2024.11
命題人：李偉峰 審稿人：盛曉艷
考試時(shí)間：120分鐘 總分：150分
班級(jí)_________姓名__________學(xué)號(hào)__________
第一部分（選擇題）
一?選擇題：（本題有10道小題，每小題4分，共40分）
1. 已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求集合，再根據(jù)集合間的關(guān)系和運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
所以之間沒(méi)有包含關(guān)系，且，故ABC錯(cuò)誤，D正確；
故選：D.
2. 已知角的終邊在第三象限，且，則（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由同角之間的公式可求得，進(jìn)而得解.
【詳解】由角的終邊在第三象限，則
由題設(shè)知，解得，
所以
故選：C
3. 下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，基本初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)為奇函數(shù)，但在定義域上函數(shù)不單調(diào)，故A不符合；
對(duì)于B，的定義域?yàn)椋?，則為偶函數(shù)，故B不符合；
對(duì)于C，的定義域?yàn)?，，則為奇函數(shù)，又函數(shù)在上均為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，故C不符合；
對(duì)于D，的定義域?yàn)?，，則為奇函數(shù)，又函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，故D符合.
故選：D.
4. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則 （ ）
A. 60B. 80C. 90D. 100
【答案】D
【解析】
【分析】先求出等差數(shù)列的公差，再由等差數(shù)列的求和公式求解.
【詳解】等差數(shù)列的公差為：，
則.
故選：D
5. 如圖，在中，為邊上的中線，若為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】
.
故選：D
6. 已知為等比數(shù)列，，公比為，則“”是“對(duì)任意的正整數(shù)”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到的變形式，轉(zhuǎn)化成關(guān)于公比的不等式，解得的取值范圍，進(jìn)而判定二者的關(guān)系.
【詳解】由，即，即，
，可得，即.
所以不能推出，而可以推出，
所以是的必要不充分條件.
故選：B.
7. 點(diǎn)M、N在圓上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的半徑（ ）
A. 最大值為B. 最小值為C. 最小值為D. 最大值為
【答案】C
【解析】
【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑的表達(dá)式，利用已知條件，得到圓心在直線上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由，得，
所以圓心為，半徑為，
由題意可得直線經(jīng)過(guò)圓心，
故有，即，
所以半徑為，
當(dāng)時(shí)，圓C的半徑的最小值為.
故選：C.
8. 已知定點(diǎn)和拋物線是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線定義，數(shù)形結(jié)合即可求出的最小值.
【詳解】
由題拋物線是拋物線的焦點(diǎn)，
則，準(zhǔn)線方程為，
是拋物線上的點(diǎn)，過(guò)作垂直準(zhǔn)線于，
過(guò)作垂直準(zhǔn)線于交拋物線于，
則由拋物線定義知，
由圖像可知,
即的最小值的最小值為，
由，準(zhǔn)線方程為，
所以.
故選：C
9. “三斜求積術(shù)”是我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶用實(shí)例的形式提出的，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)求三角形面積，即．現(xiàn)有面積為的滿足，則的周長(zhǎng)是（ ）
A. 9B. 12C. 18D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知及正弦定理計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)正弦定理可知，不妨設(shè)，
由，
所以的周長(zhǎng)是.
故選：C
10. 如圖，已知BD是圓O的直徑，AC是與BD垂直的弦，且AC與BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，直線交BC于點(diǎn)Q． 當(dāng)取得最小值時(shí)，下列結(jié)論中一定成立的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出輔助線，由極化恒等式得到當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，取的中點(diǎn)，則，此時(shí)取得最小值，B正確，在結(jié)合中位線及圓中的性質(zhì)得到ACD錯(cuò)誤.
【詳解】連接，則，
兩式平方后相減可得，由于等于圓的半徑，為定值，
故當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，
取的中點(diǎn)，則，此時(shí)取得最小值，B正確；
A選項(xiàng)，因?yàn)锽D是圓O的直徑，AC是與BD垂直的弦，且AC與BD交于點(diǎn)E，
所以為的中點(diǎn)，故是的中位線，故，
因?yàn)?，所以，則不垂直，A錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由中位線可知，所以不平行，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，由中位線可知，所以不平行，D錯(cuò)誤.

故選：B
第二部分（非選擇題）
二?填空題：（本題有5道小題，每小題5分，共25分）
11. 函數(shù)的定義域?yàn)開__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，，解得，
所以的定義域?yàn)?
故答案為：
12. 已知平面向量，的夾角為120°，且，，則的值為______，的最小值為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】直接利用向量數(shù)量積的定義求解的值，由已知條件可得，配方后可求得其最小值
【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，的夾角為120°，且，，
所以，
，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，
故答案為： ，
13. 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比__________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程可求得結(jié)果.
【詳解】∵成等差數(shù)列，
∴，即，
∴，
∴，解得或（舍），
∴.
故答案為：3.
14. 在中，，.若，則______；若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則的一個(gè)值可以是______.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理，
代入條件得：，
解得：，所以，
所以若時(shí)，為直角三角形，
所以.
（2）由正弦定理，
代入條件化簡(jiǎn)得：，
因?yàn)?，所以?br>所以，
即，
又，所以為銳角，所以，故可取 .
故答案為：2；.
15. 設(shè)an與bn是兩個(gè)不同無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：
①若an與bn均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；
②若an與bn均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；
③若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；
④若an為遞增數(shù)列，bn為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，
而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.
對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，
但當(dāng)偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無(wú)窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.
對(duì)于③，設(shè)，，
若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，
若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；
若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，
當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個(gè)偶數(shù)解，
當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個(gè)奇數(shù)解，
因?yàn)?，不可能同時(shí)成立，
故不可能有4個(gè)不同整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.
對(duì)于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，
后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來(lái)分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.
三?解答題：（本題有6小題，共85分）
16. 已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．
（1）求的值；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，若對(duì)恒成立，求的取值范圍．
條件①：；
條件②：的最大值為；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞增．
注：如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計(jì)分．
【答案】（1）
（2）條件選擇見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出函數(shù)的最小正周期，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值；
（2）選①②，根據(jù)函數(shù)的最大值求出的值，根據(jù)結(jié)合的取值范圍，求出的值，可得出函數(shù)的解析式；
選②③，根據(jù)函數(shù)的最大值求出的值，分析可知，，結(jié)合的取值范圍，可求出的值，可得出函數(shù)的解析式；
選①③，分析可知，，結(jié)合的取值范圍，可求出的值，再由可得出的值，即可得出的解析式；
再由結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)榈膱D象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸的距離為，
所以，函數(shù)的最小正周期為，所以．
【小問(wèn)2詳解】
解：選擇條件①②．
因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，即?br>由，得，
又因?yàn)?，所以，所以函?shù)的解析式為．
選擇條件②③．
因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以?br>因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋以趨^(qū)間上單調(diào)遞增，
又因?yàn)閰^(qū)間的長(zhǎng)度為，
所以，即，得，則，
又因?yàn)?，所以?br>所以的解析式為．
選擇條件①③．
因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又因?yàn)閰^(qū)間的長(zhǎng)度為，
所以，即，
得，則，
又因?yàn)椋裕?br>由，得，所以．
所以的解析式為．
因?yàn)?，所以所以，故?br>當(dāng)時(shí)，的最小值為．
因?yàn)?，恒成立，則，
所以的取值范圍為．
17. 某種產(chǎn)品按照產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為一等品?二等品?三等品?四等品四個(gè)等級(jí)，某采購(gòu)商從采購(gòu)的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，根據(jù)產(chǎn)品的等級(jí)分類得到如下數(shù)據(jù)：
（1）根據(jù)產(chǎn)品等級(jí)，按分層抽樣的方法從這100件產(chǎn)品中抽取10件，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中一等品的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）若將頻率視為概率，從采購(gòu)的產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，求恰好有1件四等品的概率；
（3）生產(chǎn)商提供該產(chǎn)品的兩種銷售方案供采購(gòu)商選擇，
方案一：產(chǎn)品不分類，售價(jià)均為21元/件.
方案二：分類賣出，分類后的產(chǎn)品售價(jià)如下：
從采購(gòu)商的角度考慮，你覺得應(yīng)該選擇哪種銷售方案？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）的分布列見解析；
（2）
（3）應(yīng)該選擇方案一
【解析】
【分析】（1）利用分層抽樣的知識(shí)求出抽取的10件產(chǎn)品中一等品和非一等品的數(shù)量，求出的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.
（2）由題意得出抽到四等品的數(shù)量，即可求解.
（3）計(jì)算方案二的產(chǎn)品的平均售價(jià)，與方案一的產(chǎn)品的售價(jià)進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
由題可得，抽取的10件產(chǎn)品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以的可能取值為0，1，2，3．
，，
，，
則的分布列為：
.
【小問(wèn)2詳解】
從采購(gòu)的產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記抽到四等品的數(shù)量為，則，
∴.
【小問(wèn)3詳解】
由題意得，方案二的產(chǎn)品的平均售價(jià)為：
（元/件），
∵，
∴從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該選擇方案一.
18. 如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)在上，且．判斷直線是否在平面內(nèi)，說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）直線不平面內(nèi)，理由見解析
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理即可得證；
（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)以及平面、平面的法向量，代入平面與平面夾角的向量公式即可計(jì)算.
（3）根據(jù)條件計(jì)算向量，計(jì)算，判斷結(jié)果是否為0即可判斷直線是否在平面內(nèi).
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槠矫?，又平面，則，
又，且，，平面，故平面；
【小問(wèn)2詳解】
過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，且，平面，所以，?br>故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
所以，
又，所以，故，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，故，
又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?br>所以，
由題意可知，二面角為銳二面角，
故二面角的余弦值為；
.
【小問(wèn)3詳解】
直線不在平面內(nèi)，
因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，又，
故，
則，
由（2）可知，平面的法向量為，
所以，
所以直線不在平面內(nèi)．
19. 已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn).以的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且其周長(zhǎng)為.
（1）求栯圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn).點(diǎn)在軸上，為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形是菱形.求證：直線過(guò)定點(diǎn).
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)以及等邊三角形的性質(zhì)可得且，即可求解得解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)可得的方程為，即可求解，.進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可設(shè)橢圓的方程為.
因?yàn)橐缘囊粋€(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且其周長(zhǎng)為，
所以且，
所以.所以.
所以橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線的方程為，
令，得，即.
由得.
設(shè)，則.
設(shè)的中點(diǎn)為，則.
所以.
因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?br>所以為的中點(diǎn)，.
所以直線的斜率為.
所以直線的方程為.
令得.所以.
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
即.
所以直線的方程為，即.
所以直線過(guò)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法：
（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn).
（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).
20. 已知函數(shù)
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若恒成立，求a的值；
（3）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；
（2）求導(dǎo)可得，易知當(dāng)時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）易知當(dāng)時(shí)不符合題意，當(dāng)時(shí)，易知不符合題意；若，由（2）可知只需，解之即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，得，
因?yàn)椋?br>所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；
【小問(wèn)2詳解】
，
①當(dāng)時(shí)，，不符合題意.
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；
若恒成立，則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即的解為.
所以；
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不妨設(shè)，
若，則，不符合題意；
若，則，
由（2）可知，只需，即，解得，
即a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.
21. 如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.
（1）判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；
（2）若數(shù)列為“速增數(shù)列”.且任意項(xiàng)，，求正整數(shù)k的最大值；
（3）已知項(xiàng)數(shù)為（）的數(shù)列是“速增數(shù)列”，且的所有項(xiàng)的和等于k，若，，證明：.
【答案】（1）是，理由見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）計(jì)算，，，得到答案.
（2）根據(jù)題意得到，，計(jì)算當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得到答案.
（3）證明，得到，得到，代入計(jì)算得到證明.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，則，，
又，故，數(shù)列是“速增數(shù)列”.
【小問(wèn)2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，
即，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故正整數(shù)k的最大值為.
【小問(wèn)3詳解】
，故，即；
，故，
即，
同理可得：，，，
故，
故，，得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)題意利用累加法的思想確定是解題的關(guān)鍵.
等級(jí)
一等品
二等品
三等品
四等品
數(shù)量
40
30
10
20
等級(jí)
一等品
二等品
三等品
四等品
售價(jià)/（元/件）
24
22
18
16
0
1
2
3

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