2024.11
本試卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考場、座號、姓名、班級填（涂）寫在答題卡上，將條形碼粘貼在“貼條形碼區(qū)”．
2．做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標(biāo)號．
3．非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡中各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．否則，該答題無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔；書寫要求字體工整，符號規(guī)范，筆跡清楚．
一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)求出集合，再求出集合，最后根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】由可得，解得或，
所以，
又，則，所以，
所以，所以.
故選：D
2. 若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，故?br>故選:A
3. 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)定義求解，使用二倍角公式求解.
【詳解】由三角函數(shù)的定義有：，
所以；
故選：D.
4. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)B. 是奇函數(shù)
C. 是奇函數(shù)D. 是偶函數(shù)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)，利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)直接判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以令，可得，
令，則，
所以，
則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，
且，
所以是奇函數(shù).
故選：C
5. 向量，，則在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算得解.
【詳解】由題意可知，在上的投影向量為：.
故選：C.
6. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)求值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
即，
故選：B.
7. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性可判斷的大小關(guān)系，利用可得，結(jié)合兩邊取對數(shù)可得的大小關(guān)系，即可得答案.
【詳解】因?yàn)?，故，即?br>又，即，故，
即，即，
故選：D
8. 如圖，在中，，，，若為圓心為的單位圓的一條動直徑，則的最大值是（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三角恒等變換求解即可.
【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸，
如圖所示：
則，
設(shè)，則，
所以，
所以
，
其中(為第二象限角)，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，為2.
即的最大值為2.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 命題“，”的否定形式是“，”
B. 當(dāng)時(shí)，的最小值為4
C.
D. “（）”是“（）”的必要不充分條件
【答案】AC
【解析】
【分析】寫出命題“，”的否定形式判斷選項(xiàng)A；求得當(dāng)時(shí)，的最小值判斷選項(xiàng)B；求得的值判斷選項(xiàng)C；求得“（）”與“（）”的邏輯關(guān)系判斷選項(xiàng)D.
【詳解】選項(xiàng)A：命題“，”的否定形式是
“，”判斷正確；
選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，令，
則在單調(diào)遞減，最小值為5，
則當(dāng)時(shí)，的最小值為5.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：由，
可得.判斷正確；
選項(xiàng)D：（），
可化為或或或（），
故“（）”是“（）”的充分不必要條件.判斷錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C. 函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長度后，所得的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是
D. 若實(shí)數(shù)使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、奇偶性以及圖像問題逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】，
對于A，令，則，
所以對于函數(shù)，時(shí)，有增有減，A錯(cuò)；
令，則，B正確；
對于C，平移后，得，若圖象關(guān)于軸對稱，
則，，C正確；
因?yàn)椋鞒鰣D像如下圖所示，

由與有且只有三個(gè)交點(diǎn)，所以，
又因?yàn)闀r(shí)，且關(guān)于直線對稱，
所以，D正確.
故選：BCD
11. 設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，且，（），則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.
B. 數(shù)列為等差數(shù)列
C. 當(dāng)時(shí)，有最大值
D. 設(shè)，則當(dāng)或時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，由和的關(guān)系，求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，進(jìn)行判定；對于B，由等差數(shù)列求和公式求出，由定義判斷是否為等差數(shù)列；對于C，借助二次函數(shù)性質(zhì)判定；對于D，由的正負(fù)判定正負(fù)，即可判定最值.
【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，解得或，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，由，得，，
所以，
整理得，
因?yàn)?，所以，即?br>所以數(shù)列an是首項(xiàng)為19，公差為的等差數(shù)列，
所以，故A錯(cuò)誤；
對于B，由A可知，，
所以，
所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為19，公差為的等差數(shù)列，故B正確；
對于C，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故C正確；
對于D，由，得，
由，得，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，?br>所以當(dāng)或時(shí)，數(shù)列bn的前項(xiàng)和取最大值.故D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，都是正數(shù)，且，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，從而得，利用基本不等式求解即可.
【詳解】解：因?yàn)?，都是正?shù)，且，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
將，代入，得時(shí)，等號成立.
故答案為：
13. 已知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，得到在區(qū)間上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，且趨向正無窮時(shí)，趨向正無窮，
所以在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上恒成立，
設(shè)，可得，
因?yàn)?，，可得，所以?br>所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，，則的對稱中心為______；若（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用中心對稱的定義求出圖象的對稱中心，利用函數(shù)的對稱性及倒序相加法求出通項(xiàng).
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，
由，得，
則，
因此函數(shù)圖象的對稱中心是；
由，得，當(dāng)時(shí)，，
，
，
于是，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：；
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知在中，角，，，所對的邊分別為，，，．
（1）求角；
（2）過點(diǎn)作，連接，使，，，四點(diǎn)組成四邊形，若，，，求長．
【答案】（1）
（2）或2．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角即可求解；
（2）利用余弦定理來求解邊邊角三角形，得到兩解.
【小問1詳解】
由，結(jié)合由正弦定理邊化角可得，
故，而，
所以，又B∈0,π，所以．
【小問2詳解】
在中，,由正弦定理可得，
因?yàn)?，所以，即?br>在中，因?yàn)?，所以為銳角，所以，
又因?yàn)椋?，結(jié)合定理可得．
解得或．
16. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（）.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用條件，再寫一式，兩式相減，可證得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求出，再將題意轉(zhuǎn)化為可得，記，求出的最大值，即可得出答案．
【小問1詳解】
由，可得，
兩式相減可得：，所以，
令，可得，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.
【小問2詳解】
，．
可得，則，
兩式相減得：
，所以，
因，則，
原題意等價(jià)于關(guān)于的不等式恒成立，可得，
記，
令，則，解得或3，
則，即當(dāng)或時(shí)，取到最大值，
可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．
17. 已知函數(shù)

（1）請?jiān)诰W(wǎng)格紙中畫出的簡圖，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（無需證明）；
（2）定義函數(shù)在定義域內(nèi)的，若滿足，則稱為函數(shù)的一階不動點(diǎn)，簡稱不動點(diǎn)；若滿足，則稱為函數(shù)的二階不動點(diǎn)，簡稱穩(wěn)定點(diǎn).
①求函數(shù)的不動點(diǎn)；
②求函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).
【答案】（1）作圖見解析，單增區(qū)間為，，的單減區(qū)間為
（2）①；②，和1.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像寫出單調(diào)區(qū)間.
（2）結(jié)合分段函數(shù)解析式，由不動點(diǎn)，穩(wěn)定點(diǎn)的定義計(jì)算分析求解.
【小問1詳解】
的單增區(qū)間為-1,0，0,+∞，的單減區(qū)間為.
【小問2詳解】
易知
①當(dāng)時(shí)，，令得，解得；
當(dāng)時(shí)，，令得，解得（舍）
綜上所述：函數(shù)的不動點(diǎn)為.
②當(dāng)時(shí)，，且，
則
令得，，解得或（舍）；
當(dāng)時(shí)，，且，
則
令，得，解得；
當(dāng)時(shí)，，且，
則，
令，得，解得或（舍）
綜上所述：函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)有3個(gè)，分別是，和1.
18. 摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號為1～48號的48個(gè)座艙．開啟后摩天輪按照逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要．

（1）求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求為何值時(shí)高度差最大．
（參考公式：，）
【答案】（1），．
（2），；或
【解析】
【分析】（1）據(jù)題意，設(shè)，由條件確定的值；
（2）由題意，1號與9號座艙的角度差為，不妨假設(shè)1號座艙出發(fā)早于9號座艙，時(shí)1號與9號的高度分別為，，進(jìn)而求出高度差，由余弦函數(shù)性質(zhì)即可求.
【小問1詳解】
設(shè)，則，
令時(shí)，則，，
又，解得，
所以，．
【小問2詳解】
由題意得：1號與9號座艙的角度差為．
不妨假設(shè)1號座艙出發(fā)早于9號座艙，時(shí)1號與9號的高度分別為，，
則，，
所以高度，
由參考公式得，上式
從而高度差，；
當(dāng)，即，時(shí)，解得，，
又，所以或，此時(shí)高度差的最大值為．
19. 已知 ，函數(shù)，.
（1）當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若，求證：.
【答案】（1）1 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分別對，求導(dǎo)，討論和，得出和的單調(diào)性，即可求出，的極小值，即可得出答案.
（2）令，由可得，要證 ，不妨設(shè)，所以只要證，令，，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可證明.
小問1詳解】
，定義域均為，
，
當(dāng)時(shí)，則，在單調(diào)遞增，無極值，與題不符；
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
又，
當(dāng)時(shí)：，在單調(diào)遞減，無極值，與題不符；
當(dāng)時(shí)：令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
由題：，解得：.
【小問2詳解】
令，因?yàn)?，所以?br>由可得：，
（1）-（2）得：，所以，
要證： ，只要證： ，只要證：
不妨設(shè)，所以只要證：，
即證：，令，只要證：，
令， ，
所以在上單調(diào)遞增，
， 即有成立，所以成立.

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