考點(diǎn)1用不等式表示不等關(guān)系
1．（2023·云南昆明·一模）人體的正常溫度大約是36℃，當(dāng)人體溫度超過正常溫度的時(shí)認(rèn)定為高燒，則高燒溫度℃應(yīng)滿足的不等關(guān)系式是 .
2．（21-22高一上·浙江·期末）一般認(rèn)為，民用住宅窗戶面積a與地板面積b的比應(yīng)不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時(shí)增加m，采光效果變好還是變壞？請(qǐng)將你的判斷用不等式表示
3．（2021·江西撫州·模擬預(yù)測(cè)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，學(xué)校計(jì)劃購買一些氣球來布置會(huì)場(chǎng)，已知購買的氣球一共有紅?黃?藍(lán)?綠四種顏色，紅色多于藍(lán)色，藍(lán)色多于綠色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最少有（ ）個(gè)
A．20B．22C．24D．26
4．（2020·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價(jià)各是多少錢？則在這個(gè)問題中大竹子每根的單價(jià)可能為（ ）
A．6錢B．7錢C．8錢D．9錢
考點(diǎn)2由已知條件判斷所給不等式是否正確
5．（2024·北京·三模）已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
8．【多選】（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的有（ ）
A．B．C．D．
9．【多選】（2024·湖北·二模）已知，則下列不等式正確的有（ ）
A．B．
C．D．
10．【多選】（2024·福建廈門·三模）若，則（ ）
A．B．C．D．
11．【多選】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．若，則
12．【多選】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列式子正確的是（ ）
A．B．C．D．
13．【多選】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．B．
C．存在使得D．若且，則
14．【多選】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)最小時(shí)，
考點(diǎn)3利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假
15．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則B．若，，則
C．若，則D．若，則
16．（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
17．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知為實(shí)數(shù)，則下列命題成立的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
18．【多選】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則下列命題正確的有（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
19．【多選】（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
20．【多選】（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
考點(diǎn)4作差法比較代數(shù)式的大小
21．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的平均數(shù)為,與的平均數(shù)為,與的平均數(shù)為.若,則（ ）
A．B．
C．D．
22．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
23．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
24．（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
25．【多選】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
26．（2024·北京西城·二模）在數(shù)列中，，．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；
②存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；
③存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
27．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．
(1)試比較與的大?。?br>(2)若恒成立，求的取值范圍．
28．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知且.
(1)若，設(shè)，比較和的大小;
(2)若，求的最小值.
考點(diǎn)5作商法比較代數(shù)式的大小
29．【多選】（2021·廣東肇慶·一模）下列大小關(guān)系正確的有（ ）
A．B．C．D．
30．（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
31．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若，則有（ ）
A．B．
C．D．
32．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足且成等比數(shù)列，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
33．（2020·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．B．
C．D．
34．（2023·四川資陽·一模）已知，，下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
35．【多選】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知,,則（ ）
A．B．
C．D．
36．【多選】（2021·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)6由不等式的性質(zhì)證明不等式
37．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（1）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，求證：．
（2）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：．
38．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知．證明：
(1)當(dāng)時(shí)，；
(2)．
39．（21-22高三·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿足．
(1)若，求證：；
(2)若，，求的最小值．
40．（2023·河北衡水·三模）已知實(shí)數(shù)a、b滿足a2+b2-ab＝3．
（1）求a-b的取值范圍；
（2）若ab＞0，求證：．
41．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且．
（1）請(qǐng)給出的一組值，使得成立；
（2）證明不等式恒成立．42．（2023·河南平頂山·一模）（1）解不等式 ；
（2）已知 、 ，求證：
考點(diǎn)7利用不等式求值或取值范圍
43．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是 ．
44．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知，則以下錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
45．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
46．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
47．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若，，，則的取值范圍為
48．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）新高考改革后，生物，化學(xué)，政治，地理采取賦分制度：原始分排名前的同學(xué)賦分分．若原始分的最大值為，最小值為，令為滿足， 的一次函數(shù)．對(duì)于原始分為的學(xué)生，將的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分.已知小趙原始分，賦分；小葉原始分，賦分；小林原始分，他的賦分是（ ）
A．B．C．D．或
考點(diǎn)8糖水不等式
49．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，能恰當(dāng)表示這一事實(shí)的不等式為（ ）
A．B．C．D．
50．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了．將這一事實(shí)表示成一個(gè)不等式為（ ）
A．B．
C．D．
51．【多選】（2021·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據(jù)這個(gè)事實(shí)，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
52．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為，這個(gè)質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，從而可抽象出不等式(，)數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并寫出上述結(jié)論所對(duì)應(yīng)的一個(gè)糖水不等式 .
53．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.
(1)請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立；
(2)在銳角中，根據(jù)（1）中的結(jié)論，證明：.
54．（22-23高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中一種最基本的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決下列生活中的兩個(gè)問題：
(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式
(2)甲每周都要去超市購買某種商品，已知第一周采購時(shí)價(jià)格是p1，第二周采購時(shí)價(jià)格是p2.現(xiàn)有兩種采購方案，第一種方案是每次去采購相同數(shù)量的這種商品，第二種方案是每次去采購用的錢數(shù)相同.哪種采購方案更經(jīng)濟(jì)，請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn)9不等式的實(shí)際應(yīng)用
55．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.某次出行，劉先生全程需要加兩次油，由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油時(shí)燃油的價(jià)格為5元/升，第二次加油時(shí)燃油的價(jià)格為4元/升，請(qǐng)計(jì)算出每種加油方案的平均價(jià)格（平均價(jià)格總價(jià)格總升數(shù)）；
(2)分別用m，n（）表示劉先生先后兩次加油時(shí)燃油的價(jià)格，請(qǐng)計(jì)算出每種加油方案的平均價(jià)格，選擇哪種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算？并給出證明.
56．（2022·上海浦東新·二模）某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進(jìn)行抗病毒實(shí)驗(yàn)．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時(shí)間（小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．當(dāng)每毫升血液含藥量不低于4微克時(shí)，該藥能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒藥，多長(zhǎng)時(shí)間后該藥能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次實(shí)驗(yàn)：先給小白鼠服用1粒藥，6小時(shí)后再服用1粒，請(qǐng)問這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為多少小時(shí)？
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鞏固練03 等式與不等式的性質(zhì)9種常見考點(diǎn)全面練（精練56題）
考點(diǎn)1用不等式表示不等關(guān)系
1．（2023·云南昆明·一模）人體的正常溫度大約是36℃，當(dāng)人體溫度超過正常溫度的時(shí)認(rèn)定為高燒，則高燒溫度℃應(yīng)滿足的不等關(guān)系式是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題目所給已知條件列出不等關(guān)系式.
【詳解】依題意，.
故答案為：
2．（21-22高一上·浙江·期末）一般認(rèn)為，民用住宅窗戶面積a與地板面積b的比應(yīng)不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時(shí)增加m，采光效果變好還是變壞？請(qǐng)將你的判斷用不等式表示
【答案】
【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)可得答案.
【詳解】若窗戶面積與地板面積同時(shí)增加m，采光效果變好了，用不等式表示為：，
因?yàn)?，所以成?
故答案為：.
3．（2021·江西撫州·模擬預(yù)測(cè)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，學(xué)校計(jì)劃購買一些氣球來布置會(huì)場(chǎng)，已知購買的氣球一共有紅?黃?藍(lán)?綠四種顏色，紅色多于藍(lán)色，藍(lán)色多于綠色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最少有（ ）個(gè)
A．20B．22C．24D．26
【答案】B
【分析】分別設(shè)紅?黃?藍(lán)?綠各有，，，個(gè)，根據(jù)題意列出不等式可分別求出范圍，即可求出.
【詳解】分別設(shè)紅?黃?藍(lán)?綠各有，，，個(gè)，且，，，為正整數(shù)，
則由題意得，，，，可得，
所以，，，即至少有個(gè).
故選：B.
4．（2020·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價(jià)各是多少錢？則在這個(gè)問題中大竹子每根的單價(jià)可能為（ ）
A．6錢B．7錢C．8錢D．9錢
【答案】C
【分析】根據(jù)題意設(shè)買大竹子，每根單價(jià)為，可得，由，解不等式組即可求解.
【詳解】依題意可設(shè)買大竹子，每根單價(jià)為，
購買小竹子，每根單價(jià)為，
所以，
即，即，
因?yàn)椋?br>所以，
根據(jù)選項(xiàng)，，
所以買大竹子根，每根元.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式，考查了數(shù)據(jù)處理能力以及分析能力，屬于基礎(chǔ)題.
考點(diǎn)2由已知條件判斷所給不等式是否正確
5．（2024·北京·三模）已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，正切函數(shù)的性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，，其中，但的符號(hào)不確定，所以A不正確；
對(duì)于B中，例如，此時(shí)，所以B不正確；
對(duì)于C中，由函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
因?yàn)?，所以，可得，所以C正確；
對(duì)于D中，例如，此時(shí)，所以D不正確.
故選：C.
6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用特殊值判斷A、B、D，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)、，滿足，但是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：當(dāng)、，滿足，但是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，若，則，故C正確
對(duì)于D：當(dāng)、，滿足，但是，故D錯(cuò)誤.
故選：C
7．（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.
【詳解】對(duì)于ABD，取，滿足，
顯然，，，ABD錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則，C正確.
故選：C
8．【多選】（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)不等式的相關(guān)性質(zhì)可得A ,D 項(xiàng)正確；通過舉反例可說明B ,C 項(xiàng)錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，由和不等式性質(zhì)可得，故A正確；
對(duì)于B，因，若取，，，，
則，，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因，若取，，，，
則，，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，則，又因則，
由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正確．
故選：AD．
9．【多選】（2024·湖北·二模）已知，則下列不等式正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可比較；對(duì)于B，舉反例判斷即可；對(duì)于C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可判斷；對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可比較.
【詳解】設(shè)，則，在單調(diào)遞增，
所以，即，即，A正確；
令，，則，而，所以，B不正確；
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
則在時(shí)取得最小值，即，C正確；
設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，
所以由得，即，D正確.
故選：ACD
10．【多選】（2024·福建廈門·三模）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】對(duì)A、B：借助不等式的性質(zhì)即可得；對(duì)C：借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得；對(duì)D：借助基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】對(duì)A：由，則，故A正確；
對(duì)B：由，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：由在上單調(diào)遞增，故，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：由，則，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.
故選：AD.
11．【多選】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．若，則
【答案】ACD
【分析】設(shè)，由對(duì)數(shù)運(yùn)算及單調(diào)性判斷ACD，特值法判斷B.
【詳解】因?yàn)?，設(shè)
對(duì)A，知，易知.選項(xiàng)A正確.
對(duì)C，因?yàn)?，，，所以，，?br>于是，選項(xiàng)C正確.
對(duì)D，若，則，即，則.
由知.選項(xiàng)D正確.
對(duì)B，取，則，由知，
知，所以，即，
，此時(shí)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
故選：ACD.
12．【多選】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列式子正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得A、B的正誤；根據(jù)基本不等式可得C的正誤；利用作差法可得D的正誤.
【分析】由，得，所以，A正確．
因?yàn)椋?，所?，所以，B正確．
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，C正確．
因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
13．【多選】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．B．
C．存在使得D．若且，則
【答案】ABD
【分析】由不等式的性質(zhì)即可判斷A，可以得出且，結(jié)合基本不等式即可判斷B，由不等式性質(zhì)得，由此即可判斷C，由基本不等式得，進(jìn)一步注意到，由此即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由及，得，所以，A正確．
對(duì)于B，由及，得，所以．同理可得．
又，所以，所以，B正確．
對(duì)于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，由，得．由，得．
因?yàn)?，所以，所以，D正確．
故選：ABD．
14．【多選】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)最小時(shí)，
【答案】BCD
【分析】根據(jù)反例可判斷A的正誤，再利用不等式的基本性質(zhì)，以及基本不等式和絕對(duì)值的幾何意義可判斷BCD的正誤.
【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，由，可得，所以B正確；
對(duì)于C中，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以等?hào)不成立，，所以C正確；
對(duì)于D中，由的最小值，即為數(shù)軸到和的距離之和最小，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最小，此時(shí)，所以D正確.
故選：BCD.
考點(diǎn)3利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假
15．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則B．若，，則
C．若，則D．若，則
【答案】B
【分析】由不等式的基本性質(zhì)，賦值法逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，可以取，，，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤.
對(duì)于B：∵，∴，因?yàn)椋?，故B正確；
對(duì)于C：取，時(shí)，則，，，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，，，則，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
16．（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利用作差法即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A結(jié)論正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B結(jié)論正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以?br>而函數(shù)為減函數(shù)，所以，故C結(jié)論正確；
對(duì)于D，，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，故D結(jié)論錯(cuò)誤.
故選：D.
17．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知為實(shí)數(shù)，則下列命題成立的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A，若，當(dāng)時(shí)，不滿足，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，可知，不等式兩邊同時(shí)除以，即，可得，即C正確；
對(duì)于D，若，不妨取，則，可得D錯(cuò)誤；
故選：C
18．【多選】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則下列命題正確的有（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)給定的正實(shí)數(shù)條件，利用不等式性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)的條件推理判斷ABD；令，借助輔助角公式及三角函數(shù)性質(zhì)求解判斷C.
【詳解】對(duì)于A，由，得，而，則，
因此，即，于是，A正確；
對(duì)于B，由，得，即，
又，B正確；
對(duì)于C，令，則，
其中銳角滿足，顯然，
因此當(dāng)時(shí)，，C正確；
對(duì)于D，由，得，，，
當(dāng)，即時(shí)，，即，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
19．【多選】（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】AC
【分析】對(duì)A和C利用不等式性質(zhì)即可判斷，對(duì)B和D舉反例即可反駁.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，則兩邊同乘得，兩邊同乘得，
則，故A正確；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，故C正確；
對(duì)D，舉例，則，而，
此時(shí)兩者相等，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
20．【多選】（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】BD
【分析】利用舉反例和不等式得性質(zhì)進(jìn)行判斷.
【詳解】當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)A可能不成立，例如但是錯(cuò)誤的.
因?yàn)楦鶕?jù)不等式性質(zhì)可得正確.
因?yàn)?，所以所以即所以故C錯(cuò)誤.
因?yàn)?，所以?br>所以正確.
故選：BD
考點(diǎn)4作差法比較代數(shù)式的大小
21．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的平均數(shù)為,與的平均數(shù)為,與的平均數(shù)為.若,則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)作差法比較大小,首先將要比較的,用表示,后作差變形,運(yùn)用這個(gè)條件,判斷正負(fù)即可比較出大小.
【詳解】根據(jù)題意得,,,,
對(duì)于A選項(xiàng),
對(duì)于B選項(xiàng),
對(duì)于C選項(xiàng),
對(duì)于D選項(xiàng),
故選：B.
22．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性確定大小，通過作差，判斷正負(fù)即可確定大小即可.
【詳解】設(shè)，則令，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，則，
又，得，
所以，
故選：A
23．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，得到，故有，再運(yùn)用作差法比較即得.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上遞減,
故.
則，即；
由可知，故.
故選：B.
24．（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】做差，利用換底公式，基本不等式，對(duì)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行大小比較.
【詳解】
所以.
故選：C.
25．【多選】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合作差比較法，可判定A正確，D不正確；利用不等式的基本性質(zhì)，可得判定B正確；由基本不等式，可判定C正確.
【詳解】由不等式，可得且，即，
對(duì)于A中，由，所以，所以A正確；
對(duì)于B中，由，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以B正確；
對(duì)于C中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)?，所以等?hào)不成立，即1，所以C正確；
對(duì)于D中，由，可得，則，所以，所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
26．（2024·北京西城·二模）在數(shù)列中，，．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；
②存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；
③存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】②③
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求出，用差比較法可判定各選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于①：由，，可得，
又，當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?，所以時(shí)，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：，又，
結(jié)合①的結(jié)論時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，，故②正確；
對(duì)于③：，
，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，故③正確；
故答案為：②③.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出，根據(jù)遞推關(guān)系分析出當(dāng)時(shí)，進(jìn)而判定①，利用差比較法結(jié)合結(jié)論①可判定②③.
27．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．
(1)試比較與的大?。?br>(2)若恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)答案見詳解
(2)
【分析】（1）因?yàn)?，?gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合分析判斷；
（2）構(gòu)建，原題意等價(jià)于在內(nèi)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分類討論的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則有：
若，則，即；
若，則，即；
若，則，即.
（2）若恒成立，則，
構(gòu)建，
原題意等價(jià)于在內(nèi)恒成立，
則，
1.若，則
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則，不符合題意；
2.若，則有：
（ⅰ）若，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，符合題意；
（ⅱ）若時(shí)，令，解得或，
①若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意；
②若，即時(shí)，則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題意；
③若，即時(shí)，則，
由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，
則，
可得，不合題意；
綜上所述：的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．
28．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知且.
(1)若，設(shè)，比較和的大小;
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作差后因式分解即可得；
（2）借助基本不等式與三元基本不等式即可得.
【詳解】（1），
由且，故，故；
（2）由，故，又，故，，
則有，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
考點(diǎn)5作商法比較代數(shù)式的大小
29．【多選】（2021·廣東肇慶·一模）下列大小關(guān)系正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A、B，利用作差法可判斷選項(xiàng)C，利用作商法可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確答案.
【詳解】由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?，所以，選項(xiàng)A不正確；
因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)?，所以，?br>所以，所以，故選項(xiàng)C不正確；
因?yàn)?，?br>所以，
所以，故選項(xiàng)D正確，
故選：BD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟悉指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，記住同一直角坐標(biāo)系中它們的圖象，當(dāng)時(shí)，另外代數(shù)式比較大小可以用作差法與0比較大小，同號(hào)的可以利用作商法與1比較大小，變形的過程很靈活，屬于?？碱}型.
30．（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與的大小，再作商比較的大小即可得解.
【詳解】，
，而
而，因?yàn)?，所以?br>所以，故，
所以.
故選：B
31．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若，則有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題意首先得，進(jìn)一步，從而我們只需要比較的大小關(guān)系即可求解，兩式作商結(jié)合基本不等式、換底公式即可比較.
【詳解】，所以，
，
又因?yàn)椋?br>所以，即.
故選：B.
32．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足且成等比數(shù)列，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，通過求導(dǎo)可得到，再通過正數(shù)成等比數(shù)列，可得到，利用作商法可得到即，即可得到答案
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，故，
因?yàn)檎龜?shù)成等比數(shù)列，所以即，故，
所以，故，
綜上所述，，
故選：D
33．（2020·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，并對(duì)選項(xiàng)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化，判斷對(duì)錯(cuò)即可.
【詳解】解：選項(xiàng)A中，由于，所以成立；故A正確；
選項(xiàng)B中，，，與大小不能確定，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C中，由于，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D中，令，則，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.
34．（2023·四川資陽·一模）已知，，下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)及作差（作商）法判斷即可.
【詳解】解：因?yàn)?，?br>對(duì)于A：指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：顯然，，且，
，，，，，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，所以，，，
故，故D正確，
故選：D．
35．【多選】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知,,則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】?jī)墒狡椒皆僮鞑?利用基本不等式即可得大小關(guān)系,進(jìn)而得選項(xiàng)A,B正誤,兩式相除,由于,將分子分母同時(shí)除以,再利用基本不等式即可求出其范圍.
【詳解】解:由題知,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,
因?yàn)?所以,
即,故,
即選項(xiàng)A錯(cuò)誤,選項(xiàng)B正確;
因?yàn)?
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等,
所以可得,
故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選:BC
36．【多選】（2021·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由于已知得，即利用基本不等式可判斷A；由，可判斷B；令，，，可判斷C，D．
【詳解】由于，且，所以，所以，且，，，A正確；
因?yàn)椋?，B正確；
令，，，則，，C，D錯(cuò)誤．
故選；AB．
【點(diǎn)睛】本題考查了比較大小，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是由已知得出，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.
考點(diǎn)6由不等式的性質(zhì)證明不等式
37．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（1）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，求證：．
（2）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：．
【答案】（1）證明見解析 ；（2）證明見解析 ．
【分析】（1）（2）根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可證明.
【詳解】（1）因?yàn)?，a，b為正實(shí)數(shù)，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．
（2）由（1），得．
同理，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．
38．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知．證明：
(1)當(dāng)時(shí)，；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知可得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合一元二次不等式的解法即可得證；
（2）由，得，再結(jié)合基本不等式即可得證.
【詳解】（1）證明：由，
等式兩邊同時(shí)除以，得，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，得，又，所以；
（2）證明：由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以．
39．（21-22高三·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿足．
(1)若，求證：；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)不等性質(zhì)變形證明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）證明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
（2）解：由且，得，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
40．（2023·河北衡水·三模）已知實(shí)數(shù)a、b滿足a2+b2-ab＝3．
（1）求a-b的取值范圍；
（2）若ab＞0，求證：．
【答案】（1）﹣2≤a﹣b≤2；（2）證明見解析．
【解析】（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．
①當(dāng)ab≥0時(shí)，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；
②當(dāng)ab＜0時(shí)，3+ab≥﹣2ab，解得 ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，
得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；
（2）由（1）知0＜ab≤3，可得，
利用配方法即可容易證明.
【詳解】（1）因?yàn)閍2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．
①當(dāng)ab≥0時(shí)，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；
②當(dāng)ab＜0時(shí)，3+ab≥﹣2ab，解得 ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，
所以﹣1≤ab≤3，則0≤3﹣ab≤4，
而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，
所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；
（2）由（1）知0＜ab≤3，
因?yàn)?br>當(dāng)且僅當(dāng)ab＝2時(shí)取等號(hào)，
所以．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式的證明，屬于中檔題．
41．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且．
（1）請(qǐng)給出的一組值，使得成立；
（2）證明不等式恒成立．
【答案】（1）（答案不唯一）（2）證明見解析
【解析】（1）找到一組符合條件的值即可；
（2）由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時(shí)加可得,即可得證.
【詳解】解析:（1）（答案不唯一）
（2）證明:由題意可知,,因?yàn)?所以.
所以,即.
因?yàn)?所以,
因?yàn)?所以,
所以.
【點(diǎn)睛】考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.
42．（2023·河南平頂山·一模）（1）解不等式 ；
（2）已知 、 ，求證：
【答案】(1) 或 或 (2)見解析
【詳解】 試題分析：（1）把原不等式化簡(jiǎn)為等價(jià)不等式，即可額牛街不等式的解集；
（Ⅱ）由 、 是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差比較，即可作出證明．
試題解析：
（1）原不等式可化為
繼續(xù)化為 ，其等價(jià)于 ．
∴原不等式的解為 或 或 ．
（Ⅱ）由 、 是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差可得：

當(dāng) 時(shí)， ，從而 ，得；
當(dāng) 時(shí)， ，從而 ，得；
所以， ．
考點(diǎn)7利用不等式求值或取值范圍
43．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由可得，所以，
故答案為：
44．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知，則以下錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值排除法逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?
對(duì)于A，，,,
綜上可得，故A正確；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；
故選：D.
45．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>所以.
故選：D.
46．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，變形求解.
【詳解】，兩式相乘得，所以，A正確；
由題得，又，兩式相乘得，所以，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以兩式相乘得，C正確；
因?yàn)?，所以兩式相乘得，D錯(cuò)誤．
故選：AC
47．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若，，，則的取值范圍為
【答案】
【分析】利用不等式的性質(zhì)運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：設(shè)，則，
解得：，，則，
而由，可得，
再由，可得，
所以，
即，可得.
故答案為：.
48．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）新高考改革后，生物，化學(xué)，政治，地理采取賦分制度：原始分排名前的同學(xué)賦分分．若原始分的最大值為，最小值為，令為滿足， 的一次函數(shù)．對(duì)于原始分為的學(xué)生，將的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分.已知小趙原始分，賦分；小葉原始分，賦分；小林原始分，他的賦分是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】由題意設(shè)，再根據(jù)賦分原理，列出和的范圍，并表示，根據(jù)不等式，即可求解.
【詳解】設(shè)，，，
，
∴，.
∴賦分是或.
故選：D.
考點(diǎn)8糖水不等式
49．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，能恰當(dāng)表示這一事實(shí)的不等式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知：在糖水中加入糖后，糖水濃度變大了，所以糖水變甜了.
【詳解】原糖水的濃度為，加入糖后糖水的濃度為，加入糖后糖水濃度變大了，
所以.
故選：D
50．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了．將這一事實(shí)表示成一個(gè)不等式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】糖水變甜，表示糖的濃度變大，代入數(shù)據(jù)得到答案.
【詳解】糖水變甜，表示糖的濃度變大，即.
故選：B.
51．【多選】（2021·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據(jù)這個(gè)事實(shí)，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】依題意得到，再根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可；
【詳解】對(duì)于A，由題意可知，正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，正確；
對(duì)于C，即，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，正確.
故選：ABD
52．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為，這個(gè)質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，從而可抽象出不等式(，)數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并寫出上述結(jié)論所對(duì)應(yīng)的一個(gè)糖水不等式 .
【答案】
【分析】根據(jù)題中糖水不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行解題即可.
【詳解】空1：因?yàn)?，所以可得?br>；
空2：由空1可得：，即.
故答案為：；
53．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.
(1)請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立；
(2)在銳角中，根據(jù)（1）中的結(jié)論，證明：.
【答案】(1)若，則；證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）用作差比較法即可；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論即可證明.
【詳解】（1）若，則.
證明：.
因?yàn)?，所以，又，故?br>因此.
（2）在銳角三角形中，由（1）得，
同理，
.
以上式子相加得.
54．（22-23高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中一種最基本的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決下列生活中的兩個(gè)問題：
(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式
(2)甲每周都要去超市購買某種商品，已知第一周采購時(shí)價(jià)格是p1，第二周采購時(shí)價(jià)格是p2.現(xiàn)有兩種采購方案，第一種方案是每次去采購相同數(shù)量的這種商品，第二種方案是每次去采購用的錢數(shù)相同.哪種采購方案更經(jīng)濟(jì)，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)，證明見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式，然后用作差法證明即可；
（2）根據(jù)題意表示出來每種方案的平均價(jià)格，然后用作差法比較大小，即可判斷哪種方案經(jīng)濟(jì).
【詳解】（1）該不等式為
證明：因?yàn)?，所以，于?
（2）若按第一種方案采購，每次購買量為，則兩次購買的平均價(jià)格為，
若按第二種方案采購，每次用的錢數(shù)是，則兩次購買的平均價(jià)格為，
又 ，
所以當(dāng)時(shí)，兩種方案一樣；
當(dāng)時(shí)，第二種方案比較經(jīng)濟(jì).
考點(diǎn)9不等式的實(shí)際應(yīng)用
55．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.某次出行，劉先生全程需要加兩次油，由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油時(shí)燃油的價(jià)格為5元/升，第二次加油時(shí)燃油的價(jià)格為4元/升，請(qǐng)計(jì)算出每種加油方案的平均價(jià)格（平均價(jià)格總價(jià)格總升數(shù)）；
(2)分別用m，n（）表示劉先生先后兩次加油時(shí)燃油的價(jià)格，請(qǐng)計(jì)算出每種加油方案的平均價(jià)格，選擇哪種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算？并給出證明.
【答案】(1)方案一元升；方案二元升
(2)方案二比較經(jīng)濟(jì)劃算，證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，由平均價(jià)格的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由平均價(jià)格的計(jì)算公式，代入計(jì)算，然后作差，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）第一種方案，兩次加油共花費(fèi)元，兩次共加了升燃油，
所以平均價(jià)格為元升；
第二種方案，兩次加油共花費(fèi)元，兩次共加了升燃油，所以平均價(jià)格為元升；
（2）由題意可得，第一種方案，兩次加油共花費(fèi)元，兩次共加了升燃油，所以平均價(jià)格為元升；
第二種方案，兩次加油共花費(fèi)元，兩次共加了升燃油，所以平均價(jià)格為元升；
且，所以選擇第二種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算.
56．（2022·上海浦東新·二模）某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進(jìn)行抗病毒實(shí)驗(yàn)．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時(shí)間（小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．當(dāng)每毫升血液含藥量不低于4微克時(shí)，該藥能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒藥，多長(zhǎng)時(shí)間后該藥能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次實(shí)驗(yàn)：先給小白鼠服用1粒藥，6小時(shí)后再服用1粒，請(qǐng)問這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為多少小時(shí)？
【答案】(1)小時(shí)
(2)小時(shí)
【分析】（1）根據(jù)，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值要不低于4，分段求解即可.
【詳解】（1）設(shè)服用1粒藥，經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，
即血液含藥量須不低于4微克，可得，
解得，
所以小時(shí)后該藥能起到有效抗病毒的效果．
（2）設(shè)經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；
若，藥物濃度，
解得，
若，藥物濃度，
化簡(jiǎn)得，所以；
若，藥物濃度，
解得，所以；
綜上，
所以這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為小時(shí)．
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