一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知函數(shù)，若，則的值為（ ）
A．B．或2C．或2D．或
3．函數(shù)在的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
6．命題“”為假命題，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)的定義城為，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．3D．4
8．已知函數(shù)，若對(duì)任意，有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)的得0分．
9．下面命題正確的是（ ）
A．“”是“”的充要條件
B．“”是“”的充分不必要條件
C．“”是“”的必要不充分條件
D．“且”是“”的必要不充分條件
10．下列命題中正確的是（ ）
A．的最小值是2
B．當(dāng)時(shí)，的最小值是3
C．當(dāng)時(shí)，的最大值是5
D．若正數(shù)滿足，則的最小值為3
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，若，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．
13．集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
14．記表示個(gè)元素的有限集，表示非空數(shù)集中所有元素的和，若集合，則______；若，則的最小值為______．
四、解答題：本大題共5小題，計(jì)77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
設(shè)集合．．
（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．（本小題滿分15分）
隨著AI技術(shù)的不斷發(fā)展，人工智能科技在越來(lái)越多的領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用．某校在寒假里給學(xué)生推薦了一套智能輔導(dǎo)系統(tǒng)，學(xué)生可自愿選擇是否使用該系統(tǒng)完成假期的作業(yè)．開學(xué)時(shí)進(jìn)行了入學(xué)測(cè)試，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)得到如下列聯(lián)表：
（1）判斷是否有95%的把握認(rèn)為入學(xué)測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀與使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)；
（2）若把這100名學(xué)生按照入學(xué)測(cè)試成績(jī)是否優(yōu)秀進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，記抽取的2人中入學(xué)測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
17．（本小題滿分15分）
定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（本小題滿分17分）
在四棱錐中，平面，底面為正方形，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，．
（1）證明：；
（2）求實(shí)數(shù)的值，使得平面與平面所成角的余弦值最大．
19．（本題滿分17分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍．
使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)
未使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)
合計(jì)
入學(xué)測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀
20
20
40
入學(xué)測(cè)試成績(jī)不優(yōu)秀
40
20
60
合計(jì)
60
40
100
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
高三年級(jí)暑期檢測(cè)
數(shù)學(xué)
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)的得0分．
9．【答案】BC 10．【答案】BCD
11．【答案】ACD
【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，故，故，A正確；
B選項(xiàng)，由題意得，又，故，令得，即，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由題意得，即，
令，則，所以為奇函數(shù)，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>即，故，
令，則，故為偶函數(shù)，D正確．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】 21
【詳解】當(dāng)時(shí)，表示3個(gè)元素的有限集，
由可知：或或或，故；
由題，，由，
即，解得或（舍去），
由，故的最小值為21，
四、解答題：本大題共5小題，計(jì)77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，由得：，即；
綜上，；
（2）由題得，，所以，且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
16．【詳解】（1），
沒(méi)有的把握認(rèn)為入學(xué)測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀與使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)；
（2）人中2人成績(jī)優(yōu)秀，3人成績(jī)不優(yōu)秀，
的取值可能為0、1、2，
，
分布列為：
．
17．解：（1）是奇函數(shù)，，即，解得，
又由知：，解得．
此時(shí)，，即是奇函數(shù)．
故．
【或】是奇函數(shù)，
，即恒成立．
或
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，舍去?br>故．
（2）由（1）知，則在上為減函數(shù)，
又是奇函數(shù)，由得：，
，即在上有解，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
在上的最大值為，
，即．
18．【詳解】
（1）略；
（2）如圖分別以所在的直線為軸，
不妨設(shè)，則，
，設(shè)，
則，解得，
設(shè)平面的法向量為，
則，
所以，取，則，即，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，
則，
令，則，
所以，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，．
19．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以，
所以在上單調(diào)遞減；
（2），
設(shè)，則，
（?。┊?dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，又，
所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)；
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸為，此時(shí)，故，使，
當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，
又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以為的極小值點(diǎn)；
（ⅳ）當(dāng)時(shí)，，使，
當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，
又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以為的極大值點(diǎn)；
（ⅴ）當(dāng)時(shí)，由（1）知非極小值點(diǎn)．
綜上所述，．0
1
2

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