2024.11
（時(shí)間：120分鐘 分值：150分）
一、選擇題
1．直線的傾斜角為( )
A.B.C.D.
2．設(shè)B，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且，則C的離心率為( )
A.B.C.D.
3．若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實(shí)數(shù)( )
A.-2B.-1C.1D.2
4．若P，Q分別為直線上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為( )
A.B.C.D.
5．如圖所示，在三棱錐P–ABC中，平面ABC，D是棱PB的中點(diǎn)，已知PA=BC=2，AB=4，，則異面直線PC，AD所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
6．已知直線,,則“”是“平行于”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
7．已知圓，，則這兩圓的公共弦長(zhǎng)為( )
A.4B.C.2D.1
8．如圖,已知正方體,空間中一點(diǎn)P滿足,且,當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)P位置記為點(diǎn)Q,則數(shù)量積的不同取值的個(gè)數(shù)為( )
A.3B.6C.7D.8
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列命題是真命題的是( )
A.若，則的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反
B.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面
C.若兩個(gè)非零向量與滿足，則
D.若空間向量，滿足，且與同向，則
10．已知方程表示的曲線為C,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),曲線C是橢圓
B.當(dāng)或時(shí),曲線C是雙曲線
C.若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則
D.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則
11．1970年4月24日，我國(guó)發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國(guó)開(kāi)始了人造衛(wèi)星的新篇章.已知人造衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即人造衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，如圖所示.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，則下列結(jié)論正確的是( )
A.人造衛(wèi)星向徑的取值范圍是
B.人造衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間
C.人造衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁
D.人造衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小
三、填空題
12．直線的傾斜角的取值范圍是_________.
13．如圖所示，在正四棱柱中，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段、上，則線段長(zhǎng)度的最小值是__________．
四、雙空題
14．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)，，.若D為的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，則直線CD的傾斜角的取值范圍是______，直線CD的斜率k的取值范圍是______.
五、解答題
15．在平面直角坐標(biāo)系中,圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),且圓心在直線上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線被圓C截得弦長(zhǎng)為,求實(shí)數(shù)a的值.
16．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)M、N為分別為、的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，.
(1)證明：平面；
(2)若與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，求.
18．過(guò)點(diǎn)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)面積最小時(shí)，求直線l的方程；
(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的方程.
19．已知圓C過(guò)點(diǎn)和,且圓心C在直線上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相切,求l的方程.
參考答案
1．答案：A
解析：直線的斜率,
假設(shè)直線的傾斜角為,則,
因?yàn)?
所以,
故選：A.
2．答案：C
解析：令橢圓半焦距為c，依題意，，，
由，得，
則，而點(diǎn)P在橢圓上，于是，解得，
所以C的離心率為.
3．答案：B
解析：∵，∴，解得或，
時(shí)，兩直線方程為，即，，符合，
當(dāng)時(shí)，兩直線方程，即，，不符合，
故選：B
4．答案：C
解析：因?yàn)椋?br>所以兩直線平行，
將直線化為，
由題意可知的最小值為這兩條平行直線間的距離，
即，
所以的最小值為.
故選：C
5．答案：D
解析:因?yàn)槠矫鍭BC,
所以.過(guò)點(diǎn)A作,
又,則AP,AB,AE兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),
分別以AB,AE,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則.因?yàn)镈為PB的中點(diǎn),
所以.故.
所以.
設(shè)導(dǎo)面直線PC,AD所成的角為,
則.
6．答案：C
解析：由直線平行于得,得或,
經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)時(shí),直線與重合,舍去,
所以“”是“平行于”的充要條件,
故選：C.
7．答案：C
解析：由題意知，，將兩圓的方程相減，得，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為.
又因?yàn)閳A的圓心為，半徑，
所以圓的圓心到直線的距離.
所以這兩圓的公共弦的弦長(zhǎng)為.
故選C.
8．答案：A
解析：以為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系,如圖所示:
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,
則,,,,,,,,
因?yàn)?且,
所以點(diǎn)P在平面內(nèi),
又因?yàn)槿忮F為正三棱錐,
當(dāng)平面時(shí),取最小值,此時(shí)點(diǎn)P位置記為點(diǎn)Q,
所以為的重心,則,故,
又因?yàn)?,,,,,,
所以,,,,,,,
所以共3個(gè)不同的取值.
故選:A.
9．答案：BC
解析：A.若，則的長(zhǎng)度相等，它們的方向不一定相同或相反，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.根據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則與第三個(gè)向量必然共面，則這三個(gè)向量一定共面，所以該選項(xiàng)正確；
C.若兩個(gè)非零向量與滿足，則，所以，所以該選項(xiàng)正確；
D.若空間向量，滿足，且與同向，與也不能比較大小，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
10．答案：BCD
解析：A選項(xiàng),曲線C是橢圓等價(jià)于,解得且,故A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),曲線C是雙曲線等價(jià)于,解得或,故B正確;
C選項(xiàng),若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則,解得,故C正確;
D選項(xiàng),若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則,解得,故D正確.
故選：BCD.
11．答案：ABD
解析：
12．答案：
解析：，
故.
故答案為：.
13．答案：
解析：由題意可知，線段長(zhǎng)度的最小值為異面直線、的公垂線的長(zhǎng)度.
如下圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)、、、，
所以，，，，
設(shè)向量滿足，，
由題意可得，解得，
取，則，，
可得，
因此，.
故答案為：.
14．答案：；
解析：如圖，由斜率公式得，，.
，直線BC的傾斜角為60°.
，直線AC的傾斜角為30°.
D為的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，直線CD的傾斜角.
又直線CD的斜率k滿足，
k的取值范圍為.
故答案為：；.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)?的中點(diǎn)為,且直線的斜率,
則線段的垂直平分線所在直線的方程為,
聯(lián)立方程,解得,
即圓心,,
所以,圓C的方程為.
(2)因?yàn)橹本€被曲線C截得弦長(zhǎng)為,
則圓心到直線的距離,
由點(diǎn)到直線的距離公式可得,解得.
16．答案：（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
解析：（1）證明：取的中點(diǎn)E，連接，.
因?yàn)辄c(diǎn)M、E分別為、的中點(diǎn)，
所以是的中位線
所以且，
又因?yàn)镹為的中點(diǎn)，可得且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平?
（2）取的中點(diǎn)S，連結(jié)，，
因?yàn)椋傻?，且?br>又因?yàn)?，且?br>所以，所以，
又因?yàn)?，且平面，所以平面?br>以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
可得，，，，，
因?yàn)镸為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，可得，，
則，，，，
設(shè)是平面的法向量，則，
取，可得，，所以，
設(shè)是平面的法向量，則，
取，可得，，所以；
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
17．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：(1)底面是菱形，
，
平面，且平面，
.
又，平面,
平面，
平面，，
又，且平面，，
平面，平面，，
，，
即，
又平面，
且，平面.
(2)以E為原點(diǎn)，以為x軸，為y軸，過(guò)點(diǎn)E且平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則
，
,
,又,
在中由勾股定理得,
即,.
，
，
，，
平面，
與平面所成的角為，
平面，
是平面的一個(gè)法向量，
平面，平面，
平面平面，設(shè)，
只需，則平面，
則，
令，
則，
，.
18．答案：(1)；
(2)
解析：由題意設(shè)，，其中a，b為正數(shù)，可設(shè)直線的截距式為，
直線過(guò)點(diǎn)，，
(1)由基本不等式可得，解得：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，上式取等號(hào)，
面積，則當(dāng)，時(shí)，面積最小，此時(shí)直線l的方程為，即，
(2)由于，
當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)，時(shí)，的值最小，此時(shí)直線l的方程為，即．
19．答案：(1)
(2)或
解析：(1)設(shè)圓C的方程為,
根據(jù)題意,可得,解得,,,
所以圓C的方程為.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為,符合題意;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為,
由圓心到直線的距離等于圓的半徑,可得,解得,
則直線l的方程為,即.
故直線l的方程為或.
A
√
根據(jù)橢圓定義知人造衛(wèi)星向徑的取值范圍是.
B
√
當(dāng)人造衛(wèi)星在左半橢圓弧上運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)的面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，知人造衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間.
C
×
由選項(xiàng)A分析可知，人造衛(wèi)星向徑的最小值和最大值分別為和，則，比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓.
D
√
根據(jù)面積守恒規(guī)律，人造衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度最小.

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