1．（2022秋·福建廈門·九年級(jí)廈門外國語學(xué)校?？计谀┎坏仁浇M的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·廣西貴港·七年級(jí)?？计谀┪覈糯鳌毒耪滤阈g(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足．”其大意是：“今有人合伙買豬，每人出100錢，則會(huì)多出100錢；每人出90錢，恰好合適．”若設(shè)共有x人，根據(jù)題意，可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下表是2023年1月的月歷，用一個(gè)方框任意框出4個(gè)數(shù)a，b，c，d．若的值為65，那么a的值是（ ）
A．19B．20C．21D．22
4．（2022秋·江西吉安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列一元二次方程中，根是的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·湖南岳陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則a的值為（ ）
A．2B．C．0D．1
6．（2022秋·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）隨著新冠疫苗的全民接種，疫苗需求仍存在較大缺口，某制藥公司引進(jìn)一條新冠疫苗生產(chǎn)線，開工第一天生產(chǎn)疫苗盒，第三天生產(chǎn)疫苗盒，若每天的增長率相同，求每天的增長率是多少？設(shè)每天的增長率是，則可列方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022秋·陜西咸陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義運(yùn)算“*”，規(guī)定（其中為常數(shù)），若已知，則的值為（ ）
A．10B．9C．8D．7
8．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）一家游泳館的游泳收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為30元/次，若購買會(huì)員年卡，可享受如下優(yōu)惠：例如，購買A類會(huì)員卡，一年內(nèi)游泳20次，消費(fèi)元，若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于45—55次之間，則最省錢的方式為（ ）
A．購買A類會(huì)員年卡B．購買B類會(huì)員年卡
C．購買C類會(huì)員年卡D．不購買會(huì)員年卡
9．（2022秋·安徽合肥·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長為x的兩個(gè)正方形靠邊各放置兩個(gè)邊長為a，b的長方形，然后分別以，構(gòu)造兩個(gè)大正方形，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可求得x的值是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若分式方程無解，則a的值是（ ）
A．B．1C．0D．或1
11．（2022秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，以的速度沿向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從C出發(fā)，以的速度沿著CD向D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止．則的長為時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（ ）
A． B． C．或D．
12．（2022秋·河北保定·八年級(jí)校考期末）已知關(guān)于x，y的方程組，下列結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，方程組的解也是的解；
②無論a取何值，x，y不可能互為相反數(shù)；
③x，y都為自然數(shù)的解有4對(duì)；
④若，則．
其中不正確的有（ ）．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
13．（2022秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期中）配方法是代數(shù)計(jì)算或變形的常用方法之一，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在利用配方法解決問題的過程中，得到如下的結(jié)論：
①用配方法解方程，變形后的結(jié)果是；
②已知方程可以配成，那么可以配成；
③若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則；
④若可以配成形如的形式，則；
⑤用配方法可以求得代數(shù)式的最小值是1．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
14．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組有且只有19個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程＝1的解為非正數(shù)，則a的值是（ ）
A．﹣13或﹣12B．﹣13C．﹣12D．﹣13或﹣11
二、填空題（本題共4個(gè)小題；每個(gè)小題3分，共12分，把正確答案填在橫線上）
15．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）不等式的最大整數(shù)解是______．
16．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）有二把不同刻度的直尺a、b，同一把直尺上的刻度之間距離相等，小敏把這二把直尺如圖緊貼，并將兩把直尺上的刻度0互相對(duì)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)a尺的刻度36對(duì)準(zhǔn)著b尺上的刻度48，平行移動(dòng)a尺（平移過程中兩把直尺維持緊貼），使得a尺的刻度0對(duì)準(zhǔn)b尺的刻度4，則此時(shí)a尺的刻度21對(duì)準(zhǔn)b尺的上刻度是______．
17．（2022秋·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，則______．
18．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）對(duì)兩實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定，例如：，若，則的值為______．
三、解答題（本題共8道題，19-21每題6分，22-25每題8分，26題10分，滿分60分）
19．（2022春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：
(1)；
(2)．
20．（2022秋·全國·八年級(jí)期末）甲、乙兩人同時(shí)解方程組甲解題看錯(cuò)了①中的m，解得，乙解題時(shí)看錯(cuò)②中的n，解得，試求原方程組的解．
21．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍．
(2)若方程有一個(gè)根為，求的值和方程的另一個(gè)根．
22．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┘住⒁覂扇俗瞿撤N機(jī)械零件
(1)已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各做零件多少個(gè)？
(2)已知甲計(jì)劃做零件60個(gè)，乙計(jì)劃做零件100個(gè)，甲、乙的速度比為3：4，結(jié)果甲比乙提前20分鐘完成任務(wù)，求乙每小時(shí)做零件多少個(gè)？
23．（2022秋·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）模型與應(yīng)用
【數(shù)學(xué)模型】
在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸．用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要作用，借助圖直觀地表示很多與數(shù)相關(guān)的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
【問題解決】
（1）如圖1，在數(shù)軸上，點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的有理數(shù)分別為和4，點(diǎn)P、點(diǎn)Q為線段上兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)且．若點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，，求此時(shí)x的值．
【形成觀念】
（2） 如圖2，某地的高速口與動(dòng)車口水平距離為1千米，同向平行行駛的轎車和動(dòng)車在各自卡口同時(shí)出發(fā)．已知普通家庭轎車的長度是4米，行駛速度為120千米/小時(shí)；8組編的動(dòng)車長度為266米，行駛速度為200千米/小時(shí)．求動(dòng)車車頭追上轎車車尾到動(dòng)車車尾離開轎車車頭需要多少秒？
24．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）“改變生活，改變社會(huì)”，不一樣的手機(jī)給人們帶來了全新的體驗(yàn)，某營業(yè)廳現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)的手機(jī)出售，售出1部A型、2部B型手機(jī)共獲利1000元，售出2部A型、1部B型手機(jī)共獲利800元．
(1)求A、B兩種型號(hào)的手機(jī)每部利潤各是多少元？
(2)若營業(yè)廳再次購進(jìn)A、B兩種型號(hào)手機(jī)共20部，其中B型手機(jī)的數(shù)量不超過A型手機(jī)數(shù)量的，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)購買方案，使?fàn)I業(yè)廳銷售完這20部手機(jī)能獲得最大利潤，并求出這最大利潤．
25．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若整數(shù)a使得關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，且使得關(guān)于y的不等式組有解，那么符合條件的所有整數(shù)a的和是多少？
26．（2022秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）國慶節(jié)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A，B兩款保溫杯，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）
(1)網(wǎng)店第一次用1540元購進(jìn)A，B兩款保溫杯共50個(gè)，求兩款保溫杯分別購進(jìn)的個(gè)數(shù)；
(2)第一次購進(jìn)的保溫杯售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A，B兩款保溫杯共110個(gè)（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于3360元，則全部售完購進(jìn)的保溫杯，該網(wǎng)店可獲得的最大利潤是 元；
(3)國慶節(jié)過后，網(wǎng)店打算把B款保溫杯降價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4個(gè)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2個(gè)，那么將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款保溫杯平均每天銷售利潤為96元？
會(huì)員年卡類型
辦卡費(fèi)用（元）
每次游泳收費(fèi)（元）
A類
50
25
B類
200
20
C類
400
15
類別
價(jià)格
A款保溫杯
B款保溫杯
進(jìn)貨價(jià)（元/個(gè)）
35
28
銷售價(jià)（元/個(gè)）
50
40
綜合測試 方程（組） 與不等式（組）
一、選擇題（本大題共14個(gè)小題，每題2分，共28分，在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（2022秋·福建廈門·九年級(jí)廈門外國語學(xué)校?？计谀┎坏仁浇M的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出第一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解，確定不等式組的解集．
【詳解】解：解不等式，
得：，
又∵，
∴不等式組的解集為：．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·廣西貴港·七年級(jí)校考期末）我國古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足．”其大意是：“今有人合伙買豬，每人出100錢，則會(huì)多出100錢；每人出90錢，恰好合適．”若設(shè)共有x人，根據(jù)題意，可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)共有x人，根據(jù)豬的價(jià)格不變，列出方程即可．
【詳解】解：∵每人出90錢，恰好合適，
∴豬價(jià)為90x錢，
根據(jù)題意，可列方程為．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．解題是關(guān)鍵是找對(duì)等量關(guān)系，正確的列出方程．
3．（2022秋·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下表是2023年1月的月歷，用一個(gè)方框任意框出4個(gè)數(shù)a，b，c，d．若的值為65，那么a的值是（ ）
A．19B．20C．21D．22
【答案】A
【分析】根據(jù)月歷中左右兩個(gè)數(shù)差1上下兩個(gè)數(shù)差7，找到a、b、c、d的關(guān)系，再根據(jù)的值為65，求解即可．
【詳解】解：由題意可得：，，，
∴，
解得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了月歷，整式的加減，一元一次方程等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握月歷的特征，列代數(shù)式，列一元一次方程，解一元一次方程．
4．（2022秋·江西吉安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列一元二次方程中，根是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)求根公式解答．
【詳解】解：由知：，，．
所以該一元二次方程為：．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握求根公式中字母所表示的意義．
5．（2022秋·湖南岳陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則a的值為（ ）
A．2B．C．0D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)軸可得不等式的解集，再將變?yōu)?，結(jié)合解集進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵的解集在數(shù)軸上為：，
則，
即，
故 ，
解得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的求解，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）隨著新冠疫苗的全民接種，疫苗需求仍存在較大缺口，某制藥公司引進(jìn)一條新冠疫苗生產(chǎn)線，開工第一天生產(chǎn)疫苗盒，第三天生產(chǎn)疫苗盒，若每天的增長率相同，求每天的增長率是多少？設(shè)每天的增長率是，則可列方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用第三天生產(chǎn)疫苗的數(shù)量第一天生產(chǎn)疫苗的數(shù)量每天的增長率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：設(shè)每天的增長率是，根據(jù)題意得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·陜西咸陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義運(yùn)算“*”，規(guī)定（其中為常數(shù)），若已知，則的值為（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】A
【分析】已知等式利用新定義列得二元一次方程組，求出a與b的值，即可求出所求式子的值．
【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡已知等式得：，
解得：，
則．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
8．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）一家游泳館的游泳收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為30元/次，若購買會(huì)員年卡，可享受如下優(yōu)惠：例如，購買A類會(huì)員卡，一年內(nèi)游泳20次，消費(fèi)元，若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于45—55次之間，則最省錢的方式為（ ）
A．購買A類會(huì)員年卡B．購買B類會(huì)員年卡
C．購買C類會(huì)員年卡D．不購買會(huì)員年卡
【答案】C
【分析】設(shè)一年內(nèi)在該游泳館消費(fèi)的次數(shù)為x次，消費(fèi)為y元，根據(jù)各類會(huì)員卡的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)求出，，，再由確定y的范圍即可得答案．
【詳解】解：設(shè)一年內(nèi)在該游泳館消費(fèi)的次數(shù)為x次，消費(fèi)為y元，
由題意得，，
當(dāng)時(shí)，
，
，
，
，
由此可見，C類會(huì)員年卡消費(fèi)最低，即最省錢的方式為購買C類會(huì)員年卡，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·安徽合肥·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長為x的兩個(gè)正方形靠邊各放置兩個(gè)邊長為a，b的長方形，然后分別以，構(gòu)造兩個(gè)大正方形，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可求得x的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)兩個(gè)圖形分別可得，，兩個(gè)等式消去a與b即可求解．
【詳解】解：由題意得，
，
，得，
解得，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何圖形列方程組得問題，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若分式方程無解，則a的值是（ ）
A．B．1C．0D．或1
【答案】D
【分析】按照解分式方程的步驟即可得出，再分類討論分式方程無解的情況，即可求出a值．
【詳解】解：，
去分母，得：，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)，得，
合并同類項(xiàng)，得．
∵該分式方程無解，
∴無解或該分式方程有增根或，
∴或或（此時(shí)a不存在）．
解得： 或．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查由分式方程無解求參數(shù)的值．熟練掌握分式方程的解法步驟，理解分式方程無解的條件是解決此類問題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，以的速度沿向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從C出發(fā)，以的速度沿著CD向D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止．則的長為時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（ ）
A． B． C．或D．
【答案】C
【分析】過E作于點(diǎn)M，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，利用勾股定理解，可得關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示，過E作于點(diǎn)M，
由題意知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，，，
，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，，
的長為時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是或，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．本題作答方法不唯一，也可以通過分類討論求解．
12．（2022秋·河北保定·八年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x，y的方程組，下列結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，方程組的解也是的解；
②無論a取何值，x，y不可能互為相反數(shù)；
③x，y都為自然數(shù)的解有4對(duì)；
④若，則．
其中不正確的有（ ）．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】①根據(jù)消元法解二元一次方程組，然后將解代入方程即可判斷；
②根據(jù)消元法解二元一次方程組，用含有字母的式子表示x、y，再根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加為0即可求解；
③根據(jù)試值法求二元一次方程的自然數(shù)解即可得結(jié)論；
④根據(jù)整體代入的方法即可求解．
【詳解】解：將代入原方程組，得，
解得：．
將代入方程的左右兩邊，
得：左邊，右邊，即左邊右邊，
∴當(dāng)時(shí)，方程組的解不是方程的解，故①錯(cuò)誤，符合題意；
解原方程組，得，
∴，
∴無論a取何值，x，y的值不可能是互為相反數(shù)，故②正確，不符合題意；
∵，
∴x、y為自然數(shù)的解有，，，，
∴x，y都為自然數(shù)的解有4對(duì)，故③正確，不符合題意；
∵，，
∴，
解得：，故④錯(cuò)誤，符合題意．
綜上所述：②③正確，①④錯(cuò)誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，二元一次方程組的解，解二元一次方程組．解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程的解和二元一次方程組的解的定義，解二元一次方程組的方法和步驟．
13．（2022秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期中）配方法是代數(shù)計(jì)算或變形的常用方法之一，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在利用配方法解決問題的過程中，得到如下的結(jié)論：
①用配方法解方程，變形后的結(jié)果是；
②已知方程可以配成，那么可以配成；
③若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則；
④若可以配成形如的形式，則；
⑤用配方法可以求得代數(shù)式的最小值是1．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)配方法和完全平方式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
∴，故①正確；
∵可以配成，
∴，即，
∴即，可以配方為，即，故②錯(cuò)誤；
∵關(guān)于x的方程，即方程有實(shí)數(shù)根，
∴，
解得，故③正確；
∵可以配成形如的形式，
∴是一個(gè)完全平方式，
∴，故④錯(cuò)誤；
∵，，
∴，
∴的最小值為1，故⑤正確；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法和完全平方式中的字母求值，熟知配方法是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組有且只有19個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程＝1的解為非正數(shù)，則a的值是（ ）
A．﹣13或﹣12B．﹣13C．﹣12D．﹣13或﹣11
【答案】C
【分析】解不等式組，根據(jù)有且只有19個(gè)整數(shù)解求出a的范圍，再解方程，根據(jù)方程的解為非正數(shù)，求出a的范圍，找出公共部分的整數(shù)a值即可．
【詳解】解：解，得，
∵不等式組有且只有19個(gè)整數(shù)解，
∴，
解得：，
解得，
∵方程的解為非正數(shù)，
．
∴，
．
為整數(shù)，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，解分式方程，一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求得不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共4個(gè)小題；每個(gè)小題3分，共12分，把正確答案填在橫線上）
15．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）不等式的最大整數(shù)解是______．
【答案】
【分析】先求得兩個(gè)不等式的解集，再找出兩個(gè)解集的公共部分可確定出不等式組的解集，進(jìn)而可得到最大整數(shù)解．
【詳解】解：不等式化為，
由①得：，
由②得：，
不等式組的解集為，
則不等式組的最大整數(shù)解為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答的關(guān)鍵．
16．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）有二把不同刻度的直尺a、b，同一把直尺上的刻度之間距離相等，小敏把這二把直尺如圖緊貼，并將兩把直尺上的刻度0互相對(duì)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)a尺的刻度36對(duì)準(zhǔn)著b尺上的刻度48，平行移動(dòng)a尺（平移過程中兩把直尺維持緊貼），使得a尺的刻度0對(duì)準(zhǔn)b尺的刻度4，則此時(shí)a尺的刻度21對(duì)準(zhǔn)b尺的上刻度是______．
【答案】32
【分析】由將兩把直尺上的刻度0互相對(duì)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)a尺的刻度36對(duì)準(zhǔn)著b尺上的刻度48，可知a尺相鄰兩刻度之間的距離b尺相鄰兩刻度之間的距離，設(shè)a尺的刻度21對(duì)準(zhǔn)b尺的上刻度是x，根據(jù)a尺的刻度21與刻度0之間的距離b尺的刻度4與刻度x之間的距離列方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)a尺的刻度21對(duì)準(zhǔn)b尺的上刻度是x，
由題意知，
解得，
即a尺的刻度21對(duì)準(zhǔn)b尺的上刻度是32．
故答案為：32．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目所給條件找出合適的等量關(guān)系列出方程．
17．（2022秋·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，則______．
【答案】5
【分析】先把原條件等式化為，再建立方程組解題即可．
【詳解】解：∵，
∴，解得：，
∴，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查的是冪的乘方運(yùn)算，積的乘方運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，二元一次方程組的解法，利用冪的運(yùn)算法則構(gòu)建方程組是解本題的關(guān)鍵．
18．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)兩實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定，例如：，若，則的值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)新定義可得方程，解方程即可．
【詳解】解：由題意得，，
∴，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，解分式方程，正確理解題意得到方程是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共8道題，19-21每題6分，22-25每題8分，26題10分，滿分60分）
19．（2022春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根據(jù)解一元一次方程的步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，求解各題即可．
【詳解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，正確掌握一元一次方程的解法：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1是解題的關(guān)鍵．
20．（2022秋·全國·八年級(jí)期末）甲、乙兩人同時(shí)解方程組甲解題看錯(cuò)了①中的m，解得，乙解題時(shí)看錯(cuò)②中的n，解得，試求原方程組的解．
【答案】
【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m與n的值代入方程組求解即可得到答案．
【詳解】解：把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把，代入方程組得：，
得：，即，
把代入①得：，
則方程組的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，加減消元法解方程組，掌握方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．
21．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍．
(2)若方程有一個(gè)根為，求的值和方程的另一個(gè)根．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由方程根的情況可得到關(guān)于的不等式，可求得的取值范圍；
（2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根．
【詳解】（1）根據(jù)題意得，
即
解得；
（2）把代入原方程，得，
解得，
方程為，
解得或，
即方程的另一根為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，由方程根的情況得到判別式的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┘住⒁覂扇俗瞿撤N機(jī)械零件
(1)已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各做零件多少個(gè)？
(2)已知甲計(jì)劃做零件60個(gè)，乙計(jì)劃做零件100個(gè)，甲、乙的速度比為3：4，結(jié)果甲比乙提前20分鐘完成任務(wù)，求乙每小時(shí)做零件多少個(gè)？
【答案】(1)甲每小時(shí)做18個(gè)，乙每小時(shí)做12個(gè)
(2)甲每小時(shí)做45個(gè)，乙每小時(shí)做60個(gè)
【分析】（1）設(shè)乙每小時(shí)做個(gè)，則甲每小時(shí)做個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間為，乙做60個(gè)所用的時(shí)間為，然后根據(jù)所用時(shí)間相等列出方程求解即可；
（2）設(shè)甲每小時(shí)做個(gè)零件，表示出乙每小時(shí)做的零件個(gè)數(shù)，然后根據(jù)“結(jié)果甲比乙提前20分鐘完成任務(wù)”列出方程即可．
【詳解】（1）解：（1）設(shè)乙每小時(shí)做個(gè)，則甲每小時(shí)做個(gè)，
甲做90個(gè)所用的時(shí)間為，乙做60個(gè)所用的時(shí)間為；
根據(jù)題意列方程為：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，且符合題意，
則．
答：甲每小時(shí)做18個(gè)，乙每小時(shí)做12個(gè)．
（2）設(shè)甲每小時(shí)做個(gè)零件，則乙每小時(shí)做個(gè)零件，
根據(jù)題意得，，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，且符合題意，
則，．
答：甲每小時(shí)做45個(gè)，乙每小時(shí)做60個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗(yàn)．
23．（2022秋·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）模型與應(yīng)用
【數(shù)學(xué)模型】
在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸．用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要作用，借助圖直觀地表示很多與數(shù)相關(guān)的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
【問題解決】
（1）如圖1，在數(shù)軸上，點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的有理數(shù)分別為和4，點(diǎn)P、點(diǎn)Q為線段上兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)且．若點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，，求此時(shí)x的值．
【形成觀念】
（2） 如圖2，某地的高速口與動(dòng)車口水平距離為1千米，同向平行行駛的轎車和動(dòng)車在各自卡口同時(shí)出發(fā)．已知普通家庭轎車的長度是4米，行駛速度為120千米/小時(shí)；8組編的動(dòng)車長度為266米，行駛速度為200千米/小時(shí)．求動(dòng)車車頭追上轎車車尾到動(dòng)車車尾離開轎車車頭需要多少秒？
【答案】（1）；（2）需要12.15秒．
【分析】（1）點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，則點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)是，用x表示出，，根據(jù)列出x的方程，解方程即可；
（2）以高速卡口為原點(diǎn)，小轎車行駛的方向?yàn)檎较颍?千米為一個(gè)單位長度，建立數(shù)軸，t小時(shí)后，轎車頭部A對(duì)應(yīng)的數(shù)為120t，轎車尾部B對(duì)應(yīng)的數(shù)為，動(dòng)車頭部C對(duì)應(yīng)的數(shù)為，動(dòng)車尾部D對(duì)應(yīng)的數(shù)為，分別求出B與C重合時(shí)，A與D重合時(shí)t的值，然后求出結(jié)果即可．
【詳解】解：（1）由題，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，則點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)是，
∴，，
∵，
∴，
解得，．
（2）如圖，以高速卡口為原點(diǎn)，小轎車行駛的方向?yàn)檎较颍?千米為一個(gè)單位長度，建立數(shù)軸，
t小時(shí)后，轎車頭部A對(duì)應(yīng)的數(shù)為120t，轎車尾部B對(duì)應(yīng)的數(shù)為，動(dòng)車頭部C對(duì)應(yīng)的數(shù)為，動(dòng)車尾部D對(duì)應(yīng)的數(shù)為，
當(dāng)B與C重合時(shí)，，
解得，，
當(dāng)A與D重合時(shí)，，
解得，，
（秒）．
答：動(dòng)車頭追上轎車尾到動(dòng)車尾離開轎車頭一共需要12.15秒．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，列出方程，準(zhǔn)確計(jì)算．
24．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）“改變生活，改變社會(huì)”，不一樣的手機(jī)給人們帶來了全新的體驗(yàn)，某營業(yè)廳現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)的手機(jī)出售，售出1部A型、2部B型手機(jī)共獲利1000元，售出2部A型、1部B型手機(jī)共獲利800元．
(1)求A、B兩種型號(hào)的手機(jī)每部利潤各是多少元？
(2)若營業(yè)廳再次購進(jìn)A、B兩種型號(hào)手機(jī)共20部，其中B型手機(jī)的數(shù)量不超過A型手機(jī)數(shù)量的，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)購買方案，使?fàn)I業(yè)廳銷售完這20部手機(jī)能獲得最大利潤，并求出這最大利潤．
【答案】(1)A種型號(hào)手機(jī)每部利潤是200元，B種型號(hào)手機(jī)每部利潤是400元
(2)購進(jìn)A種型號(hào)的手機(jī)12部，B種型號(hào)的手機(jī)8部時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是5600元
【分析】（1）根據(jù)題意得出等量關(guān)系式：售出1部A型、2部B型手機(jī)共獲利1000元，售出2部A型、1部B型手機(jī)共獲利800元，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式求出自變量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)求最值即可．
【詳解】（1）設(shè)A種型號(hào)手機(jī)每部利潤是a元，B種型號(hào)手機(jī)每部利潤是b元，由題意得：
，
解得．
答：A種型號(hào)手機(jī)每部利潤是200元，B種型號(hào)手機(jī)每部利潤是400元；
（2）設(shè)購進(jìn)A種型號(hào)的手機(jī)x部，則購進(jìn)B種型號(hào)的手機(jī)(20﹣x)部，獲得的利潤為w元，
，
∵B型手機(jī)的數(shù)量不超過A型手機(jī)數(shù)量的，
∴，
解得，
∵，
∴w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值，此時(shí)，
．
答：營業(yè)廳購進(jìn)A種型號(hào)的手機(jī)12部，B種型號(hào)的手機(jī)8部時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是5600元．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組，一元一次不等式和一次函數(shù)，解答本題關(guān)鍵是列出二元一次方程組和熟記一次函數(shù)的性質(zhì)．
25．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若整數(shù)a使得關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，且使得關(guān)于y的不等式組有解，那么符合條件的所有整數(shù)a的和是多少？
【答案】符合條件的所有整數(shù)a的和為16
【分析】由題意可得，然后可得或10，進(jìn)而根據(jù)不等式組可得，最后問題可求解．
【詳解】解方程分式方程，
得，
∵分式方程的解為正整數(shù)解，
∴或2或4或8，
又且，
∴，
∴或6或10，
由關(guān)于y的不等式組有解，
解得：
∴，
解得：，
綜上，符合題意的整數(shù)a的值有6，10，
∴符合條件的所有整數(shù)a的和為16．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式組及分式方程的解法，熟練掌握一元一次不等式組及分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
26．（2022秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）國慶節(jié)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A，B兩款保溫杯，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）
(1)網(wǎng)店第一次用1540元購進(jìn)A，B兩款保溫杯共50個(gè)，求兩款保溫杯分別購進(jìn)的個(gè)數(shù)；
(2)第一次購進(jìn)的保溫杯售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A，B兩款保溫杯共110個(gè)（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于3360元，則全部售完購進(jìn)的保溫杯，該網(wǎng)店可獲得的最大利潤是 元；
(3)國慶節(jié)過后，網(wǎng)店打算把B款保溫杯降價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4個(gè)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2個(gè)，那么將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款保溫杯平均每天銷售利潤為96元？
【答案】(1)購進(jìn)A款保溫杯20個(gè)，B款保溫杯30個(gè)
(2)1440
(3)將銷售價(jià)定為每件34元或36元時(shí)，才能使B款保溫杯平均每天銷售利潤為96元
【分析】（1）設(shè)購進(jìn)款保溫杯個(gè)，款保溫杯個(gè)，由題意：網(wǎng)店第一次用1540元購進(jìn)，兩款保溫杯共50個(gè)，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)購進(jìn)個(gè)款保溫杯，則購進(jìn)個(gè)款保溫杯，由題意：進(jìn)貨總價(jià)不高于3360元，列出一元一次不等式，解得．設(shè)再次購進(jìn)的、兩款保溫杯全部售出后獲得的總利潤為元，則，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)款保溫杯的售價(jià)定為元，則每個(gè)的銷售利潤為元，平均每天可售出個(gè)，使款保溫杯平均每天銷售利潤為96元，列出一元二次方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)款保溫杯個(gè)，款保溫杯個(gè)，
依題意得：，
解得：，
答：購進(jìn)款保溫杯20個(gè)，款保溫杯30個(gè)．
（2）解：設(shè)購進(jìn)個(gè)款保溫杯，則購進(jìn)個(gè)款保溫杯，
依題意得：，
解得：．
設(shè)再次購進(jìn)的、兩款保溫杯全部售出后獲得的總利潤為元，則．
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值，此時(shí)．
即網(wǎng)店可獲得的最大利潤是1440元．
（3）解：設(shè)款保溫杯的售價(jià)定為元，則每個(gè)的銷售利潤為元，平均每天可售出個(gè)，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
答：將銷售價(jià)定為每件34元或36元時(shí)，才能使款保溫杯平均每天銷售利潤為96元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
會(huì)員年卡類型
辦卡費(fèi)用（元）
每次游泳收費(fèi)（元）
A類
50
25
B類
200
20
C類
400
15
類別
價(jià)格
A款保溫杯
B款保溫杯
進(jìn)貨價(jià)（元/個(gè)）
35
28
銷售價(jià)（元/個(gè)）
50
40

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