2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-數(shù)列題型解答題專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
（1）求，；
（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.
答案：（1）；
（2）數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，所以.
當(dāng)時(shí)，，所以.
（2）由，得，所以，所以.
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列.
2．設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和且，所有項(xiàng)，且.
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，解得或(舍去).
當(dāng)時(shí)，，
所以，
因?yàn)?，所?
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）知.
3．在數(shù)列中,,,.
（1）設(shè),求證：數(shù)列是等比數(shù)列;
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
答案：（1）見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）證明：
又
數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列;
（2）由（1）可知,即,
.
4．在數(shù)列中,,點(diǎn)在直線上.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
答案：（1）
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）依題意,,即,因此數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列,則,
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）得,
則,
于是,
兩式相減得,
所以.
5．已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,,成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若不等式對(duì)任意的都成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
答案：（1）
（2）.
解析：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d,
由題意,,解得,
所以;
（2）由（1）,
所以,
易知是遞增的且,不等式對(duì)任意的都成立,則,所以.
6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
答案：（1）
（2）或
解析：（1）
當(dāng)時(shí),,即
當(dāng)時(shí),由,
故,得.
易見(jiàn)不符合該式,故
（2）由,易知遞增;
當(dāng)時(shí),.
從而.
又由,故,解得或
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為或
7．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,是公差為的等差數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè),求的前2n項(xiàng)和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）由是公差為的等差數(shù)列,且,則,
即,當(dāng)時(shí),,兩式相減可得：,
整理可得,故,
將代入上式,,故的通項(xiàng)公式為.
（2）由,則.
8．已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,,數(shù)列中.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列滿足,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,由,得,
而,解得,于是,
由,得,
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）由（1）知,,顯然數(shù)列是等差數(shù)列,,
,
所以.
9．已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為,滿足,.數(shù)列滿足,,.
（1）求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè)數(shù)列滿足,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
答案：（1）見(jiàn)解析
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d,,
解得,,.
,,且,所以是等比數(shù)列,
,
（2）,
10．已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的首項(xiàng)為2,,.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,求數(shù)列(其中)前n項(xiàng)和的最小值.
答案：（1）
（2）最小值為
解析：（1）因?yàn)?
所以有,而,,
所以,則,
又,,∴,由等差數(shù)列定義知數(shù)列是以2為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列.
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）有,,
令,有;,有;,有.
所以前n項(xiàng)和的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng),3時(shí)取到.
11．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,等比數(shù)列滿足,.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）求的前n項(xiàng)和.
答案：（1）
（2）當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
解析：（1）當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),
,
因?yàn)檫m合上式,
所以.
（2）由（1）得,,
設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則,解得,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),.
12．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和.已知.
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值.
答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）或13時(shí)，取得最小值，最小值為-78
解析：（1）由，得，①
所以，②
②-①，得，
化簡(jiǎn)得，
所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）知數(shù)列的公差為1.
由，得，
解得.
所以，
所以當(dāng)或13時(shí)，取得最小值，最小值為-78.
13．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.
（1）求，.
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.
（3）已知，求證：.
答案：（1），
（2）證明見(jiàn)解析
（3）證明見(jiàn)解析
解析：（1）由數(shù)列的遞推關(guān)系，知，.
（2）.
因?yàn)?，所以?shù)列的各項(xiàng)均不為0，
所以，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
（3）由（2）知.
所以
.
14．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.
答案：（1）
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，
又因?yàn)閿?shù)列的公比為2，所以，
即，解得，所以.
（2）由（1）知，則，
所以，①
，②
①-②得
.
所以.
又因?yàn)椋?br>所以是遞增數(shù)列，所以，所以.
15．在①，②，③，，成等比數(shù)列這三個(gè)條件中選擇符合題意的兩個(gè)條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解.
已知數(shù)列中，，，公差不等于0的等差數(shù)列滿足__________，__________求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
答案：選①②；選②③
解析：因?yàn)椋?，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.
方案一：選①②.
設(shè)數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?，所?
因?yàn)椋詴r(shí)，，
解得，，
所以，所以，滿足，
所以，
所以，
所以，
兩式相減，得，
所以.
方案二：選②③.
設(shè)數(shù)列的公差為d，
因?yàn)椋?，?
因?yàn)椋?，成等比?shù)列，
所以，即，
化簡(jiǎn)得.
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>所以，
所以，
兩式相減，得，
所以.
方案三：選①③.
設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以時(shí)，，所以.又，，成等比數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所以，此式與矛盾.所以等差數(shù)列不存在，故不符合題意.

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