1. 設(shè)集合，，則（）
A. B. C. D.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，則（）
A. B. C. D.
3. 走路是最簡單優(yōu)良的鍛煉方式，它可以增強心肺功能，
血管彈性，肌肉力量等，甲、乙兩人利用手機記錄了去年
下半年每個月的走路里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)
據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 甲走路里程的極差等于
B. 乙走路里程的中位數(shù)是
C. 甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)
D. 甲下半年每月走路里程的標準差小于乙下半年每月走路里程的標準差
4.已知直線與直線互相垂直，則是的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5. 若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）
A. －B. 5C. 2D. 8
6. 下列命題正確的是（）
A. 命題“”為假命題，則命題與命題都是假命題
B. 命題“若，則” 的逆否命題為真命題
C. 若使得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則為函數(shù)的極值點；
D. 命題“，使得”的否定是：“，均有”
7.已知的展開式的各項系數(shù)和為32，則展開式中x4的系數(shù)為( )
A．20 B．15C．10 D．5
8.六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．48種B．72種C．120種D．144種
9. 已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，
，則球的表面積為（）
A. B. C. D.
10. 已知函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，則a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
11. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函數(shù)有兩個不同的極值點，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．
13. 若直線始終平分圓的周長，則的最小值為．
14. 命題：“，”，命題：“，”，若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是_____________．
15. 已知雙曲線的右焦點為F．圓與雙曲線C的漸近線在第一象限交于點P，直線與雙曲線C交于點Q，且，則雙曲線C的離心率為______．
16. 已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且時，，給出下列結(jié)論：①；②函數(shù)在上是增函數(shù)；③函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；④若，則關(guān)于的方程在上的所有根之和為.則其中正確命題的序號為____________.
三、解答題：共70分
17.（本題12分）在中,角的對邊分別為,
(1) 求;
(2) 若,的面積為,求的周長.
18.（本題12分）每年的3月21日是世界睡眠日,保持身體健康的重要標志之一就是有良好的睡眠,某機構(gòu)為了調(diào)查參加體育鍛煉對睡眠的影響,從轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的常參加體育鍛煉和不常參加體育鍛煉的人中,各抽取了100人,通過問詢的方式得到他們在一周內(nèi)的睡眠時間（單位：小時）,并繪制出如下頻率分布直方圖.
(1)若每周的睡眠時間不少于44小時的列為“睡眠足”,每周的睡眠時間在44小時以下的列為“睡眠不足”,請根據(jù)已知條件完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從常參加體育鍛煉的樣本人群中按睡眠是否充足來采用分層抽樣法抽取8人做進一步訪談,然后從這8人中隨機抽取2人填寫調(diào)查問卷,記抽取的兩人中睡眠足的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
參考公式：,其中.
19．（本題12分）如圖，水平面上擺放了兩個相同的正四面體和．
(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值．
20．（本題12分）已知點與定點的距離和它到定直線的距離比是.
(1)求點的軌跡方程；
(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.
21.（本題12分）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)時，判斷在零點的個數(shù)，并說明理由．
22．（本題10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；
(2)已知點，若直線與曲線交于，兩點，求的值.
高三上期10月月考數(shù)學(xué)（理科）試題
參考答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．
1. 設(shè)集合，，則
A. B. C. D.
【詳解】,
集合，則，故選D
【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，則（）
A. B. C. D.
【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，則，所以.故選：C.
3. 走路是最簡單優(yōu)良的鍛煉方式，它可以增強心肺功能，血管彈性，肌肉力量等，甲、乙兩人利用手機記錄了去年下半年每個月的走路里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 甲走路里程的極差等于
B. 乙走路里程的中位數(shù)是
C. 甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)
D. 甲下半年每月走路里程的標準差小于乙下半年每月走路里程的標準差
【詳解】對于A選項，月甲走路的里程為：、、、、、，
甲走路里程的極差為公里，A錯；
對于B選項，月乙走路的里程為：、、、、、，
由小到大排列分別為：、、、、、，
所以，乙走路里程的中位數(shù)是，B對；
對于C選項，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)，
乙下半年每月走路里程的平均數(shù)為，
所以，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)，C對；
對于D選項，由圖可知，甲下半年走路里程數(shù)據(jù)波動性大于乙下半年走路里程數(shù)據(jù)，
所以甲下半年每月走路里程的標準差大于乙下半年每月走路里程的標準差，D錯.
故選：C.
4.已知直線與直線互相垂直，則是的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A 由題意得直線x＋m2y＝0的斜率是－1，所以eq \f(－1,m2)＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要條件．故選A.
5. 若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）
A. －B. 5C. 2D. 8
【詳解】畫出可行域如圖所示，
由解得，設(shè)A(1,2)，
則目標函數(shù)，經(jīng)過點A(1,2)時在y軸上的截距最大，
所以在點A(1,2)處取得最大值
最大值為.
故選：B.
6. 下列命題正確的是（）
A. 命題“”為假命題，則命題與命題都是假命題
B. 命題“若，則” 的逆否命題為真命題
C. 若使得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則為函數(shù)的極值點；
D. 命題“，使得”的否定是：“，均有”
【詳解】對于A：命題“”為假命題，則命題與命題至少有一個假命題，故A錯誤；
對于B：命題“若，則”顯然為真命題，又原命題與逆否命題同真同假，故B正確；
對于C：若使得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
如果兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的符號相反，則為函數(shù)的極值點；否則，不是函數(shù)的極值點，故C錯誤；
對于D：命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”．故D錯誤.故選：B．
7.已知的展開式的各項系數(shù)和為32，則展開式中x4的系數(shù)為( )
A．20 B．15C．10 D．5
解析：選D 由題意知(x＋1)n的展開式的各項系數(shù)和為32，即(1＋1)n＝2n＝32，解得n＝5，則二項式(x＋1)5的展開式中x4的項為Ceq \\al(1,5)x4＝5x4，所以x4的系數(shù)為5，故選D.
8.六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（ D ）
A．48種B．72種C．120種D．144種
9. 已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，
，則球的表面積為
A. B. C. D.
【詳解】設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，∵，∴，∴，∴
，∴，由題意知，平面，則將三棱錐補成三棱柱可得，，∴，故選A．
10. 已知函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，則a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【詳解】因為函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，
所以函數(shù)在R上遞減，
所以，解得：，故選：D.
11. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【詳解】，，
而，則，
故選：A.
12. 已知函數(shù)有兩個不同的極值點，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【詳解】由得，
因為函數(shù)有兩個不同的極值點，
所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，于是有，解得.
因為不等式恒成立，所以恒成立.
，
設(shè)，則，
故上單調(diào)遞增，所以，
由題意恒成立，所以.因此實數(shù)t的取值范圍是.故選：B
填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．
13. 若直線始終平分圓的周長，則的最小值為．
【詳解】由題意，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
14. 命題：“，”，命題：“，”，若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是_____________．
【詳解】若是真命題，則對于恒成立，所以，
若是真命題，則關(guān)于的方程有實數(shù)根，
所以，即，和同時為真命題，則，所以．
15. 已知雙曲線的右焦點為F．圓與雙曲線C的漸近線在第一象限交于點P，直線與雙曲線C交于點Q，且，則雙曲線C的離心率為______．
【詳解】如下圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
由題意可知，則，則雙曲線的定
義有，從而，
所以在中，由余弦定理有.故答案為：
16. 已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且時，，給出下列結(jié)論：①；②函數(shù)在上是增函數(shù)；③函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；④若，則關(guān)于的方程在上的所有根之和為.則其中正確命題的序號為____________.
【詳解】由，將代換，代換可得，，
由函數(shù)為奇函數(shù)，故，令，則，又時，，所以，所以，①對；
當(dāng)時，，為增函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以時，單增，，則函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)在上是減函數(shù)，②錯；
同理，令，得，圖像關(guān)于對稱，③對；
如圖，畫出函數(shù)大致圖像，的最左側(cè)兩根和為-12，區(qū)間的兩根之和為4，區(qū)間兩根之和為20，所以所有根之和為12，④對
故正確選項為：①③④故答案為：①③④
三、解答題：共70分
17.（本題12分）在中,角的對邊分別為,
(1) 求;
(2) 若,的面積為,求的周長.
17.（1）∵csB3a-bsinC=bsinBcsC,
∴3acsB-bcsBsinC=bsinBcsC
∴3acsB=bsinBcsC+bcsBsinC,
∴3acsB=bsin(B+C)=bsinA
由正弦定理可得：3sinAcsB=sinBsinA,
∴3csB=sinB,∴tanB=3, ∴B=π3--------------------------------------6分
(2) S=12acsinB=233,且c=2a,∴a=233,C=433
由余弦定理可得：b2=a2+c2-2acsB=4
∴ 周長= 23+2--------------------------------------12分
18.（本題12分）每年的3月21日是世界睡眠日,保持身體健康的重要標志之一就是有良好的睡眠,某機構(gòu)為了調(diào)查參加體育鍛煉對睡眠的影響,從轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的常參加體育鍛煉和不常參加體育鍛煉的人中,各抽取了100人,通過問詢的方式得到他們在一周內(nèi)的睡眠時間（單位：小時）,并繪制出如下頻率分布直方圖.
(1)若每周的睡眠時間不少于44小時的列為“睡眠足”,每周的睡眠時間在44小時以下的列為“睡眠不足”,請根據(jù)已知條件完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從常參加體育鍛煉的樣本人群中按睡眠是否充足來采用分層抽樣法抽取8人做進一步訪談,然后從這8人中隨機抽取2人填寫調(diào)查問卷,記抽取的兩人中睡眠足的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
參考公式：,其中.
【詳解】（1）常參加體育鍛煉人員“睡眠足”的人數(shù)為：,
則“睡眠不足”的人數(shù)為25;
不常參加體育鍛煉人員“睡眠足”的人數(shù)為：,
則“睡眠不足”的人數(shù)為45;
列聯(lián)表如下：
----------------------------------------------------------4分
零假設(shè)：睡眠足與常參加體育鍛煉無關(guān)
因為K2=200×(75×45-55×25)2130×100×70×100=80091≈8.791>6.635 --------------------------------------6分
所以有99%的把握認為“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”有關(guān). ---------------------------------------7分
（2）由題意知,常參加體育鍛煉的樣本人群中睡眠足和睡眠不足的人數(shù)比為75:25=3:1,用分層抽樣法抽取8人,其中睡眠足的有6人,睡眠不足的有2人-----------------------------------8分
從這8人隨機抽取2人,則的所有取值為0,1,2.
,,;
所以分布列為
---------------------------------------11分（說明：全對給3分,不全對時求出兩個概率給2分）
數(shù)學(xué)期望 --------------------------------------12分
19．（本題12分）如圖，水平面上擺放了兩個相同的正四面體和．
(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接與相交于點，過點、分別作平面、平面，垂足分別為、，證明出四邊形為菱形，可得出，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，即可證得結(jié)論成立；
（2）設(shè)，取線段的中點，連接，證明出平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.
（1）
證明：因為與共面，所以連接與相交于點，
因為和是相同的正四面體，所以，、都是等邊三角形，
則，所以四邊形為菱形，則為的中點，
過點、分別作平面、平面，垂足分別為、，
根據(jù)正四面體的性質(zhì)可知、分別為、的中心且E,F在DC上，
且，
設(shè)正四面體的棱長為，則，，
平面，平面，，
，同理可得，
所以，，故四邊形為平行四邊形，故，
因為四邊形為菱形，則，因此，.
（2）
解：設(shè)，取線段的中點，連接，
易知，所以，為的中點，
因為四邊形為平行四邊形，則且，
因為、分別為、的中點，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，所以，平面，
因為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，
則，取，可得，
.
由圖形可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.
20．（本題12分）已知點與定點的距離和它到定直線的距離比是.
(1)求點的軌跡方程；
(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.
【詳解】（1）設(shè)點坐標為，化解可得：.
（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，
消去可得：，
所以，即，
則，
，，
把韋達定理代入可得：，
整理得，滿足，
又，
而點到直線的距離，
所以，
把代入，則，
可得是定值1.
21.（本題12分）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)時，判斷在零點的個數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)僅有一個零點，理由見解析；
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，求出在處的導(dǎo)數(shù)值，再由直線的點斜式方程即可求得切線方程；
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可知，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并求出其最小值即可求得實數(shù)的取值范圍；
（3）利用函數(shù)與方程的思想，求出方程的根的個數(shù)即可，在同一坐標系下畫出函數(shù)和的圖象，利用切線方程位置可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由可得，
此時切線斜率為，而；
所以切線方程為，即；
即曲線在點處的切線方程為；
（2）根據(jù)題意，若在上單調(diào)遞增，
即可得在上恒成立，即恒成立；
令，則；
顯然在上滿足，而恒成立，所以在上恒成立；
即在單調(diào)遞增，所以；
所以即可；
因此實數(shù)的取值范圍為.
（3）令，即可得；
構(gòu)造函數(shù)，，易知在上恒成立，
即在上單調(diào)遞增，如下圖中實曲線所示：
又函數(shù)恒過，且，
易知，所以函數(shù)在處的切線方程為；
又，所以（圖中虛線）在范圍內(nèi)恒在（圖中實直線）的上方；
所以由圖易知與在范圍內(nèi)僅有一個交點，
即函數(shù)在內(nèi)僅有一個零點.
22．（本題10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；
(2)已知點，若直線與曲線交于，兩點，求的值.
【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，即直線的普通方程為，
由曲線的極坐標方程為，可得，
又，所以，
即曲線的直角坐標方程為；
（2）直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）可化為為參數(shù)），
代入到即可得，
顯然成立，
設(shè)直線與曲線交點對應(yīng)的參數(shù)分別為，，
則，，
所以，
所以．
睡眠足
睡眠不足
總計
常參加體育鍛煉人員
不常參加體育鍛煉人員
總計
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
睡眠足
睡眠不足
總計
常參加體育鍛煉人員
不常參加體育鍛煉人員
總計
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
睡眠足
睡眠不足
總計
常參加體育鍛煉人員
75
25
100
不常參加體育鍛煉人員
55
45
100
總計
130
70
200
0
1
2

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