1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可.
【詳解】
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，
故選：
2. 已知，，則“，”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】由，，，，得，于是，
由，，取，滿足，顯然“，”不成立，
所以“，”是“”的充分不必要條件.
故選：A
3. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）
A. 10B. 15C. 20D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)“若則”和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以
，
可得，
則
故選：D.
4. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，將輸出的看成輸入的的函數(shù)，得到函數(shù)，若，則（）
A. B. C. 或D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)程序框圖得到函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式求出，再分類討論，結(jié)合函數(shù)解析式計(jì)算可得.
【詳解】由程序框圖可得，則，
若，即時(shí)，，解得（舍去）；
若，即時(shí)，，解得
故選：B
5. 函數(shù)的圖象大致為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，B；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，排除D．
故選：C
6. 若直線：平分圓：的面積，則的最小值為（）．
A. 8B. C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知：直線：過(guò)圓心，進(jìn)而可得，再利用基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：圓：的圓心為，
若直線：平分圓：的面積，
則直線：過(guò)圓心，
可得，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為8.
故選：A.
7. 為了提高命題質(zhì)量，命題組指派5名教師對(duì)數(shù)學(xué)卷的選擇題，填空題和解答題這3種題進(jìn)行改編，則每種題型至少至少指派1名教師的不同分派方法種數(shù)為（）
A. 144B. 120C. 150D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】將5名老師分為和的兩種情況，計(jì)算得到答案.
【詳解】5名老師分為的情況時(shí)：共有；
5名老師分為的情況時(shí)：共有，
故共有種不同分派方法.
故選：C.
8. 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為（）
A. B.
C. D. 前三個(gè)答案都不對(duì)
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角換元，結(jié)合輔助角公式即可得解.
【詳解】因?yàn)閤，y滿足，
令，
則，其中，且為銳角，
易知，則，
于是的取值范圍是．
故選：B.
9. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交雙曲線的左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，且，若，則雙曲線離心率為（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義、余弦定理求解作答.
【詳解】令，則，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，于是，
在中，令雙曲線半焦距為，由余弦定理得：，解得，
所以雙曲線離心率.
故選：A
10. 函數(shù)，若有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得出或，數(shù)形結(jié)合可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可知直線與函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖形可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，可得，
解得或，如下圖所示：
由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
又因?yàn)楹瘮?shù)有四個(gè)零點(diǎn)，故直線與函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，
所以，且，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
11. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題：
①如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為；
②如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；
③如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；
④如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為．
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正方體性質(zhì)得面，根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證面，確定軌跡圖形判斷①；若分別為中點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行、面面平行的判定證面面，確定軌跡圖形判斷②；若分別為的中點(diǎn)，連接，同②方式證面面，確定軌跡圖形判斷③；若分別是的中點(diǎn)，并依次連接，先證面面，結(jié)合①得面，確定軌跡圖形判斷④.
【詳解】由面，而面，則，又，
又，面，則面，
由面，則，同理，
，面，則面，
所以垂直于面所有直線，且面，
若，則在邊長(zhǎng)為的正△的邊上，
故軌跡圖形面積為，①對(duì)；
若分別為中點(diǎn)，連接，
由正方體的性質(zhì)易得，，
所以共面，且為平行四邊形，故面即為面，
由面，面，則面，
同理可得面，，面，
所以面面，要使∥平面，則在△邊上，
所以軌跡長(zhǎng)為，②錯(cuò)；
若分別為的中點(diǎn)，連接，顯然，
所以共面，即面，
由，面，面，則面，
又，同理可得面，，面，
所以面面，故面內(nèi)任意直線都與面平行，
要使∥平面，則在四邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，
此時(shí)軌跡長(zhǎng)為，③對(duì)；
若分別是的中點(diǎn)，并依次連接，
易知為正六邊形，顯然，，
由面，面，則面，同理可得面，
，面，所以面面，
由面，則面，故垂直于面所有直線，
要使，則在邊長(zhǎng)為的正六邊形邊上運(yùn)動(dòng)，
所以軌跡圖形面積為，④對(duì)；
故選：C
12. 已知函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足時(shí)，，則不等式的解集為（）
AB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可判斷當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，再由，可得當(dāng)時(shí)，，再由為奇函數(shù)，得時(shí)，，從而可求得不等式的解集.
【詳解】令函數(shù)，則，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.
又，，所以當(dāng)時(shí)，；
又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，
所以不等式可化為或，解得，
所以不等式的解集為，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)后可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
二、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 展開(kāi)式中的系數(shù)是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.
【詳解】，
的通項(xiàng)公式為，，
所以展開(kāi)式中的系數(shù)是.
故答案為：.
14. 已知向量，，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，然后由求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以.
故答案為：
15. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)為B，且滿足，，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)垂直關(guān)系以及雙曲線的對(duì)稱性可得四邊形為矩形，即可結(jié)合雙曲線的定義求解，進(jìn)而可求.
【詳解】由可得，
由于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以四邊形為矩形，故，
由于又，
所以，因此，
故，進(jìn)而可得，
所以漸近線方程為：
故答案為：
16. 如圖，在直角梯形中，，將沿翻折成，使二面角為，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】外接球的球心為，半徑為為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，由二面角的定義可得為二面角的平面角，所以有，作于，由題意可求得，進(jìn)而可得，即可得答案.
【詳解】解：如圖，設(shè)外接球的球心為，半徑為為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，∥?br>又因?yàn)椋?br>所以，
所以,,
所以，，
所以為二面角的平面角，
所以，
作于，
因?yàn)?，，?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以，
又因?yàn)椋?
則平面，所以∥，
則有，
即，
由題意可求得：，
設(shè)，
由題上式可得：，
求得：，從而求得：，
故三棱錐外接球的表面積為.
故答案為：
三、解答題（本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. 在中，是，B，所對(duì)應(yīng)的分邊別為，，，且滿足.
（1）求；
（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，結(jié)合正弦的二倍角公式變形可得；
（2）由面積公式求得，再由余弦定理求出，從而可得周長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，
因?yàn)椋?，則，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋裕?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>又由余弦定理得，，所以，
則，
所以的周長(zhǎng)為：．
18. 如圖，在直三棱柱中，，是的中點(diǎn)，.
（1）求證：若為中點(diǎn)，求證：平面；
（2）點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
由于是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
所以，所以四邊形是平行四邊形，
所以，由于平面，平面，
所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
由于，所以，
平面的法向量為.
設(shè)平面的法向量為，
所以，令可得，故.
設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，
.
19. 下表為某班學(xué)生理科綜合能力測(cè)試成績(jī)（百分制）的頻率分布表，已知在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為21.`
（1）求測(cè)試成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；
（2）現(xiàn)欲從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出2人參加物理興趣小組，若其中至少有一名男生的概率為，求分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生的人數(shù)；
（3）若在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生為4人，現(xiàn)欲從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出3人參加培優(yōu)小組，為分配到此組的3名學(xué)生中男生的人數(shù)．求的分布列及期望
【答案】（1）6（2）2
（3）分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）利用在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生數(shù)為21人求出高二年級(jí)某班學(xué)生總數(shù)，再利用頻率和為1求出，兩數(shù)相乘可得答案；
（2）設(shè)男生有人，根據(jù)抽出2人這2人都是男生的概率為，解得可得答案；
（3）求出在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)及男生人數(shù)，可得的取值及對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列和期望.
【小問(wèn)1詳解】
某班學(xué)生共有人，
因?yàn)椋裕?br>所以測(cè)試成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為人.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生有6人，設(shè)男生有人，
若抽出2人至少有一名男生的概率為，
則，解得，所以在分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生有2人.
【小問(wèn)3詳解】
在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生有人，所以男生有2人，
X的取值有，
，
，
，
X的分布列為
.
20. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）設(shè)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）記的面積為的面積為，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解作答.
（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、三角形面積公式結(jié)合均值不等式求解作答.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，設(shè)，
則，
因此，
而，即有，則當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，
由消去并整理得，顯然，
設(shè)，，則，即，
令為點(diǎn)，于是的面積為，的面積為，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
21. 已知函數(shù)在處取得極小值.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)與極值，求導(dǎo)數(shù)代入計(jì)算，即可得的值；
（2）設(shè)，求，確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與取值情況，即可得的取值情況，從而得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
，
由題意知，則，即，
由，知，即．
故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，設(shè)，
則．
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，
且，所以存在唯一，
使得，即．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，
故當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明函數(shù)不等式的常用的方法：
（1）構(gòu)造差函數(shù)法：構(gòu)造差函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，從而得函數(shù)最值，讓最值與比較大小即可得答案；
（2）分離函數(shù)法：確定中間函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分別證明，，即可證明結(jié)論；
（3）放縮法：利用不等式對(duì)所證不等式進(jìn)行放縮，證明放縮后的不等式成立，即可得結(jié)論.
四、選做題（總分10分，只需要從中選擇1個(gè)題目完成）
22. 在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.
（1）求直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為N，求的值.
【答案】（1）的參數(shù)方程為（為參數(shù)），的直角坐標(biāo)方程為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)及傾斜角即可寫出參數(shù)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線參數(shù)方程代入圓的方程，得到關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)），
因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，即，
所以化簡(jiǎn)得，
所以的直角坐標(biāo)方程為；
【小問(wèn)2詳解】
將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，得，
整理，得，
此時(shí)，
設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，
所以，異號(hào)，，
所以.
23. 已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若對(duì)任意，都有成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分類討論去絕對(duì)值符號(hào)解不等式即可；
（2）利用三角不等式化簡(jiǎn)條件式得，解不等式即可.
小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
∴，即為，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，恒成立；
當(dāng)時(shí)，，解得．
綜上，不等式的解集是．
【小問(wèn)2詳解】
對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，即恒成立，
∵，
∴，
當(dāng)，則，
當(dāng)，則，無(wú)解；
綜上，解得，
分?jǐn)?shù)段
頻率
0.1
0.15
0.2
0.2
0.15
0.1
*
0
1
2

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四川省內(nèi)江市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考理科試題：

這是一份四川省內(nèi)江市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考理科試題，共22頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題，選做題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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