人教A版 (2019)必修 第一冊4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用精品教案

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2.能結(jié)合已知數(shù)據(jù)的特征,根據(jù)不同函數(shù)增長的差異,合理選擇函數(shù)模型,并利用所建立的函數(shù)模型解決有關(guān)實(shí)際問題.
二、學(xué)習(xí)過程
新知引入
解答函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題時,一般要分哪四步進(jìn)行?
第一步:分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象; （審題）
第二步:建立函數(shù)模型,把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題; （建模）
第三步:解答數(shù)學(xué)問題,求得結(jié)果; （求模）
第四步:把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論,做出解答.（還原）
函數(shù)模型類型：
類型1：指數(shù)函數(shù)模型
解析式: y=abx+c,條件:a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,且b≠1.
類型2：對數(shù)函數(shù)模型
解析式: y=mlgax+n,條件:m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1.
典例解析
探究一 指數(shù)函數(shù)模型
例1 某企業(yè)于2021年在基地投入200萬元研發(fā)資金用于養(yǎng)殖業(yè)發(fā)展,并計劃今后7年內(nèi)在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長15%.
(1)寫出第x年(2022年為第1年)該企業(yè)投入的研發(fā)資金y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出函數(shù)的定義域.
(2)該企業(yè)從第幾年開始投入的研發(fā)資金將超過400萬元?(參考數(shù)據(jù):lg 0.15≈-0.824,lg 1.5≈0.176,lg 0.115≈-0.939,lg 1.15≈0.061,lg 2≈0.301).
探究二 對數(shù)函數(shù)模型
例2 有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙,科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度v(單位:km/min)可以表示為v=12lg3x100-lg x0,,其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù),常數(shù)x0表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.
(1)若x0=5,候鳥停下休息時,它每分鐘的耗氧量約為多少個單位?
(2)若雄鳥的飛行速度為1.5 km/min,雌鳥的飛行速度為1 km/min,則飛行時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍?(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.3,31.4≈4.66 )
探究三 函數(shù)模型的選擇
例3 科技創(chuàng)新在經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的作用日益凸顯.某科技公司為實(shí)現(xiàn)9000萬元的投資收益目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案:當(dāng)投資收益達(dá)到3000萬元時,按投資收益進(jìn)行獎勵,要求獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元,3000≤x≤9000)的增加而增加,獎金總數(shù)不低于100萬元,且獎金總數(shù)不超過投資收益的20%.
(1)現(xiàn)有三個獎勵函數(shù)模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100lg20x+50.試分析這三個函數(shù)模型哪個符合公司的要求.
(2)根據(jù)(1)中符合公司要求的函數(shù)模型,要使獎金達(dá)到350萬元,公司的投資收益至少為多少萬元?
課堂練習(xí)
1.某企業(yè)對員工的獎勵y(單位:萬元)與該企業(yè)的年產(chǎn)值x(單位:萬元,x>10)符合函數(shù)模型y=lg x+kx+4(k為常數(shù)).已知該企業(yè)的年產(chǎn)值為100萬元時,對員工的獎勵為8萬元,則對員工的獎勵為27萬元時,該企業(yè)的年產(chǎn)值為( )
A.10 000 萬元 B.1000 萬元 C.500 萬元 D.300 萬元
2.如圖所示是某河塘的浮萍面積y(m2)與時間t(月)的函數(shù)y=kat(k≠0,a>0且a≠1)的圖象,則下列說法正確的是( )
A.浮萍每月增加的面積都相等
B.第4個月時,浮萍面積會超過25 m2
C.浮萍面積蔓延到81 m2只需6個月
D.若浮萍面積蔓延到10 m2,20 m2,40 m2所需的時間分別為t1,t2,t3,
則t1+t3=2t2
3.某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲存溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ekx+b(k,b為常數(shù)).若該食品在0 ℃下的保鮮時間是192小時,在22 ℃下的保鮮時間是48小時,則下列說法正確的是( )
A.k>0
B.該食品的儲存溫度越高保鮮時間越長
C.該食品在11 ℃下的保鮮時間是96小時
D.該食品在33 ℃下的保鮮時間是24小時
課堂小結(jié)
用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程包括分析和理解實(shí)際問題的增長情況（是“對數(shù)增長”“直線上升”還是“指數(shù)爆炸”）根據(jù)增長情況選擇函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題；通過運(yùn)算、推理求解函數(shù)模型；用得到的函數(shù)模型描述實(shí)際問題的變化規(guī)律，解決有關(guān)問題，在這一過程中，往往需要利用信息技術(shù)幫助畫圖、運(yùn)算等．
2024—2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（40）
4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用