考點一 函數(shù)的概念
考點二 同一函數(shù)的判斷
考點三 求函數(shù)值
考點四 求函數(shù)的定義域
（一）求具體函數(shù)的定義域
（二）求抽象函數(shù)的定義域
（三）逆用函數(shù)的定義域
（四）實際問題中的定義域
考點五 求函數(shù)的解析式
（一）待定系數(shù)法
（二）配湊法
（三）換元法
（四）利用函數(shù)的奇偶性求解析式
（五）利用函數(shù)的周期性求解析式
（六）構造方程組法
（七）賦值法
考點六 求函數(shù)的值域
（一）求函數(shù)的值域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)圖象法
(4)分離常數(shù)法
(5)反解法
(6)換元法
(7)判別式法
(8)單調性法
(9)基本不等式法
(10)導數(shù)法
（二）已知函數(shù)值域求參數(shù)
（三）定義域和值域的綜合
（四）函數(shù)值域新定義問題
考點七 分段函數(shù)及其應用
（一）求分段函數(shù)的函數(shù)值
（1）已知自變量的值求函數(shù)值
（2）已知函數(shù)值求自變量的值
（二）分段函數(shù)與不等式
（三）分段函數(shù)圖象及其應用
（四）求分段函數(shù)的值域或最值
（五）已知分段函數(shù)的值域(最值)求參數(shù)
知識點1 函數(shù)的概念及其表示
1．函數(shù)的概念
2.函數(shù)的定義域、值域
(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的 定義域 ；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的 值域 .
(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且 對應關系 完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)．
3．函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有 解析法 、圖象法和列表法．
知識點2 分段函數(shù)
1．若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)表示的是一個函數(shù)．
2．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的 并集 .
知識點3 函數(shù)的定義域
函數(shù)y＝f(x)的定義域
1．求定義域的步驟
(1)寫出使函數(shù)式有意義的不等式(組)；
(2)解不等式(組)；
(3)寫出函數(shù)定義域．(注意用區(qū)間或集合的形式寫出)
2．求函數(shù)定義域的主要依據(jù)
(1)整式函數(shù)的定義域為R.
(2)分式函數(shù)中分母 不等于0 .
(3)偶次根式函數(shù)被開方式 大于或等于0 .
(4)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為 R .
(5)函數(shù)f(x)＝x0的定義域為 {x|x≠0} .
(6)指數(shù)函數(shù)的定義域為 R .
(7)對數(shù)函數(shù)的定義域為 (0，＋∞) .
知識點4 函數(shù)的值域
基本初等函數(shù)的值域：
1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R .
2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：當a>0時，值域為 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(y≥\f(4ac－b2,4a))))) ；當a0且a≠1)的值域是 (0，＋∞) .
5．y＝lgax(a>0且a≠1)的值域是 R .
[延伸]
6．y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的值域為(－∞，－2eq \r(a))∪(2eq \r(a)，＋∞)．
7．y＝x－eq \f(a,x)(a>0)的值域為(－∞，＋∞)．
8．y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(a≠0，ad－bc≠0)的值域為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(c,a)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)，＋∞)).
歸納拓展
1．判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致．
2．分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．
3．與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖象至多有1個交點．
4．定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．
5．函數(shù)f(x)與f(x＋a)(a為常數(shù)a≠0)的值域相同．
1、判斷所給的對應關系是否為函數(shù)的方法
(1)先觀察兩個數(shù)集A，B是否非空；
(2)驗證對應關系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．
注：①函數(shù)的定義要求第一個非空數(shù)集A中的任何一個元素在第二個非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素．
②構成函數(shù)的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同．同一函數(shù)需滿足定義域和對應關系均相同
2、根據(jù)圖形判斷對應關系是否為函數(shù)的步驟
(1)任取一條垂直于x軸的直線l；
(2)在定義域內平行移動直線l；
③若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)．
3、判斷兩個函數(shù)為同一個函數(shù)應注意的三點
(1)定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一個函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個函數(shù)．
(2)函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．
(3)在化簡解析式時，必須是等價變形．
4、教材中的幾個重要函數(shù)
5、求函數(shù)的定義域
函數(shù)的定義域：就是使得函數(shù)解析式有意義時，自變量的取值范圍就叫做函數(shù)的定義域，定義域必須用集合或區(qū)間表示.若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．研究函數(shù)問題都應該注意“定義域優(yōu)先”，拋棄函數(shù)的定義域解決函數(shù)問題沒有任何意義。但大部分學生都會忽視這一問題，所以被稱為隱形殺手，一定要確立定義域優(yōu)先的思想。求函數(shù)定義域的原則：用列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格中實數(shù)x的集合；用圖象法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在x軸上的投影所對應的實數(shù)的集合；當函數(shù)y＝f(x)用解析法表示時，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)x的集合，一般通過列不等式(組)求其解集.
（1）求具體函數(shù)的定義域
求具體函數(shù)(用解析式給出）定義域的基本原則有以下幾條：（注不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化）
①分式：分母不能為零；
②根式：偶次根式中根號內的式子大于等于0，（如，只要求）對奇次根式中的被開方數(shù)的正負沒有要求；（若偶次根式單獨作為分母，只要偶次根式根號內的式子大于0即可，如，只要求）
③零次冪：中底數(shù)；
④對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零，底數(shù)為大于0且不等于；
⑤三角函數(shù)：正弦函數(shù)的定義域為，余弦函數(shù)的定義域為，正切函數(shù)的定義域為，若，則
⑥若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．
⑦在求實際問題或幾何問題的定義域，此時除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題或幾何問題有意義
注：剝洋蔥原理一層一層交集(同時成立) 最后把求定義域轉化成解不等式。
（2）求抽象函數(shù)的定義域
謹記兩句話：定義域（永遠）指的是x的取值范圍
同一個下括號內的范圍是一樣的
①已知的定義域，求的定義域，其解法是：若的定義域為，則中，從中解得的取值范圍即為的定義域。
②已知的定義域，求的定義域。其解法是：若的定義域為，則由確定的范圍即為的定義域。
③已知的定義域，求的定義域。其解法是：可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域。
④運算型的抽象函數(shù)
求由有限個抽象函數(shù)經四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集。
求抽象函數(shù)的定義域常用轉移法. 若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a0且a≠1)的值域是 R .
[延伸]
6．y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的值域為(－∞，－2eq \r(a))∪(2eq \r(a)，＋∞)．
7．y＝x－eq \f(a,x)(a>0)的值域為(－∞，＋∞)．
8．y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(a≠0，ad－bc≠0)的值域為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(c,a)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)，＋∞)).
歸納拓展
1．判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致．
2．分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．
3．與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖象至多有1個交點．
4．定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．
5．函數(shù)f(x)與f(x＋a)(a為常數(shù)a≠0)的值域相同．
1、判斷所給的對應關系是否為函數(shù)的方法
(1)先觀察兩個數(shù)集A，B是否非空；
(2)驗證對應關系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．
注：①函數(shù)的定義要求第一個非空數(shù)集A中的任何一個元素在第二個非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素．
②構成函數(shù)的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同．同一函數(shù)需滿足定義域和對應關系均相同
2、根據(jù)圖形判斷對應關系是否為函數(shù)的步驟
(1)任取一條垂直于x軸的直線l；
(2)在定義域內平行移動直線l；
③若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)．
3、判斷兩個函數(shù)為同一個函數(shù)應注意的三點
(1)定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一個函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個函數(shù)．
(2)函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．
(3)在化簡解析式時，必須是等價變形．
4、教材中的幾個重要函數(shù)
5、求函數(shù)的定義域
函數(shù)的定義域：就是使得函數(shù)解析式有意義時，自變量的取值范圍就叫做函數(shù)的定義域，定義域必須用集合或區(qū)間表示.若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．研究函數(shù)問題都應該注意“定義域優(yōu)先”，拋棄函數(shù)的定義域解決函數(shù)問題沒有任何意義。但大部分學生都會忽視這一問題，所以被稱為隱形殺手，一定要確立定義域優(yōu)先的思想。求函數(shù)定義域的原則：用列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格中實數(shù)x的集合；用圖象法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在x軸上的投影所對應的實數(shù)的集合；當函數(shù)y＝f(x)用解析法表示時，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)x的集合，一般通過列不等式(組)求其解集.
（1）求具體函數(shù)的定義域
求具體函數(shù)(用解析式給出）定義域的基本原則有以下幾條：（注不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化）
①分式：分母不能為零；
②根式：偶次根式中根號內的式子大于等于0，（如，只要求）對奇次根式中的被開方數(shù)的正負沒有要求；（若偶次根式單獨作為分母，只要偶次根式根號內的式子大于0即可，如，只要求）
③零次冪：中底數(shù)；
④對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零，底數(shù)為大于0且不等于；
⑤三角函數(shù)：正弦函數(shù)的定義域為，余弦函數(shù)的定義域為，正切函數(shù)的定義域為，若，則
⑥若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．
⑦在求實際問題或幾何問題的定義域，此時除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題或幾何問題有意義
注：剝洋蔥原理一層一層交集(同時成立) 最后把求定義域轉化成解不等式。
（2）求抽象函數(shù)的定義域
謹記兩句話：定義域（永遠）指的是x的取值范圍
同一個下括號內的范圍是一樣的
①已知的定義域，求的定義域，其解法是：若的定義域為，則中，從中解得的取值范圍即為的定義域。
②已知的定義域，求的定義域。其解法是：若的定義域為，則由確定的范圍即為的定義域。
③已知的定義域，求的定義域。其解法是：可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域。
④運算型的抽象函數(shù)
求由有限個抽象函數(shù)經四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集。
求抽象函數(shù)的定義域常用轉移法. 若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a

相關試卷

2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點14函數(shù)模型及其應用10類常見考點全歸納(精選72題)(原卷版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點14函數(shù)模型及其應用10類常見考點全歸納(精選72題)(原卷版+解析)，共78頁。試卷主要包含了用函數(shù)圖象刻畫變化過程，已知函數(shù)模型解決實際問題，利用二次函數(shù)模型解決實際問題，利用分段函數(shù)模型解決實際問題，利用分式函數(shù)模型解決實際問題，利用指數(shù)函數(shù)模型解決實際問題，利用對數(shù)函數(shù)模型解決實際問題，利用冪函數(shù)模型解決實際問題等內容，歡迎下載使用。

2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點13函數(shù)與方程11類常見考點全歸納(精選112題)(原卷版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點13函數(shù)與方程11類常見考點全歸納(精選112題)(原卷版+解析)，共22頁。試卷主要包含了求函數(shù)的零點，確定零點所在的區(qū)間，判斷函數(shù)零點個數(shù)，已知函數(shù)零點求值，與零點相關的比較大小問題，求零點的和，嵌套函數(shù)的零點問題，函數(shù)零點的綜合應用等內容，歡迎下載使用。

2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點12函數(shù)的圖象10類常見考點全歸納(精選74題)(原卷版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點12函數(shù)的圖象10類常見考點全歸納(精選74題)(原卷版+解析)，共93頁。試卷主要包含了作圖，函數(shù)圖象的變換，根據(jù)實際問題作函數(shù)的圖象，給出函數(shù)確定圖象，給出圖象確定函數(shù)，由函數(shù)圖象確定參數(shù)范圍，利用圖象研究函數(shù)的性質，利用圖象解不等式等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)7類常見考點全歸納(精選145題)(原卷版+解析)

2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)7類常見考點全歸納(精選145題)(原卷版+解析)
2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點05基本不等式及其應用7類常見考點全歸納(精選128題)(原卷版+解析)

2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點05基本不等式及其應用7類常見考點全歸納(精選128題)(原卷版+解析)
2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點03等式與不等式的性質7類常見考點全歸納(精選52題)(原卷版+解析)

2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點03等式與不等式的性質7類常見考點全歸納(精選52題)(原卷版+解析)
2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點02常用邏輯用語5類常見考點全歸納(精選74題)(原卷版+解析)

2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略考點02常用邏輯用語5類常見考點全歸納(精選74題)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部