2024.11
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫(xiě)清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條形碼粘貼處”.
2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效.
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）
1.函數(shù)，的值域?yàn)椋? ）
A.B.C.D.
2.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
3.若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
5.已知，，且，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.12
6.已知圖①對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則圖②對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（ ）
圖① 圖②
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（ ）
A.B.
C.D
8.若實(shí)數(shù)，，滿足，.用表示，，中最小的數(shù)，則的最大值為（ ）
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.下列命題中，是真命題的有（ ）
A.，B.，
C.，D.，
10.已知角滿足，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.B.
C.D.
11.定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：①；②；③當(dāng)時(shí)，.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.在上單調(diào)遞增B.
C.（）D.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.
13.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則使得有兩組解的的值為_(kāi)_____.（寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)整數(shù)值即可）
14.已知非空集合，.若，則的值______.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，博大精深.某興趣小組，為了了解當(dāng)?shù)鼐用駥?duì)喝茶的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：
（1）是否有90%的把握認(rèn)為該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān)？
（2）以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當(dāng)?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機(jī)選出2人參加茶文化藝術(shù)節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為，求的分布列與期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
16.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)（），且.
（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.
17.（本小題滿分15分）
如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，、、分別為棱、、的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正切值.
18.（本小題滿分17分）
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.
（1）判斷的形狀；
（2）已知，，，點(diǎn)、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（、不重合，且點(diǎn)靠近，點(diǎn)靠近）.記，，.
①當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)的最小值；
②是否存在常數(shù)和，對(duì)于所有滿足題意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考公式：.
19.（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若實(shí)數(shù)滿足：存在，使得成立.
①求的取值范圍；
②請(qǐng)比較與的大小，并說(shuō)明理由.
2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期中檢測(cè)
高三數(shù)學(xué)參考答案
2024.11
15.【答案】（1）零假設(shè)為：該地居民喜歡喝茶與年齡沒(méi)有關(guān)系.
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，
即沒(méi)有90%的把握認(rèn)為該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān).
（2）的取值可能為0，1，2.
則；；.
所以的分布列為：
所以的期望為.
16.【答案】（1），
因?yàn)?，所以，，可得，?br>又，所以，
所以，
由，，可得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.
（2）因?yàn)閳D象向右平移個(gè)單位得到，
再將圖象上各個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)2倍得到，所以；
所以不等式為，不等式化為，
所以，所以，所以，
結(jié)合函數(shù)在上的圖象得，
所以原不等式的解集為.
17.【答案】（1）證明：正方體中，
，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，
平面，平面，
所以，所以，
正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以，所以，設(shè)、交點(diǎn)為，
則，
所以，即；
又、平面，，
所以平面.
（注：用空間向量法證明亦可）
（2）方法一：在中，過(guò)點(diǎn)作于，連.
由（1）知平面，故，
又、平面，所以平面，所以，
所以為二面角的平面角.
在中，，所以，
在，，所以，
所以，所以.
所以，所以，
在中，，，
所以，，
在中，，所以，
在中，.
所以二面角的正切值為.
方法二：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以、、為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，，，分別為棱，，的中點(diǎn).
所以，，，，.
所以，.
由（1）知平面.
所以是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)是平面的法向量，
則取，得，
所以，
所以二面角的余弦值為，
所以二面角的正切值為.
18.【答案】（1）在中，因?yàn)?，且?br>所以，
即，，
所以或者.
當(dāng)時(shí)，所以，為直角三角形；
當(dāng)時(shí)，所以，為等腰三角形.
綜上所述，為直角三角形或等腰三角形.
（2）①因?yàn)?，所以，又，，所以?
如圖，設(shè)，，
方法一：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因?yàn)椋裕?br>故當(dāng)，即時(shí)，.
方法二：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因?yàn)?，所以?br>故當(dāng)，即時(shí)，.
方法三：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以
，
因?yàn)?，所以?br>故當(dāng)，即時(shí)，.
②假設(shè)存在常數(shù)，，對(duì)于所有滿足題意的，，
都有成立，
則存在常數(shù)，，對(duì)于所有滿足題意的，，利用參考公式，有
.
由題意，是定值，所以，是定值，
對(duì)于所有滿足題意的，成立，故有，
因?yàn)?，從而?br>即，，所以.
故，.
思路二：也可以賦值：因?yàn)閷?duì)于所有滿足題意的，，
都有，
取，則，則，
所以，
取，，則，，
則，即，所以.
再證明等式恒成立.
19.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取極小值0，無(wú)極大值.
（注：不交代極大值，扣1分）
（2）①方法一：由（1）可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）.
在上式中，用代，則有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）.
.
1° 若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，則，
故不存在，使得成立，故不符合；
2° 若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，則，
故不存在，使得成立，故不符合；
3° 若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，令，即，此時(shí)，則，
所以存在，使得成立，故符合.
綜上所述，的取值范圍為.
方法二：因?yàn)榇嬖?，使得?br>則存在，使得.
令，則，
令，則.
1° 若，則，單調(diào)遞增，
又，所以，即，單調(diào)遞增，
又，所以，故不存在，使得成立.
2° 若，令，則，則單調(diào)遞增.
若，即時(shí)，，即，單調(diào)遞增，
又，所以，即，單調(diào)遞增，
又，所以，故不存在，使得成立；
若，即時(shí)，
因?yàn)?，?br>又單調(diào)遞增，的圖象連續(xù)不間斷，
所以由零點(diǎn)存在性定理可知，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，
故存在，使得成立.
綜上所述，的取值范圍為.
（注：若根據(jù)直觀想象給出一定的敘述，答案正確，給3分；若僅有答案且正確，沒(méi)有必要的敘述，給2分）
②因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
由①可知，則、，
所以要比較與的大小，即比較與的大小，
即比較與的大小.
令，則比較與的大小.
易知在上單調(diào)遞增，即比較與的大小，
即比較與的大小，即比較與的大小.
令（），則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又.
所以當(dāng)時(shí)，，即，
由在上單調(diào)遞增，可知，即，
又在上單調(diào)遞增，所以.
類(lèi)似地，可得：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)或4時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
（注：漏1種情況，扣1分；至多扣2分）
不喜歡喝茶
喜歡喝茶
合計(jì)
35歲以上（含35歲）
30
30
60
35歲以下
25
15
40
合計(jì)
55
45
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
A
B
C
B
C
D
BD
ABD
BCD
題號(hào)
12
13
14
答案
6，7，8，9任意一個(gè)均可
0
1
2

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