理科數(shù)學(xué)試題
一、選擇題（每個(gè)小題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)把正確選項(xiàng)直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上.每小題5分，共60分.）
1. 某同學(xué)計(jì)劃2023年高考結(jié)束后，在A，B，C，D，E五所大學(xué)中隨機(jī)選兩所去參觀，則大學(xué)恰好被選中的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】基本事件總數(shù)為，大學(xué)恰好被選中的基本事件為：，根據(jù)古典概型概率公式即可求解.
【詳解】依題意，
在A，B，C，D，E五所大學(xué)中隨機(jī)選兩所去參觀的基本事件總數(shù)為：，
大學(xué)恰好被選中的基本事件為：，
所以大學(xué)恰好被選中的概率為：.
故選：B.
2. 設(shè)集合，集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.
【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；
，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
3. 已知復(fù)數(shù)（x，）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，z的實(shí)部和虛部分別是雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)，若，則雙曲線C的焦距為（ ）
A. 8B. 4C. D. 2
【答案】B
【分析】利用雙曲線的定義和復(fù)數(shù)模的定義即可求得雙曲線C的焦距.
【詳解】復(fù)數(shù)（x，）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，
又z的實(shí)部和虛部分別是雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)，，
則雙曲線C的焦距為
故選：B
4. 展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】應(yīng)用二項(xiàng)式展開(kāi)式分類(lèi)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以含有的項(xiàng)為，
故選：C.
5. 函數(shù)的圖像大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根據(jù)奇偶性判斷CD；根據(jù)特殊點(diǎn)判斷AB.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>即函數(shù)為奇函數(shù)，故CD錯(cuò)誤；
由可知，C錯(cuò)誤，A正確；
故選：A
6. 將六位數(shù)“”重新排列后得到不同的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 （ ）
A. B. C. 216D.
【答案】D
【分析】由題意，分末尾是或，末尾是，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意，
末尾是或，
不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，
末尾是，
不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，
所以共有個(gè).
故選：D
7. 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】令求出，再令求出，即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，可得，
令，可得，
所以.
故選：A
8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則（ ）
A. 輸出的S的最小值為，最大值為5B. 輸出的S的最小值為，最大值為4
C. 輸出的S的最小值為0，最大值為5D. 輸出的S的最小值為0，最大值為4
【答案】A
【分析】作出可行域，利用線性規(guī)劃與程序框圖判定即可.
【詳解】作出不等式組表示的可行域，
由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值4，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值．
因?yàn)?，且，所以輸出的的最小值為，最大值?．
故選：A
9. 某四面體的三視圖如圖所示（3個(gè)三角形都是直角邊為1的等腰直角三角形），該四面體的外接球的表面積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，借助正方體可求外接球的半徑，從而得到面積.
【詳解】由題意可知，幾何體是正方體一個(gè)角的三棱錐，它的外接球就是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，
外接球的半徑為，所以外接球的表面積為.
故選：A.

10. 2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國(guó)家政策，選派了6名工作人員到A 、B、C三個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個(gè)村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）種．
A. 540B. 480C. 360D. 240
【答案】A
【分析】把6名工作人員分別分為，1，，，2，，，2，三種情況討論，然后分別計(jì)算即可求解．
【詳解】解：把6名工作人員分為1，1，4三組，則不同的安排方式共有：種，
把6名工作人員分為2，2，2三組，不同的安排方式共有：種，
把6名工作人員分為1，2，3三組，不同的安排方式共有：種，
綜上，不同的安排方式共有種，
故選：A．
11. 設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】分析可知，由已知可得對(duì)任意的恒成立，解得對(duì)任意的恒成立，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，，故對(duì)任意的，，
對(duì)任意的，不等式恒成立，
即，即對(duì)任意的恒成立，
且為正數(shù)，則，可得，所以，，可得.
故選：A.
12. 如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】找到水最多和水最少的臨界情況，如圖分別為多面體和三棱錐，從而可得出答案.
【詳解】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，
則如圖，水最少臨界情況為，水面為面，
水最多的臨界情況為多面體，水面為，
因，
，
所以，即.
故選：A.
二、填空題（請(qǐng)把每個(gè)小題的答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上，每小題5分，共20分.）
13. 已知隨機(jī)變量，若，則___________.
【答案】16
【分析】根據(jù)正態(tài)分布可得，結(jié)合方差的性質(zhì)運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，則，
又因?yàn)?，所?
故答案為：16.
14. 已知向量，．若向量與垂直，則________．
【答案】7
【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，即可求得實(shí)數(shù)的值．
【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，解得，
故答案為：7．
15. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________.
【答案】##
【分析】由得出，由定義結(jié)合勾股定理得出，再由勾股定理得出離心率.
【詳解】解：如圖，
因?yàn)?，則，
設(shè)，則，則，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因?yàn)?，解得?br>所以，，，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，該雙曲線的離心率為.
故答案為：
16. 若函數(shù)在上單減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】求出的單調(diào)減區(qū)間，由為減區(qū)間的子集求出的取值范圍.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，在為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，由得，故單調(diào)減區(qū)間為，
因?yàn)樵谏蠁螠p，所以，解得.
故答案為：
三、解答題（解答須寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，推理過(guò)程和演算步驟）
17. 為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某校需要了解學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)，為此隨機(jī)對(duì)該校100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．
已知從這100名學(xué)生中任選1人，經(jīng)常鍛煉的學(xué)生被選中的概率為．
附：.
（1）完成上面的列聯(lián)表；
（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)．
【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析
（2）有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)
【分析】（1）根據(jù)概率計(jì)算這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的學(xué)生數(shù)，進(jìn)而填寫(xiě)列聯(lián)表；
（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)求解即可.
小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的學(xué)生有x人，則，解得．
列聯(lián)表完成如下
【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，
因?yàn)?，所以?0%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)．
18. 為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫(kù)中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間（滿時(shí)長(zhǎng)15小時(shí)），將其分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
（1）求a的值；
（2）以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知．若該地區(qū)有5000名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)；
（3）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)．（四舍五入取整數(shù)）
【答案】（1）
（2）4093 （3）1
【分析】（1）由頻率之和等于1，得出；
（2）計(jì)算平均數(shù)得出，再由正態(tài)分布的概率估計(jì)即可；
（3）由分層抽樣得出的所有可能取值，再由超幾何分布求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意得，解得．
【小問(wèn)2詳解】
由題意知樣本的平均數(shù)為
，所以．
又，所以
．
則，
所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)約為4093．
【小問(wèn)3詳解】
對(duì)應(yīng)的頻率比為，即為，
所以抽取的5人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)分別為2，3，
設(shè)從這5人中抽取的3人學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為，
則的所有可能取值為0，1，2，
，
所以．
則這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1．
19. 如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形，且，．
（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行和面面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
連接，
在中，分別為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>在矩形中，，
同理可得平面，又，平面，
所以平面平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>【小問(wèn)2詳解】
過(guò)點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接
由題可知平面，且，所以平面
則，又，平面，
所以平面，
∴在平面內(nèi)射影為，
則即為與平面所成的角，所以
在中，由可知
則，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，
過(guò)點(diǎn)垂直于平面為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，

設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，，所以，
所以，
因?yàn)槎娼菫殇J二面角，
所以二面角的余弦值為.
20. 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為 ?軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)?.
（1）求拋物線方程;
（2）若直線 ?與拋物線交于?兩點(diǎn)，且滿足?，求證: 直線?恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，代入即可求出結(jié)果;
（2）由題意直線方程可設(shè)為，將其與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)求解，即可求出定點(diǎn).
【小問(wèn)1詳解】
由題可知，拋物線的開(kāi)口向右，
設(shè)拋物線方程為 ?，
因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)?，
所以 ?，解得?
所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ?.
【小問(wèn)2詳解】
如圖，
設(shè)直線 ?的方程為:?，
聯(lián)立方程 ?
消 ?有：?
由于交于?兩點(diǎn)，設(shè)?，
則 ?，即?，
?，
由 ?.
則 ?.
解得: ?，驗(yàn)證滿足條件.
所以直線 ?的方程為?，
即證直線?恒過(guò)定點(diǎn).
21. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
【答案】（1）在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減
（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)討論即可；
（2）由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得在上有兩個(gè)根，從而求得的取值范圍，再結(jié)合韋達(dá)定理可知，則原不等式轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證明即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?br>，
令解得或，且當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
綜上在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.
【小問(wèn)2詳解】
由已知，可得，
函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，只需，故，
又，，
所以
，
要證，即證，
只需證，
令，，
則，
令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理得，使得，
即，
所以時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
則，
又由對(duì)勾函數(shù)知在上單調(diào)遞增，
所以
所以，即得證.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；
（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常用的思路層次有三個(gè)：其一直接構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其二直接做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其三先做適當(dāng)?shù)淖儞Q后再做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明.
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為
（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)，且直線與曲線交于A、兩點(diǎn)，求的值．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程消參即可得出直角坐標(biāo)方程；
（2）轉(zhuǎn)化直線的參數(shù)方程與曲線C方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），
則，即，
兩式相減，可得曲線的直角坐標(biāo)方程：
【小問(wèn)2詳解】
直線與曲線交于A、兩點(diǎn)，
設(shè)A，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，
直線的方程可轉(zhuǎn)化為，代入，
得，則，則，
所以．經(jīng)常鍛煉
不經(jīng)常鍛煉
總計(jì)
男
35
女
25
總計(jì)
100
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
經(jīng)常鍛煉
不經(jīng)常鍛煉
總計(jì)
男
35
25
60
女
15
25
40
總計(jì)
50
50
100

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