
（3）
【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)的計(jì)算方法可得答案；
（2）最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)；根據(jù)百分位數(shù)的定義可求得樣本的第80百分位數(shù)；
（3）計(jì)算抽取的人中，位于的有2人，記為，，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有4人，記為，，，，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，年齡在區(qū)間上的頻率為：
所以40名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)為：
（2）由頻率分布直方圖可知，40名讀書者年齡的眾數(shù)約為55；
年齡在區(qū)間上的頻率為：
年齡在區(qū)間上的頻率為：，
故第80百分位數(shù)位于之間，設(shè)為，
所以，解得，
所以這40名讀書者年齡的第80百分位數(shù)約為66.
（3）由頻率分布直方圖知：年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，，年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，，，，從上述6人中選出2人，則有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況；
其中恰有1人在的情況有，，，，，，，，共8種情況；
所以恰有1人在的概率為.
17.（1）
（2）或
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)題意得到，代入圓，即可求解；
（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，求得圓心到直線的距離為，得到，結(jié)合基本不等式，求得最小值，進(jìn)而求得直線的方程.
【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是線段的中點(diǎn)，
則，可得，，即，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，
即，整理得，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）解：過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，則直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線，即，
則圓心到直線的距離為，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以時(shí)，取得最大值2，此時(shí)，解得或，
所以取得最大值2，此時(shí)直線的方程為或.
18【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)線面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；
（3）利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又因?yàn)?，?br>所以，而，，平面，
所以平面；
（2）因?yàn)槠矫?，，平面?br>所以，，而，
于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，
由（1）可知：平面，
所以平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，，，
則有，
設(shè)平面與平面夾角為，
；
（3）設(shè)，設(shè)，
于是有，
，由（2）可知平面的法向量為，
假設(shè)與平面所成角的正弦值為，則有，或舍去，即.
19.（1）；
（2）；
（3）的最小值為，此時(shí).
【分析】（1）先求出圓和圓的圓心和以及半徑和，接著由列式化簡(jiǎn)即可得解.
（2）先由題意求得，進(jìn)而結(jié)合求得取得最小值時(shí)亦即取得最小值時(shí)，接著求出此時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，再求出以線段為直徑的圓的方程，從而求出該圓與圓的公共弦所在直線方程即可得解.
（3）先求出關(guān)于根軸對(duì)稱的點(diǎn)，接著得，從而得與圓和根軸相交的點(diǎn)和使得最小，進(jìn)而求得的最小值，再由聯(lián)立根軸的方程即可求出.
【詳解】（1）由題圓的圓心為，半徑為；圓圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)為圓與圓的根軸上的任意一點(diǎn)，
則由題可得，即，
整理得，即圓與圓的根軸為直線.
（2）由題意可知且，，，設(shè)與相交于點(diǎn)，
則，
又，
所以，所以取得最小值時(shí)即為取得最小值時(shí)，
又，所以取得最小值時(shí)亦即取得最小值時(shí)，
而取得最小值時(shí)，且該最小值為圓心到根軸的距離為，
此時(shí)即，
聯(lián)立，故此時(shí)，
所以此時(shí)中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以以線段為直徑的圓的方程為，即，
則是該圓與圓的公共弦，所以兩圓方程相減即為直線的方程為：即.
（3）設(shè)關(guān)于根軸對(duì)稱的點(diǎn)為，
則，故，
則由三角形兩邊之和大于第三邊可得，
連接，則此時(shí)與圓和根軸相交的點(diǎn)和使得最小為
，
且此時(shí)即，
聯(lián)立，即此時(shí)，
所以的最小值為，此時(shí).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解直線的方程的關(guān)鍵點(diǎn)1是將轉(zhuǎn)化為，從而求得取得最小值時(shí)亦即取得最小值時(shí)，進(jìn)而求出此時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵點(diǎn)2是求出以線段為直徑的圓的方程，從而將直線的方程轉(zhuǎn)化為該圓與圓的公共弦所在直線方程而得解.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
C
C
C
C
C
BC
ABD
題號(hào)
11
答案
ABD

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