江蘇省泰州中學2022~2023學年度第二學期期中考試高一數(shù)學試題（考試時間：120分鐘  總分：150分）命題人：    審題人：一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將答案填涂到答題卡相應區(qū)域.）1. 在中，內角的對邊分別為，若，則（    ）A.  B.  C. 5 D. 6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦定理計算直接得出結果.【詳解】由余弦定理可得，所以.故選：A.2. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由二倍角公式即可得到結果.【詳解】因為.故選:C3. 向量在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則（    ）A.  B. 4 C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】將，，平移至同一個起點并構建直角坐標系，寫出相關向量的坐標，再應用向量數(shù)量積的坐標表示求.【詳解】將，，平移至同一個起點位置，如下圖點位置，建立直角坐標系，則，所以.故選：A4. 已知都是銳角，且，，則（        ）A.  B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先求，，然后求的值，根據(jù)為銳角求出的值．【詳解】因為都是銳角，且，所以 又故選B.【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查計算能力，是基礎題．5. 設非零向量，滿足，，，則在上的投影向量為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由，求得，再利用投影向量的定義求解.【詳解】解：因為，，，所以 ，解得，所以 在上的投影向量為，故選：C6. 中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為37，在地面上點處（，，三點共線）測得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為30°和45°，在處測得樓頂部的仰角為15°，則鸛雀樓的高度約為（    ）A. 64 B. 74 C. 52 D. 91【答案】B【解析】【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出m，從而得到的長度.【詳解】因為中，⊥，m，，所以m，因為中，⊥，，所以，由題意得：，故，在中，由正弦定理得：，即，故m，故m故選：B7. 已知平面向量，對任意實數(shù)都有，成立.若，則的最大值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設，根據(jù)題意得到在以為直徑的圓周上，過點作，得到，設，求得，進而得到，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】如圖所示，設，則，若對任意的實數(shù)都有且成立，即對任意的實數(shù)都有且成立，即成立，所以在以為直徑的圓周上，設圓心為，過點作，交于點，交圓于點，可得向量在上的射影長為，所以，設，其中，且，則，所以，所以，，，當時，取得最大值，最大值為.故選：B.8. 在中，內角，，，.若對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設，則，并確定的取值范圍，再由關于的一元二次不等式恒成立，求出間的不等量關系，利用的取值范圍，即可求出結果.【詳解】在中，，記，則，因為，所以，，從而，所以可化為，即恒成立，所以依題有，化簡得，即得恒成立，又由，得或.故選：D．【點睛】方法點睛：本題主要是轉化為一元二次不等式恒成立的問題，考查同角間的三角函數(shù)關系，考查不等式的關系，屬于較難題.
 二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.請將答案填涂到答題卡相應區(qū)域.）9. 下列各式中，值為的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】熟練掌握二倍角公式 ， ，根據(jù)題中式子特點，選擇公式計算即可.【詳解】A.；B. ；C. ；D. .故選：BCD10. 已知，，其中，為銳角，則以下命題正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關系式和兩角和與差的余弦公式和積化和差公式即可求解.【詳解】因為 ( 為銳角), 故 , 故 正確; 因為 , 所以 , 故 B 錯誤; 由 , 故 , 故 C 正確; 且 , 所以 , 故 D 錯誤.故選: AC.11. 在中，，，，則下列結論正確的是（    ）A. 外接圓面積為 B. 若，則C. 的面積有最大值 D. 若有一解，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理，面積公式，基本不等式，二次方程的根的分布即可求解.【詳解】在 中, 由 , 得 ,
由正弦定理可得, , 即 3 , 可得 外接圓面積為 , 故 正確;
若 , 則 , 得 , 或 , 故B錯誤；
由余弦定理可得, B,
即 ,
得 , 當且僅當 時取等號,
則的面積有最大值為 , 故C正確;
由 , 得 , 方程的判別式，①，解得=.當時，=0轉化為=0，解得=符合題意；當時=0轉化為=0，解得=不符合題意；② 0且兩根之積 , 可得 有一正根和一負根, 負根舍去，此時 有一解，此時，③ 0且兩根之積 , 解得=，當時，=0，解得=符合題意；當時=0，解得=不符合題意；故若有一解，則或，故D錯誤.
故選：AC.12. 重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形，其中，，動點在上（含端點），連接交扇形的弧于點，且，則下列說法正確的是（    ）A. 若，則 B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】建立平面直角系，表示出相關點的坐標，設，可得，由，結合題中條件可判斷A，B，表示出相關向量的坐標，利用數(shù)量積的運算律，結合三角函數(shù)的性質，可判斷C，D.【詳解】如圖，作，分別以，為，軸建立平面直角坐標系，則，設，則，由可得，，且，若，則，，所以，，所以，故A錯誤；由，，所以，因為，所以，所以，所以，故B正確；由于，故，而，所以，所以，故C正確，，由于，故，故，故D錯誤；故選：BC三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.）13. 已知，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可求出結果.【詳解】因為，所以.故答案為：.14. 已知，為非零不共線向量，向量與共線，則______.【答案】【解析】【分析】依題意，可以作為平面內的一組基，則，根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因為，為非零不共線向量,所以，可以作為平面內的一組基底,又向量與共線，所以，即，所以，解得.故答案為：15. 設，若，則______.【答案】【解析】【分析】首先求出，再由二倍角公式求出，，最后由兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】因為，，所以，所以，，所以.
故答案為：16. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，點P是的重心，且，則___________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換可得或，利用重心的性質、模的性質及數(shù)量積得運算，可建立關于的方程，求解后利用余弦定理求a即可.【詳解】，整理得，解得或（舍去），或.又∵點P是的重心，，整理得.當時，，得，此時，解得；當時，，得，此時，解得.故答案為：或【點睛】本題主要考查了三角恒等變換，向量的數(shù)量積運算法則、性質，余弦定理，屬于難題.四、解答題：（本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17 已知向量，（1）當，求的值；（2）當，，求向量與的夾角【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算，以及向量垂直的坐標表示即可求解，（2）根據(jù)向量平行的坐標關系可求，進而根據(jù)向量夾角公式即可求解．【小問1詳解】因為向量，，所以，由得，即，即，整理得，解得或，所以或.【小問2詳解】因為，，所以，由，可得，解得，所以，，所以，又，所以．18. 若，均為銳角，且.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)基本關系式和二倍角的正切公式即可求解；（2）根據(jù)兩角差的余弦公式以及三角恒等變換即可求解.【小問1詳解】，均為銳角，且，所以；所以，故；【小問2詳解】由于，均為銳角，所以，由于，所以；.19. 的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，，求的面積.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）應用正弦定理邊角關系及三角恒等變換得，再由三角形內角性質、誘導公式得，進而確定角的大??；（2）根據(jù)余弦定理求c，再應用三角形面積公式求面積即可.小問1詳解】因為，結合正弦定理邊角關系，所以，整理得，因為，所以，又，所以.【小問2詳解】因為，所以，即，解得，所以的面積為.20. 設是邊長為4的正三角形，點、、四等分線段（如圖所示）.（1）求的值；（2）為線段上一點，若，求實數(shù)的值；（3）在邊的何處時，取得最小值，并求出此最小值.【答案】（1）26    （2）    （3）在處時，取得最小值.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算和向量數(shù)量積的定義；（2）根據(jù)平面向量基本定理即可求解；（3）根據(jù)向量的數(shù)量積的定義和向量的加法即可求解.【小問1詳解】∵是邊長為4的正三角形，點、、四等分線段，∴；【小問2詳解】設，又，根據(jù)平面向量基本定理解得；【小問3詳解】設，，∴，又，∴當時，即在處時，取得最小值.（本題也可以建系來解題）21. 如圖，某小區(qū)有一塊空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小區(qū)物業(yè)擬在中間挖一個小池塘，E，F在邊BC上（E，F不與B，C重合，且E在B，F之間），且.（1）若，求EF的值；（2）為節(jié)省投入資金，小池塘的面積需要盡可能的小.設，試確定的值，使得的面積取得最小值，并求出面積的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理結合三角恒等變換可求，即可得結果；（2）利用正弦定理用表示，再結合條件得到，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質求最值即可.【小問1詳解】由題意可得，設，則，在中，由余弦定理，則，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.【小問2詳解】設，則，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面積，∵，∴，∴，∴，當且僅當，即時，等號成立，故面積的最小值.22. 如圖，設中角，，所對的邊分別為，，，為邊上的中線，已知且，.（1）求邊的長度；（2）求的面積；（3）點為上一點，，過點的直線與邊，（不含端點）分別交于，.若，求的值.【答案】（1）4    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)和正弦定理可得，由余弦定理可得，進而，即可求解；（2）設，根據(jù)平面向量的線性運算可得，則結合數(shù)量積的運算律和定義可得，由得，化簡得，利用同角三角函數(shù)關系和三角形面積公式計算即可求解；（3）設，，、.由向量的線性運算可得.結合得，解得，，利用三角形面積公式計算即可求解.【小問1詳解】由題意得：，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理，所以，得，又∵，∴.【小問2詳解】設，∵AD為邊上的中線，∴，則，，，①整理得，即，得或，由①，得，∴，∴，∴，∴.【小問3詳解】由（2）知，，D為BC的中點，則，設，，、.所以，得，又E、G、F三點共線，所以，即.由，得，又，所以，化簡得，解得，，∴，，∴.
 

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