2024.11
（時(shí)間：120分鐘 分值：150分）
一、選擇題
1．函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，則的定義域?yàn)? )
A.B.C.D.
2．已知數(shù)列滿足,且,當(dāng)取最小值時(shí)n為( )
A.B.C.6D.7
3．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
4．若定義上的函數(shù)滿足：對(duì)任意有，若的最大值和最小值分別為M，N，則的值為( )
A.2022B.2018C.4036D.4044
5．已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
6．已知函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).
A.B.C.D.
7．已知命題，總有，則為( )
A.，使得
B.，使得
C.，總有
D.，總有
8．已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，且，都有，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為( )
A.是偶函數(shù)B.
C.的圖象關(guān)于對(duì)稱D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則a的取值可以是( )
B.D.
10．若,,,則下列不等式恒成立的是( )
A.B.C.D.
11．以下結(jié)論正確的是( )
A.若,則的最小值是2
B.若a,且,則
C.的最小值是2
D.若,,且,則
三、填空題
12．已知，，則的取值范圍是________.
13．若集合，若A的真子集個(gè)數(shù)是3個(gè)，則a的范圍是________.
四、雙空題
14．充分條件、必要條件
當(dāng)時(shí),我們稱p是q的______條件,q是p的______條件.
五、解答題
15．已知集合,.
（1）若,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
（2）若,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
16．隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運(yùn)輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）和車流密度x（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式：.研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車流速度是0千米/小時(shí).
（1）若車流速度v不小于40千米/小時(shí)，求車流密度x的取值范圍；
（2）隧道內(nèi)的車流量y（單位時(shí)間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿足，求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時(shí)），并指出當(dāng)車流量最大時(shí)的車流密度（精確到1輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：）
17．設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)P.設(shè)，求的最大面積及相應(yīng)x的值.
18．已知函數(shù).
(1)求的值域；
(2)若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19．設(shè)函數(shù)
（1）若,求的解集.
（2）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求a的取值范圍;
（3）解關(guān)于的不等式:.
參考答案
1．答案：D
解析：由函數(shù)的定義域?yàn)?，可得?br>函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由函數(shù)，可得，解得，
函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：D.
2．答案：C
解析：由,
得
,累加可得
,
又,.
當(dāng),,也滿足上式.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
,
令,,
在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),取得最小值,
故選：C.
3．答案：B
解析：若，，則是4的正因數(shù)，而4的正因數(shù)有1，2，4，
所以，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
4．答案：D
解析：任意有，
取，則
即，
令，
則，
故，
令，
則，
故，
故為上的奇函數(shù)，
故
即，
故，
故選：D
5．答案：D
解析：當(dāng)時(shí),,顯然其在單調(diào)遞增,
且;
當(dāng)x>1時(shí),,顯然其在單調(diào)遞增,
又當(dāng)x=1時(shí),.
綜上所述,在R上單調(diào)遞增.
故不等式等價(jià)于,
即,
解得或.
即.
故選：D.
6．答案：D
解析：因?yàn)?令,
因?yàn)?即為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,
根據(jù)奇函數(shù)對(duì)稱性可知，在R上單調(diào)遞增，
則可化為
,
即,
所以,
所以,
解得.
故選:D
7．答案：B
解析：因?yàn)?，總?br>則為，使得
故選:B
8．答案：D
解析：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱且關(guān)于直線對(duì)稱，，，，
，所以是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期.
，
，B正確；
，是偶函數(shù)，A正確；
因此的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確；
對(duì)任意的，且，都有，即時(shí)，，所以在是單調(diào)遞增，
，，，
，，D錯(cuò).
故選：D.
9．答案：BCD
解析：.
當(dāng),時(shí),,所以對(duì)恒成立,
設(shè),則且,
則解得.
故選：BCD.
10．答案：BD
解析：因?yàn)?則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故A錯(cuò)誤;
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故B正確;
令,則不成立,故C錯(cuò)誤;
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故D正確.
故選：BD.
11．答案：AD
解析：對(duì)于選項(xiàng)A.當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故A正確.
對(duì)于選項(xiàng)B.因,所以且,因此.
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故B不正確.
對(duì)于選項(xiàng)C..
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
此時(shí)無實(shí)數(shù)解,故無法取等號(hào),故的最小值不是2.選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)D.由,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故D正確.
故選:AD.
12．答案：
解析：，，
設(shè)，
所以，解得：，
所以，
又，
所以，即的取值范圍是.
故答案為：
13．答案：
解析：因?yàn)榧螦的真子集個(gè)數(shù)是3個(gè)，
所以集合A中有兩個(gè)元素，
所以方程有兩個(gè)不相等的根，
所以，解得，且，
即a的范圍為，
故答案為：
14．答案：充分；必要
解析：
15．答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）,且,
或,
解得:或.
（2）,
,
解得:.
16．答案：（1）車流密度x的取值范圍是；
（2）隧道內(nèi)車流量的最大值約為3667輛/小時(shí)，此時(shí)車流密度約為83輛/千米.
解析：（1）由題意知當(dāng)（輛/千米）時(shí)，（千米/小時(shí)），
代入，解得，
所以.
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得，所以.
所以，若車流速度v不小于40千米/小時(shí)，則車流密度x的取值范圍是.
（2）由題意得，
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以，隧道內(nèi)車流量的最大值約為3667輛/小時(shí)，此時(shí)車流密度約為83輛/千米.
17．答案：時(shí)的最大面積為
解析：由題意可知，矩形的周長(zhǎng)為，，即，
設(shè)，則，，
而為直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
此時(shí)滿足，
即時(shí)的最大面積為.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)令，當(dāng)時(shí)，，
則可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以在上的值域?yàn)?
(2)令，當(dāng)時(shí)，，
則關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，
可化為對(duì)恒成立，
所以，
即，
又在上為減函數(shù)，
在上為增函數(shù)，
在上的最大值為.
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
19．答案：（1）R
（2）
（3）分類討論,答案見解析.
解析：（1）由函數(shù),
若,可得,
又由,即不等式,即,
因?yàn)?且函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上,
所以不等式的解集為R,即的解集為R.
（2）由對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,等價(jià)于,恒成立,
當(dāng)時(shí),不等式可化為,不滿足題意.
當(dāng),則滿足,即,解得,
所以的取值范圍是.
（3）依題意,等價(jià)于,
當(dāng)時(shí),不等式可化為,所以不等式的解集為.
當(dāng)時(shí),不等式可化為,此時(shí),
所以不等式的解集為.
當(dāng)時(shí),不等式化為,
①當(dāng)時(shí),,不等式的解集為;
②當(dāng)時(shí),,不等式的解集為;
③當(dāng)時(shí),,不等式的解集為;
綜上,當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為.

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