考點1解不含參數(shù)的一元二次不等式
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知則不等式的解集為 ．
3．（2024·湖南衡陽·三模）已知集合，集合，若，則 ．
4．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．或B．
C．D．
5．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
考點2解含有參數(shù)的一元二次不等式
7．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．（2025高三·全國·專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
9．（2023·湖南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集恰有50個整數(shù)元素，則a的取值范圍是 ，這50個整數(shù)元素之和為 ．
10．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個實數(shù)，則關(guān)于的不等式僅有2個整數(shù)解的概率為（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）解關(guān)于的不等式：（其中）．
12．（21-22高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求關(guān)于x的不等式的解集；
(2)若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的范圍.
13．（23-24高一上·河南信陽·階段練習(xí)）已知：，：.
(1)若是真命題，求對應(yīng)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍.
考點3分式不等式
14．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
15．（24-25高一上·上?！卧獪y試）分式不等式的解集為 ．
16．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
17．（23-24高二下·山西呂梁·期末）已知，，則是的（ ）條件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
18．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
考點4絕對值不等式
19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為實數(shù)集，集合，集合，則（ ）
A．或B．或
C．或D．或
20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）．
A．B．
C．D．
21．（2024·上?！と＃┮阎?，，則 ．
22．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知非空集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
考點5根式不等式
23．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
24．（2024·陜西西安·三模）若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知集合，若，則的子集有（ ）
A．3個B．4個C．7個D．8個
26．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
考點6指數(shù)不等式
27．（2024·青?！つM預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
28．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)全集為，集合，則（ ）
A．B．
C．或D．
29．（2023·浙江寧波·二模）若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
30．（23-24高一上·天津·期末）已知集合，，則
31．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
32．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合，則（ ）
A．B．
C．D．
考點7對數(shù)不等式
33．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知集合，，則=（ ）
A．B．C．D．
34．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
35．（2023·全國·模擬預(yù)測）若集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
36．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
37．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）已知全集，集合，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
考點8高次不等式
38．（2019·湖南長沙·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
39．（2022·陜西咸陽·一模）使不等式成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．且B．
C．D．
40．（2025高三·全國·專題練習(xí)）解下列關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10).
41．（2022·河北邯鄲·一模）已知集合，，則（ ）
A．B．或
C．或D．或
42．（2023·廣西·模擬預(yù)測）滿足不等式的整數(shù)解的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
考點9由一元二次不等式的解確定參數(shù)
43．（2023·上海浦東新·模擬預(yù)測）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，則 .
44．（2024·浙江紹興·三模）若關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）
A．，B．，C．，D．，
45．（2024高三·全國·專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，且，則 ．
46．（2023·江西南昌·二模）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則的解集為 ．
47．【多選】（23-24高二上·山東威?！て谀┮阎P(guān)于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集為
48．（2023·河南·模擬預(yù)測）某同學(xué)解關(guān)于的不等式時，因弄錯了常數(shù)的符號，解得其解集為，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
49．（23-24高三上·重慶榮昌·階段練習(xí)）已知關(guān)于不等式的解集為或．
(1)求值；
(2)當(dāng)，且滿足時，求的最小值．
50．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A．B．
C．D．
51．【多選】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知關(guān)于的不等式的解集是，則（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
52．（2024·福建南平·二模）關(guān)于的實系數(shù)二次不等式的解集為，若，，則的最小值為（ ）
A．B．C．2D．
53．（2022·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
54．（2022·天津和平·二模）已知不等式的解集中恰有五個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為 .
55．（2024·廣東·一模）已知且，則“的解集為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
56．（2020·河南鄭州·二模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的最大值是（ ）
A．2B．3C．5D．8
57．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是 ．
考點10一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題
58．（19-20高二上·安徽·階段練習(xí)）若命題：“，使”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
59．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍為 ．
60．（24-25高一上·上?！卧獪y試）不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A．B．
C．D．
61．（24-25高一上·上?！て谥校╆P(guān)于x的一元二次不等式的解集為空集，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
62．（23-24高一上·安徽淮北·階段練習(xí)）下列條件中，為“關(guān)于x的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有（ ）
A．B．C．D．
63．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（，為實數(shù)）
(1)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
考點11一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題
64．（22-23高三下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）對任意的，不等式都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
65．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.
(1)求a的值；
(2)當(dāng)時，恒成立，求m的取值范圍.
66．【多選】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）命題“”是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
67．（2024·遼寧·三模）若“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為 .
68．（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知命題：任意，使為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
69．【多選】（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，當(dāng)時，，若對于任意的，都有，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．3B．C．D．6
70．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
71．（2024·陜西榆林·三模）已知，若當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
72．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對是 ．
考點12一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題
73．（22-23高二上·河南·開學(xué)考試）設(shè)a為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有實數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
74．（2022·陜西寶雞·模擬預(yù)測）若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
75．（2021·江蘇·二模）已知函數(shù).若存在使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
76．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的方程在上有實數(shù)根，且滿足，則的最大值是 .
77．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知命題“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
78．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）若不等式在上有解，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
18-19高二上·山東濰坊·階段練習(xí)）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
考點13一元二次方程根的分布問題
80．（20-21高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）關(guān)于x方程在內(nèi)恰有一解，則（ ）
A．B．C．D．
81．（23-24高一上·天津南開·期中）已知函數(shù)．
(1)不等式的解集為，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)的兩個零點在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍．
82．（22-23高一上·湖南長沙·開學(xué)考試）若一元二次方程的兩個根都大于2，求實數(shù)a的取值范圍．
83．（23-24高一上·重慶·期末）關(guān)于x的一元二次方程有一個根小于，另一個根大于1，則a的取值范圍是 .
84．（23-24高二下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）關(guān)于的方程滿足下列條件，求的取值范圍.
(1)有兩個正根；
(2)一個根大于1，一個根小于1；
(3)一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；
85．（21-22高一上·遼寧沈陽·期中）已知關(guān)于x的方程有兩個正根，那么兩個根的倒數(shù)和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
86．（2022·安徽·模擬預(yù)測）在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，則方程有兩個不同的非負(fù)根的概率為（ ）
A．B．C．D．
考點14一元二次不等式的實際應(yīng)用
87．（2022·上?！つM預(yù)測）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后超過100人患了流感，若設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么x滿足的不等關(guān)系為（ ）
A．x（1+x）≥100B．1+x（1+x）＞100
C．x+x（1+x）≥100D．1+x+x（1+x）＞100
88．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在鄉(xiāng)村振興的道路上，某地干部在幫扶走訪中得知某農(nóng)戶的實際情況后，為他家量身定制了致富計劃，政府無息貸款萬元給該農(nóng)戶養(yǎng)羊，每萬元可創(chuàng)造利潤萬元.進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)后，養(yǎng)羊的投資減少了萬元，且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼谋?現(xiàn)將養(yǎng)羊少投資的萬元全部投資網(wǎng)店，進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售，則每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元，其中.
(1)若進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤，求的取值范圍;
(2)若網(wǎng)店銷售的利潤始終不高于技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤，求的最大值.
89．（23-24高二上·山東泰安·階段練習(xí)）第一機(jī)床廠投資生產(chǎn)線500萬元，每萬元可創(chuàng)造利潤1.5萬元．該廠通過引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)，在生產(chǎn)線的投資減少了萬元，且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼谋叮F(xiàn)將在生產(chǎn)線少投資萬元全部投入生產(chǎn)線，且每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元，其中．
（1）若技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)線的利潤不低于原來生產(chǎn)線的利潤，求的取值范圍；
（2）若生產(chǎn)線的利潤始終不高于技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)線的利潤，求的最大值．
90．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
91．（2022·上海青浦·一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內(nèi).已知汽車以公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數(shù)，不同型號汽車值不同，且滿足.
(1)若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為升，欲使這種型號的汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍；
(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.
考點15一元二次不等式在幾何中的應(yīng)用
92．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長（單位：m）的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
93．（2022·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）設(shè)矩形的周長為，把它沿對角線對折后，設(shè)交于點，此時點記作，如圖所示，設(shè)，，則△的面積的最大值為 ．
94．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)有一個直角三角形空地，其中，現(xiàn)對其進(jìn)行規(guī)劃，要求中間為三角形綠地公園（如圖陰影部分），周邊是寬度均為的公園健步道．

(1)當(dāng)時，求的周長；
(2)若在設(shè)計健步道時，要保證綠地公園的面積不小于總面積的，求健步道寬度的最大值
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鞏固練04 一元二次不等式與其他常見不等式解法15種常見考點
全面練（精練94題）
考點1解不含參數(shù)的一元二次不等式
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解集合得：，再利用求根式函數(shù)定義域解集合得：，最后利用并集求出結(jié)果即可.
【詳解】因為，，
所以，
故選：A.
2．（2024·上海·高考真題）已知則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.
【詳解】方程的解為或，
故不等式的解集為，
故答案為：.
3．（2024·湖南衡陽·三模）已知集合，集合，若，則 ．
【答案】0或1
【分析】先求出集合，再由可求出的值.
【詳解】由，得，解得，
因為，所以，
所以，
因為，且，
所以或，
故答案為：0或1
4．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再求兩集合的交集.
【詳解】由，，或，
所以或，
因為，
所以.
故選：C.
5．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再求兩集合的交集即可.
【詳解】解不等式可得，即；
又，因此．
故選：D
6．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式化簡集合A與B，然后利用交集運算求解即可.
【詳解】因為，
，
所以.
故選：C
考點2解含有參數(shù)的一元二次不等式
7．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解絕對值不等式求出集合，由，得，由此能求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，解得，所以集合 ，
由，可得，所以，
因為，所以，
當(dāng)時，不符合題意，
所以，因為，所以，
即實數(shù)的取值范圍是．
故選：B．
8．（2025高三·全國·專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】（1）分，和討論即可；
（2）計算得，分和或討論即可；
（3）因式分解得，分 ，和討論即可；
（4）分，兩大類討論即可.
【詳解】（1）由，可得或，則：
當(dāng)時，原不等式解集為；
當(dāng)時，原不等式解集為；
當(dāng)時，原不等式解集為；
（2）由對應(yīng)函數(shù)開口向上，且，
當(dāng)，即時，恒成立，原不等式解集為；
當(dāng)，即或時，由，可得，
所以原不等式解集為；
綜上，解集為；
或解集為.
（3）由得或.
當(dāng)，即時，不等式解集為；
當(dāng)，即時，解集為；
當(dāng)，即時，解集為．
綜上：時，不等式解集為；
時，解集為；
時，解集為．
（4）①當(dāng)時，；∴.
②當(dāng)時，由得或，
（i）當(dāng)即時，，
（ⅱ）當(dāng)即時，，
（ⅲ）當(dāng)即時，，
綜上，當(dāng)時，所求不等式的解集為.
當(dāng)時，所求不等式的解集為，
當(dāng)時，所求不等式的解集為，
當(dāng)時，所求不等式的解集為.
9．（2023·湖南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集恰有50個整數(shù)元素，則a的取值范圍是 ，這50個整數(shù)元素之和為 ．
【答案】 或1625
【分析】討論的范圍，解出不等式，結(jié)合題意確定的范圍及解集中的整數(shù)解，再利用等差數(shù)列求和公式求和即可.
【詳解】不等式等價于不等式．
當(dāng)時，的解集為，不合題意；
當(dāng)時，的解集為，
則50個整數(shù)解為，，…，5，6，
所以，這50個整數(shù)元素之和為；
當(dāng)時，的解集為，
則50個整數(shù)解為8，9，…，56，57，所以，
這50個整數(shù)元素之和為．
綜上，a的取值范圍是，這50個整數(shù)元素之和為或1625．
故答案為：；或1625
10．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個實數(shù)，則關(guān)于的不等式僅有2個整數(shù)解的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得，可得區(qū)間內(nèi)僅包含兩個整數(shù)，再利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得不等式等價于；
因為，所以不等式的解集為；
依題意可得區(qū)間內(nèi)僅有兩個整數(shù)，即包含兩個整數(shù)，可得；
由幾何概型概率公式可得其概率為.
故選：C
11．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）解關(guān)于的不等式：（其中）．
【答案】答案見解析.
【分析】左邊進(jìn)行因式分解，根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系，求出端點值，后將端點值比較大小，分類討論即可.
【詳解】解：原不等式可化為．
①若，即，此時原不等式的解集為或；
②若，即，此時原不等式的解集為；
③若，即，此時原不等式的解集為或．
12．（21-22高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求關(guān)于x的不等式的解集；
(2)若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）因式分解，再討論二次方程兩根的大小關(guān)系求解即可；
（2）參變分離可得在區(qū)間上恒成立，再換元令，根據(jù)基本不等式求解最值即可.
【詳解】（1）即，故：
當(dāng)時，解集為；
當(dāng)時，解集為；
當(dāng)時，解集為.
（2）在區(qū)間上恒成立，即，
即在區(qū)間上恒成立.
令，則在區(qū)間上恒成立.
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.
故，故實數(shù)a的范圍是
13．（23-24高一上·河南信陽·階段練習(xí)）已知：，：.
(1)若是真命題，求對應(yīng)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解絕對值不等式即可得出答案；
（2）由是的必要不充分條件，可得，解不等式即可得出答案.
【詳解】（1）∵：是真命題，∴，
∴，解得，
∴的取值范圍是.
（2）由（1）知：：，：即
因為是的必要不充分條件，所以，解得：.
綜上所述的取值范圍是.
考點3分式不等式
14．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式求出兩個集合，再求出，然后求即可.
【詳解】由，得，解得，
所以，
由，得或，
所以，所以，
所以．
故選：B
15．（24-25高一上·上海·單元測試）分式不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.
【詳解】由，得，
即，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：
16．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定義分析即得解
【詳解】由，
解得，
由且，
解得，
故，充分性不成立；
，必要性成立
故是成立的必要不充分條件
故選：B.
17．（23-24高二下·山西呂梁·期末）已知，，則是的（ ）條件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】首先解分式不等式求出命題，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由，即，等價于，解得，
所以，
又，所以由推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立，
所以是的充分不必要條件.
故選：A
18．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再求出其補集，然后求出集合，再由.
【詳解】由，得，得，解得或，
所以或，
所以，
由，得，所以，
所以.
故選：A
考點4絕對值不等式
19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為實數(shù)集，集合，集合，則（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】分別求解分式不等式和絕對值不等式，即可得出，進(jìn)而根據(jù)補集以及并集的運算，得出答案.
【詳解】由可得，，
解得，或，所以，或.
由可得，，
解得，，
所以，或.
所以，或.
故選：C．
20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先化簡集合A，B，再利用并集的運算求解.
【詳解】解：因為，
，
所以．
故選：B．
21．（2024·上?！と＃┮阎?，，則 ．
【答案】
【分析】首先解絕對值不等式與分式不等式求出集合、，再根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】由，即，解得，
所以，
由，即，等價于，解得或，
所以，
所以.
故答案為：
22．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知非空集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先確定集合，由確定的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意，，
因為，所以，則，
所以.
故選：D
考點5根式不等式
23．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出對應(yīng)的集合，再用交集的定義求解即可.
【詳解】由，解得，
則，
故.
故選：.
24．（2024·陜西西安·三模）若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求解根式不等式，化簡集合A，然后再根據(jù)集合交集運算規(guī)則即可求解.
【詳解】依題意得，則．
故選：C.
25．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知集合，若，則的子集有（ ）
A．3個B．4個C．7個D．8個
【答案】B
【分析】先將集合A化簡，求出集合C得解.
【詳解】集合，因為，
所以，其子集有4個.
故選：B.
26．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別解出集合、，得到，進(jìn)而得到.
【詳解】由題得，故，所以.
故選：A.
考點6指數(shù)不等式
27．（2024·青?！つM預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通過將集合中的元素代入集合 ，看是否符合不等式，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∴和滿足集合的要求，
∴，
故選：C.
28．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)全集為，集合，則（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根據(jù)并集、補集的定義計算可得.
【詳解】解：由，即，所以，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以，
所以；
故選：B
29．（2023·浙江寧波·二模）若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解絕對值不等式求出集合、再解指數(shù)不等式求出集合，最后根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】由可得，解得，所以，
由，可得，所以，即，
所以.
故選：B
30．（23-24高一上·天津·期末）已知集合，，則
【答案】
【分析】化簡集合，，利用集合的交集的定義即可求.
【詳解】因為，，
所以.
故答案為：
31．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別求解不等式，再由交集定義求解.
【詳解】又，即，可得，
又因為在上為增函數(shù)，由，可得，
所以，，所以.
故選：B.
32．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】利用絕對值不等式和指數(shù)不等式的解法結(jié)合集合的運算求解即可.
【分析】 或 或，
．
所以．
故選：B．
考點7對數(shù)不等式
33．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知集合，，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用對數(shù)不等式的解法及并集的定義即可求解.
【詳解】由，得，解得，
所以，
所以.
故選：C.
34．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分別求出，運用交集定義求出即可.
【詳解】由得，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時等號成立，
所以，，則
故選:C.
35．（2023·全國·模擬預(yù)測）若集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由絕對值不等式及對數(shù)不等式求兩個集合，在用交集運算即可.
【詳解】由題意得或，，
所以．
故選：C．
36．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合，在根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合，最后根據(jù)并集的定義計算可得.
【詳解】由，解得，所以，
又，
所以.
故選：A
37．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）已知全集，集合，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式先求出集合，進(jìn)而可得，再由，列不等式即可求出答案.
【詳解】由，得，所以，則或，
由，得，所以，
又，所以，解得．
故選：D．
考點8高次不等式
38．（2019·湖南長沙·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出集合S，然后直接進(jìn)行集合的交集運算.
【詳解】或，則.
故選：D
【點睛】本題考查集合的基本運算及區(qū)間，涉及高次不等式，屬于基礎(chǔ)題.
39．（2022·陜西咸陽·一模）使不等式成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．且B．
C．D．
【答案】D
【分析】求解已知不等式，從集合的角度，以及充分性和必要性的定義，即可選擇.
【詳解】因為，故不等式的解集為且，
故不等式成立的一個充分不必要條件所構(gòu)成的集合應(yīng)是且的真子集，
顯然，滿足題意的只有.
故選：D.
40．（2025高三·全國·專題練習(xí)）解下列關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）（2）兩題用一元二次不等式解法即可求解；
（3）（4）（10）三題用解分式方程的解法即可求解；
（5）（8）用解絕對值不等式的解法即可求解；
（6）（7）（9）解高階不等式用穿針引線法可以求解；
【詳解】（1）由，得，即，
所以，所以不等式的解集為.
（2）原不等式可化為或，
所以解集為{或}.
（3）由題得
由可得：或，又，
則得或，即不等式的解集為.
（4）由，得，
所以，解得或，
所以不等式的解集為.
（5）當(dāng)，即時，，得，此時，，
當(dāng)，即時，，得，此時，，
綜上所述，，即不等式的解集為.
（6）原不等式可化為或，
即或．
由圖可知，原不等式的解集為或．
（7）原不等式可化為，即，
即或，即或．
由圖可知，原不等式的解集為或.
（8），令，則，原不等式為：，即，
由，則或，即.
（9）對于，
當(dāng)時，，原不等式等價于，
等價于，解得或，即；
當(dāng)時，，原不等式成立，所以是原不等式的一個解；
綜上，原不等式的解集為.
（10）對于，變形為，即，與同解，
，即.
41．（2022·河北邯鄲·一模）已知集合，，則（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】先化簡集合A，再去求即可解決.
【詳解】由，
得或，解之得或
則或
又
則或或
故選：D
42．（2023·廣西·模擬預(yù)測）滿足不等式的整數(shù)解的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用穿針引線法解此不等式，計算出每個區(qū)間內(nèi)整數(shù)解的個數(shù)，相加即可求解
【詳解】利用穿針引線法解不等式，在有個；在有個；…在有個.
所以整數(shù)解的個數(shù)為：
.
故選：D
考點9由一元二次不等式的解確定參數(shù)
43．（2023·上海浦東新·模擬預(yù)測）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系求解.
【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，
所以一元二次方程的兩個根為，
所以根據(jù)韋達(dá)定理可得，解得，
所以，
故答案為: .
44．（2024·浙江紹興·三模）若關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】由題得、為方程的根，利用韋達(dá)定理計算即可得解.
【詳解】由已知可得、為方程的根，
由韋達(dá)定理可得：，解得：
故選：B
45．（2024高三·全國·專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，且，則 ．
【答案】/
【分析】先解二次不等式得到關(guān)于的表達(dá)式，再代入即可求得值.
【詳解】因為由，得，解得，
所以，，
所以，
所以．
故答案為：.
46．（2023·江西南昌·二模）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則的解集為 ．
【答案】
【分析】由題意可得且方程的解為，再根據(jù)韋達(dá)定理求得的關(guān)系即可得解.
【詳解】因為關(guān)于x的不等式的解集為，
所以且方程的解為，
則，
所以，即，
所以不等式的解集為．
故答案為：．
47．【多選】（23-24高二上·山東威海·期末）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集為
【答案】BD
【分析】根據(jù)給定的解集，用表示出，再逐項判斷作答.
【詳解】不等式的解集為，則是方程的根，且，
則，即，A錯誤；
不等式化為，解得，即不等式的解集是，B正確；
，C錯誤；
不等式化為，即，解得或，
所以不等式的解集為，D正確.
故選：BD
48．（2023·河南·模擬預(yù)測）某同學(xué)解關(guān)于的不等式時，因弄錯了常數(shù)的符號，解得其解集為，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系、一元二次不等式的解求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得不等式的解集.
【詳解】由題意可知，且，所以，
所以化為，
，解得.
故選：C
49．（23-24高三上·重慶榮昌·階段練習(xí)）已知關(guān)于不等式的解集為或．
(1)求值；
(2)當(dāng)，且滿足時，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，得到和是方程的兩個實數(shù)根，結(jié)合韋達(dá)定理列出方程組，即可求解；
（2）由（1）得到，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：因為不等式的解集為或，
可得和是方程的兩個實數(shù)根，且，
則，解得.
（2）解：由（1）知，可得，
因為，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
50．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得出a、b、c的關(guān)系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【詳解】一元二次不等式的解為，
所以的解為，且，
由韋達(dá)定理得，代入得
，
故選：D.
51．【多選】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知關(guān)于的不等式的解集是，則（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韋達(dá)定理逐項判斷即可.
【詳解】由題意可知，1，3是方程的兩個根，且，，
A：由以上可知，故A正確；
B：當(dāng)時，代入方程可得，故B正確；
C：因為，不等式的解集是，故將代入不等式左邊為，故C錯誤；
D：原不等式可變?yōu)?，且，約分可得，解集為或，故D正確；
故選：ABD
52．（2024·福建南平·二模）關(guān)于的實系數(shù)二次不等式的解集為，若，，則的最小值為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由已知可得是一元二次方程的根，進(jìn)而可得，可得，可求的最小值.
【詳解】因為關(guān)于的實系數(shù)二次不等式的解集為，
所以是一元二次方程的根，
所以，解得，所以，所以，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以的最小值為.
故選：C.
53．（2022·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】討論m與2的大小關(guān)系，求得不等式的解集， 根據(jù)解集中恰有4個整數(shù)，確定m的取值范圍.
【詳解】不等式即 ，
當(dāng)時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，
這四個整數(shù)只能是3,4,5,6，故，
當(dāng)時，不等式解集為 ，此時不符合題意；
當(dāng) 時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，
這四個整數(shù)只能是 ，故，，
故實數(shù)m的取值范圍為，
故選：C
54．（2022·天津和平·二模）已知不等式的解集中恰有五個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合已知分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
當(dāng)時，原不等式化為，顯然，不符合題意；
當(dāng)時，不等式的解集為，其中解集中必有元素，
若五個整數(shù)是時，可得，此時解集為空集，
若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，
若五個整數(shù)是時，，
若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，
若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集；
當(dāng)時，不等式的解集為，其中解集中必有元素，
若五個整數(shù)是時，可得，此時解集為空集，
若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，
若五個整數(shù)是時，，
若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，
五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.
55．（2024·廣東·一模）已知且，則“的解集為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解及充分條件、必要條件求解.
【詳解】由題意，二次不等式的解集為，
則等價于，即，即，
當(dāng)時，不能推出，
所以“的解集為”是“”的充分不必要條件，
故選：A
56．（2020·河南鄭州·二模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的最大值是（ ）
A．2B．3C．5D．8
【答案】D
【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.
【詳解】解：函數(shù)，如圖所示
當(dāng)時，，
由于關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解
因此其整數(shù)解為3，又
∴，，則
當(dāng)時，，則不滿足題意；
當(dāng)時，
當(dāng)時，，沒有整數(shù)解
當(dāng)時，，至少有兩個整數(shù)解
綜上，實數(shù)的最大值為
故選：D
【點睛】方法點睛：處理方式主要是：先作出函數(shù)圖象，解含參一元二次不等式（將函數(shù)值整體看作變量），
再通過數(shù)形結(jié)合與分類討論思想，討論整數(shù)解出現(xiàn)的情況，此外還需要特別注意端點位置的取舍.
57．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據(jù)端點得到兩個等式和一個不等式，求出的取值范圍，最后都表示成的形式即可.
【詳解】因為不等式的解集為，
所以二次函數(shù)的對稱軸為直線，
且需滿足，即，解得，
所以，所以，
所以.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：一元二次不等式的解決關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，求出對稱軸和端點的值，繼而用同一個變量來表示求解.
考點10一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題
58．（19-20高二上·安徽·階段練習(xí)）若命題：“，使”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)特稱命題的否定，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】由題意可知：命題：，.是真命題，
①當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；
②當(dāng)時，則，解得；
故答案為：.
59．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】分和兩種情況討論即可.
【詳解】①時，，原不等式可化為，解集為R成立；
②時，
解得，
綜上，，即實數(shù)k的取值范圍為.
故答案為：.
60．（24-25高一上·上海·單元測試）不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析討論即可得解.
【詳解】當(dāng)，即時，恒成立，
當(dāng)時，因為對恒成立，
所以，解得，
綜上，，
即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：C
61．（24-25高一上·上?！て谥校╆P(guān)于x的一元二次不等式的解集為空集，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用判別式法求解.
【詳解】解：因為關(guān)于x的一元二次不等式的解集為空集，
所以，對恒成立，
所以，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍為，
故答案為：
62．（23-24高一上·安徽淮北·階段練習(xí)）下列條件中，為“關(guān)于x的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出關(guān)于x的不等式對恒成立的充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義即可求解.
【詳解】若關(guān)于x的不等式對恒成立，
當(dāng)時，不等式等價于恒成立，故滿足要求，
當(dāng)時，原不等式恒成立當(dāng)且僅當(dāng)，解得，
綜上所述，若關(guān)于x的不等式對恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)，
而選項中只有是的充分不必要條件.
故選：B.
63．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（，為實數(shù)）
(1)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.
（2）由對恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可.
【詳解】（1）依題意，，即，
由，恒成立，得，
即，整理得，
解得.
所以實數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，，
由，得，即，
依題意，對恒成立，
令，
則對，恒成立，于是，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍是．
考點11一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題
64．（22-23高三下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）對任意的，不等式都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分離參數(shù)得對任意的恒成立，則求出即可.
【詳解】因為對任意的，都有恒成立，
∴對任意的恒成立．
設(shè)，
，，
當(dāng)，即時，，
∴實數(shù)a的取值范圍是.
故選：D.
65．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.
(1)求a的值；
(2)當(dāng)時，恒成立，求m的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)，即可由對數(shù)運算代入求解.
（2）根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以,
因為，所以，
則.
（2）由（1）可知，等價于.
令，則，
原不等式等價于在上恒成立，
則，解得，
故m的取值范圍為.
66．【多選】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）命題“”是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求出的范圍，然后利用充分不必要條件的概念選擇答案.
【詳解】，
則對都成立，
又，所以，
觀察選項可得命題“”是真命題的一個充分不必要條件是BCD.
故選：BCD.
67．（2024·遼寧·三模）若“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“在上恒成立”，再利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求得最值，從而得解.
【詳解】因為“，使”是假命題，
所以“，”為真命題，
其等價于在上恒成立，
又因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
68．（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知命題：任意，使為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，由題意可得任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求的取值范圍.
【詳解】設(shè)，則，
原命題等價于：任意，使為真命題，
所以，其中
設(shè)， 則
函數(shù)，的最大值為與中的較大者，
所以，
∴，解得，
故選：C.
69．【多選】（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，當(dāng)時，，若對于任意的，都有，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】AB
【分析】
根據(jù)，且當(dāng)時，，作出函數(shù)的部分圖象，結(jié)合圖象即可求出實數(shù)的取值范圍，從而得出結(jié)論.
【詳解】由函數(shù)的定義域為，滿足，
當(dāng)時，可得，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，；
作出函數(shù)的部分圖象如下圖所示：
由類周期函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，恒成立；
解方程可得或；
又因為對于任意的，都有，利用圖象可知，
因此選項AB符合題意.
故選：AB
70．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】.
【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求定區(qū)間的最值即可.
【詳解】當(dāng)時，不等式恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，則，
令，則在單調(diào)遞增，
所以，所以.
故答案為：.
71．（2024·陜西榆林·三模）已知，若當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，易得的對稱軸為，則，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】令，
由題意可得，則，
又因為，所以，
函數(shù)的對稱軸為，
則，
即，
即，結(jié)合，解得.
故選：A.
72．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對是 ．
【答案】
【分析】由題意可得，然后利用不等式的性質(zhì)對不等式組變形可求得結(jié)果.
【詳解】因為對任意，
所以必須滿足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
經(jīng)檢驗，當(dāng)，時，，則
的最大值為，的最小值為，
滿足任意，
所以滿足條件的有序數(shù)對只有一對，
故答案為：.
考點12一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題
73．（22-23高二上·河南·開學(xué)考試）設(shè)a為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有實數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】參變分離，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合能成立問題求最值即可.
【詳解】由題意，因為，故在區(qū)間上有實數(shù)解，則，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故.故在區(qū)間上有實數(shù)解則.
故選：A
74．（2022·陜西寶雞·模擬預(yù)測）若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分別在、和的情況下，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.
【詳解】①當(dāng)時，不等式化為，解得：，符合題意；
②當(dāng)時，為開口方向向上的二次函數(shù)，
只需，即；
③當(dāng)時，為開口方向向下的二次函數(shù)，
則必存在實數(shù)，使得成立；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
75．（2021·江蘇·二模）已知函數(shù).若存在使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，可判斷為奇函數(shù)且在遞增，由得，所以成立，分離參數(shù)利用最值求解即可．
【詳解】解：，
令，則
又因為在遞增，
所以，得
則，所以
又，使得，易知：，所以，
故選：C．
方法點睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：
（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
76．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的方程在上有實數(shù)根，且滿足，則的最大值是 .
【答案】2
【分析】由題得，將代入，分離參數(shù)得，結(jié)合換元法和對勾函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【詳解】由可得，，
整理得，令，因為，所以，不等式等價于，即，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)可知，（時取到），（時取到），所以，則的最大值是2.
故答案為：2
77．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知命題“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題知時，，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可得答案.
【詳解】解：因為命題“，”為真命題，
所以，命題“，”為真命題，
所以，時，，
因為，，
所以，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.
所以，時，，即實數(shù)的取值范圍是
故選：C
78．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）若不等式在上有解，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得在區(qū)間上有解，求出在區(qū)間上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍．
【詳解】因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，
所以在區(qū)間上有解，
設(shè)，，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以有最小值為，
所以實數(shù)的取值范圍是．
故選：C．
79．（18-19高二上·山東濰坊·階段練習(xí)）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用均值不等式求出最小值，根據(jù)題意列不等式求解即可.
【詳解】
，要使得不等式有解，只需有解即可，
解得或者，
故選：D
考點13一元二次方程根的分布問題
80．（20-21高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）關(guān)于x方程在內(nèi)恰有一解，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】討論，方程根的情況，結(jié)合根的分布列不等式，即可求的范圍.
【詳解】當(dāng)時，，不合題意；
∴，令，有，，要使在內(nèi)恰有一個零點，
∴即可，則，
故選：B
【點睛】本題考查了由一元二次方程根的分布求參數(shù)范圍，應(yīng)用了分類討論的方法，屬于基礎(chǔ)題.
81．（23-24高一上·天津南開·期中）已知函數(shù)．
(1)不等式的解集為，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)的兩個零點在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得恒成立，分、兩種情況討論；
（2）分、兩種情況討論，結(jié)合二次方程根的分布得到方程組，解得即可.
【詳解】（1）因為不等式的解集為，
所以恒成立，
當(dāng)，即時，則，解得，顯然不符合題意；
當(dāng)時，則需滿足，解得，
即的取值范圍為
（2）若函數(shù)的兩個零點在區(qū)間內(nèi)，
顯然，
當(dāng)，則需滿足，即，解得，
當(dāng)，則需滿足，即，解得，
綜上可得.
82．（22-23高一上·湖南長沙·開學(xué)考試）若一元二次方程的兩個根都大于2，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因為一元二次方程的兩個根都大于2，令，
所以，解得，
故實數(shù)a的取值范圍為
83．（23-24高一上·重慶·期末）關(guān)于x的一元二次方程有一個根小于，另一個根大于1，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像特征，滿足，即得a的取值范圍.
【詳解】設(shè)，開口向上，
由題意知，
即，解得，
所以．
故答案為：．
84．（23-24高二下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）關(guān)于的方程滿足下列條件，求的取值范圍.
(1)有兩個正根；
(2)一個根大于1，一個根小于1；
(3)一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；
【答案】(1)；
(2)
(3).
【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理和根的判別式得到不等式，求出；
（2）令，設(shè)的兩個根為，，故只需，求出答案；
（3）根據(jù)方程一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)，得到不等式，求出答案.
【詳解】（1）令，設(shè)的兩個根為.
由題得，解得.
（2）令，設(shè)的兩個根為.
若方程的一個根大于1，一個根小于1，
由于，開口向上，
故只需，解得.
（3）令，設(shè)的兩個根為.
若方程一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)，
結(jié)合開口向上，
則，解得.
85．（21-22高一上·遼寧沈陽·期中）已知關(guān)于x的方程有兩個正根，那么兩個根的倒數(shù)和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
【答案】B
【分析】由判別式可解得，由根與系數(shù)關(guān)系可得，由的范圍結(jié)合不等式的性質(zhì)變形可得答案．
【詳解】由題意可得，
解得或，
設(shè)兩個為，，由兩根為正根可得
，解得，
綜上知，.
故兩個根的倒數(shù)和為
，
，，，
故，
，
故兩個根的倒數(shù)和的最小值是.
故選：B
86．（2022·安徽·模擬預(yù)測）在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，則方程有兩個不同的非負(fù)根的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)方程有兩個不同的非負(fù)根，可得，在平面直角坐標(biāo)系作出可行域，結(jié)合圖象，根據(jù)幾何概型即可得解.
【詳解】解：因為方程有兩個不同的非負(fù)根，
所以，則，
如圖，作出不等式組所表示得平面區(qū)域為，
在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，所表示得平面區(qū)域為正方形，
，
所以方程有兩個不同的非負(fù)根的概率為.
故選：B.
考點14一元二次不等式的實際應(yīng)用
87．（2022·上?！つM預(yù)測）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后超過100人患了流感，若設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么x滿足的不等關(guān)系為（ ）
A．x（1+x）≥100B．1+x（1+x）＞100
C．x+x（1+x）≥100D．1+x+x（1+x）＞100
【答案】D
【分析】先求出第一輪后患了流感的人數(shù)，進(jìn)一步求出經(jīng)過第二輪后患了流感的人數(shù).
【詳解】若每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，
則經(jīng)過第一輪后有（1+x）個人患了流感，
經(jīng)過第二輪后有[（1+x）+x（1+x）]個人患了流感，
∴x滿足的不等關(guān)系為（1+x）+x（1+x）＞100.
故選：D．
88．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在鄉(xiāng)村振興的道路上，某地干部在幫扶走訪中得知某農(nóng)戶的實際情況后，為他家量身定制了致富計劃，政府無息貸款萬元給該農(nóng)戶養(yǎng)羊，每萬元可創(chuàng)造利潤萬元.進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)后，養(yǎng)羊的投資減少了萬元，且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼谋?現(xiàn)將養(yǎng)羊少投資的萬元全部投資網(wǎng)店，進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售，則每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元，其中.
(1)若進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤，求的取值范圍;
(2)若網(wǎng)店銷售的利潤始終不高于技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤，求的最大值.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）由題意，求解，又，解出的取值范圍.
（2）由題意知網(wǎng)店銷售的利潤，養(yǎng)羊的利潤，得到恒成立，化簡利用基本不等式求得最值.
【詳解】（1）由題意，得，
整理得，解得，又，
所以，故x的取值范圍為.
（2）由題意知網(wǎng)店銷售的利潤為萬元，
技術(shù)指導(dǎo)后，養(yǎng)羊的利潤為萬元，
則恒成立.
又，則恒成立.
又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
，即的最大值為6.5.
89．（23-24高二上·山東泰安·階段練習(xí)）第一機(jī)床廠投資生產(chǎn)線500萬元，每萬元可創(chuàng)造利潤1.5萬元．該廠通過引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)，在生產(chǎn)線的投資減少了萬元，且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼谋叮F(xiàn)將在生產(chǎn)線少投資萬元全部投入生產(chǎn)線，且每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元，其中．
（1）若技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)線的利潤不低于原來生產(chǎn)線的利潤，求的取值范圍；
（2）若生產(chǎn)線的利潤始終不高于技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)線的利潤，求的最大值．
【答案】（1）；（2）5.5．
【分析】（1）由題意，生產(chǎn)線原利潤、改進(jìn)后利潤分別為萬元，萬元，根據(jù)它們的不等關(guān)系即可求的取值范圍；（2）生產(chǎn)線的利潤為萬元，根據(jù)已知不等關(guān)系結(jié)合（1）有恒成立，應(yīng)用基本不等式求的最大值.
【詳解】解:（1）由題意，得，整理得，解得，又，故．
（2）由題意知，生產(chǎn)線的利潤為萬元，技術(shù)改進(jìn)后，生產(chǎn)線的利潤為萬元，則恒成立，又，
∴恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
∴，即的最大值為5.5．
【點睛】本題考查了不等式的實際應(yīng)用，根據(jù)實際題設(shè)中的不等關(guān)系列不等式求參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.
90．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，
可列不等式 同時需要注意最低售價為15元，即.同時滿足上述條件，可解得范圍得到答案
【詳解】由題意，得，即，∴，解得．又每盞的最低售價為15元，∴．
故選：B．
91．（2022·上海青浦·一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內(nèi).已知汽車以公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數(shù)，不同型號汽車值不同，且滿足.
(1)若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為升，欲使這種型號的汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍；
(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.
【答案】(1)；
(2)當(dāng)時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升；
當(dāng)時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升.
【分析】（1）根據(jù)題意，可知當(dāng)時，求出的值，結(jié)合條件得出，再結(jié)合，即可得出車速的取值范圍；
（2）設(shè)該汽車行駛100千米的油耗為升，得出關(guān)于與的函數(shù)關(guān)系式，通過換元令，則，得出與的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出的最小值，即可得出不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.
【詳解】（1）解：由題意可知，當(dāng)時，，解得：，
由，即，解得：，
因為要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內(nèi)，
即，所以，
故汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍.
（2）解：設(shè)該汽車行駛100千米的油耗為升，
則，
令，則，
所以，，
可得對稱軸為，由，可得，
當(dāng)時，即時，
則當(dāng)時，；
當(dāng)，即時，
則當(dāng)時，；
綜上所述，當(dāng)時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升；
當(dāng)時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升.
考點15一元二次不等式在幾何中的應(yīng)用
92．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長（單位：m）的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形相似列出方程，將矩形的另一邊用表示，再根據(jù)矩形的面積不小于300m2列出不等式，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)矩形的另一邊長為m，則由三角形相似知，，
所以，因為，所以，
即，解得.
故選:C
【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.
93．（2022·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）設(shè)矩形的周長為，把它沿對角線對折后，設(shè)交于點，此時點記作，如圖所示，設(shè)，，則△的面積的最大值為 ．
【答案】/4.5
【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合基本不等式得到關(guān)于的一元二次不等式并求解集，結(jié)合△的面積即可得最大值，注意成立條件.
【詳解】由題意△△，而，，
所以，而矩形的周長為，
則，整理得，僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br>所以，而，可得，
則，而△的面積，故最大值為，此時.
故答案為：
94．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)有一個直角三角形空地，其中，現(xiàn)對其進(jìn)行規(guī)劃，要求中間為三角形綠地公園（如圖陰影部分），周邊是寬度均為的公園健步道．

(1)當(dāng)時，求的周長；
(2)若在設(shè)計健步道時，要保證綠地公園的面積不小于總面積的，求健步道寬度的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，得到與相似，連接，過點向引垂線，求得，得到，及，進(jìn)而求得的周長；
（2）由（1）知的面積，設(shè)為內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合與相似，求得綠地公園的面積，即可求得的范圍，得到答案.
【詳解】（1）解：因為，所以，
因為與的三邊分別平行，所以與相似，
連接，過點向引垂線，垂足分別為，
則，可得，
所以，則，
在中，，故，
所以的周長：
.
（2）解：由（1）知的面積，
設(shè)為內(nèi)切圓的半徑，則，則，，
所以，
又與相似，所以，
綠地公園的面積：
，
化簡得，解得，
故健步道寬度的最大值為．

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