2024.11
（試卷滿分150分；考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘）
一?選擇題（共10個(gè)題，每題4分，計(jì)40分）
1. 設(shè)全集，集合，，則集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集、并集運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)槿?，集合，?br>所以，.
故選：D
2. 函數(shù)f(x)＝x是（ ）
A. 奇函數(shù)，且值域?yàn)椋?，+∞）
B. 奇函數(shù)，且值域R
C. 偶函數(shù)，且值域?yàn)椋?，+∞）
D. 偶函數(shù)，且值域?yàn)镽
【答案】B
【解析】
【分析】由奇偶性定義，求出函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析其單調(diào)性可得在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函數(shù)，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函數(shù)的草圖，分析其值域，即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，
其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝1，在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函數(shù)，且f（1）＝f（﹣1）＝0；
其圖象大致如圖：

其值域?yàn)镽；
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，值域的求解，屬于基礎(chǔ)題
3. 已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的為（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)B；求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)C，D.
【詳解】選項(xiàng)A：若，則或異面或相交.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：若，則或.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：若，則或相交.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：若，則必有，
又，則，則.判斷正確.
故選：D
4. 已知函數(shù)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷A，C選項(xiàng)的正誤；在區(qū)間上解方程，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，解得或或或，
故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，C正確；
D選項(xiàng)，由，，解得，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，
令，得，，得，
所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增的，D錯(cuò)誤．
故選：C．
5. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用作差法可判斷A、B選項(xiàng)的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】，則，，
又、，，.
可得：ABC成立，D不成立.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用作差法來(lái)進(jìn)行判斷，同時(shí)也要注意正弦、余弦有界性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.
6. 設(shè)向量滿足，，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】
兩邊平方，得出關(guān)于的二次函數(shù)，從而得出最小值.
【詳解】解：
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查向量的模的求解方法，利用二次函數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力，是中檔題.
7. 已知過(guò)點(diǎn)P(2,2) 的直線與圓相切, 且與直線垂直, 則（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線，因此，解得，故答案為C.
考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、兩條直線垂直的應(yīng)用.
8. 設(shè)為等比數(shù)列，則“對(duì)于任意的”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充分、必要條件、等比數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】充分性：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，
情形一：當(dāng)時(shí)，由得，
解得或，
若，則，此時(shí)與已知矛盾；
若，則，此時(shí)為遞增數(shù)列；
情形二：當(dāng)，由得，
解得或，
若，則，此時(shí)與已知矛盾；
若，則，此時(shí)為遞增數(shù)列；
必要性：反之，若為遞增數(shù)列，則，
所以“對(duì)于任意的”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.
故選：C.
9. 中國(guó)茶文化博大精深．茶水口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．已知室內(nèi)的溫度為，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過(guò)x分鐘后的溫度為．y與x的函數(shù)關(guān)系式近似表示為，那么在室溫下，由此估計(jì)，剛泡好的茶水大約需要放置多少分鐘才能達(dá)到最佳口感（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)，列出等量關(guān)系式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求得.
【詳解】由題意降至?xí)r口感最佳，即，帶入函數(shù)關(guān)系式即得，
即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，
所以.
故選：B
10. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合）．則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是
A. 存在點(diǎn)，使得平面∥平面
B. 存在點(diǎn)，使得平面
C. 分別是△在平面，平面上的正投影圖形的面積，對(duì)任意點(diǎn)，
D. 對(duì)任意點(diǎn)，△的面積都不等于
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，?dāng)直線交平面于點(diǎn)時(shí)，有
平面，所以，A正確．
對(duì)于B，可證明平面，所以，當(dāng)直線交平面于點(diǎn)時(shí)，有平面，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)樵O(shè)，（其中），則△在平面的正投影面積為；又△在平面上的正投影圖形的面積與在平面的正投影圖形面積相等，所以，若，則，解得或，因?yàn)椋?，故存在點(diǎn)，使得；C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由于固定不變，只要找上的點(diǎn)到的距離最短即可，取中點(diǎn)，連結(jié)，在正方體中，易證平面，平面，因此，，，所以可得平面，因此，； 又平面，所以，所以為直線與的公垂線，此時(shí)△的面積最小；
因?yàn)樵谡襟w中，易知，又，
所以，
因此，；所以對(duì)任意點(diǎn)，△的面積都不等于,D正確.
故選C
【點(diǎn)睛】
本題主要考查空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系，熟記位置關(guān)系，以及線面垂直、面面平行的判定等即可，屬于?？碱}型.
二?填空題（共6個(gè)題，每題4分，計(jì)24分）
11. 若直線:與直線:平行,則__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，即可求解，同時(shí)要排除重合的情況.
【詳解】因?yàn)橹本€:與直線:平行，所以，解得 或，當(dāng)時(shí)，與重合，
故答案為：1.
【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線平行的位置關(guān)系的判定，屬于中檔題. 解題時(shí)注意平行關(guān)系,要防止兩條直線重合.
12. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，利用項(xiàng)的指數(shù)為即為常數(shù)項(xiàng).
【詳解】由的展開式的通項(xiàng)為，
令，，則，
即在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為，
故答案為：.
13. 在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，則a1＝_____；使得數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和Sn取到最大值的n＝_____.
【答案】 ①. 9 ②. 5.
【解析】
【分析】
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d，可得an，令an≥0，解得n即可得出.
【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵a1+a2＝16，a5＝1，
∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，
解得：a1＝9，d＝﹣2.
∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n.
令an＝11﹣2n≥0，
解得n5.
∴使得數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和Sn取到最大值的n＝5.
故答案為：9；5.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)的和的最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.
14. 在矩形中，若，，且，則的值為______，的值為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)法求出、，即可求出的值，最后利用坐標(biāo)法求出平面向量數(shù)量積.
【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，
因?yàn)?，所以?br>所以，，，
所以，，因?yàn)椋?br>所以，解得或（舍去），
所以，，所以.
故答案為：；
15. 顆粒物過(guò)濾效率是衡量口罩防護(hù)效果的一個(gè)重要指標(biāo)，計(jì)算公式為，其中 表示單位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒物數(shù)量（單位：），表示經(jīng)口罩過(guò)濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)量（單位：）．某研究小組在相同的條件下，對(duì)兩種不同類型口罩的顆粒物過(guò)濾效率分別進(jìn)行了4次測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如圖所示．圖中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測(cè)試時(shí)的值，縱坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測(cè)試時(shí)的值．
該研究小組得到以下結(jié)論：
①在第1種口罩的4次測(cè)試中，第4次測(cè)試時(shí)的顆粒物過(guò)濾效率最高;
②在第2種口罩的4次測(cè)試中，第3次測(cè)試時(shí)的顆粒物過(guò)濾效率最高;
③在每次測(cè)試中，第1種口罩的顆粒物過(guò)濾效率都比第2種口罩的顆粒物過(guò)濾效率高;
④在第3次和第4次測(cè)試中，第1種口罩的顆粒物過(guò)濾效率都比第2種口罩的顆粒物過(guò)濾效率低．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．
【答案】②④
【解析】
【分析】
先根據(jù)題意分析得直線的斜率越大，顆粒物過(guò)濾效率越小，再看圖逐一分析結(jié)論即可.
【詳解】依題意，，知直線的斜率越大，顆粒物過(guò)濾效率越小. 看圖分析如下：
在第1種口罩的4次測(cè)試中，四條直線中，直線斜率最大，故最小，第4次測(cè)試時(shí)的顆粒物過(guò)濾效率最低，則①錯(cuò)誤；
在第2種口罩的4次測(cè)試中，四條直線中，直線斜率最小，故最大，第3次測(cè)試時(shí)的顆粒物過(guò)濾效率最高，則②正確；
在第1次和第2次測(cè)試中，直線斜率大于斜率，，即第1種口罩的顆粒物過(guò)濾效率高，在第3次和第4次測(cè)試中，斜率大于直線，斜率，即第2種口罩的顆粒物過(guò)濾效率高，故③錯(cuò)誤，④正確.
故答案為：②④.
16. 設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)，，使得無(wú)解；②對(duì)，，使得有兩解；③當(dāng)時(shí)，，使得有解；④當(dāng)時(shí)，，使得有三解.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
【答案】③④
【解析】
【分析】取，由一次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，可得函數(shù)f(x)的值域，可判斷①的正誤；當(dāng)時(shí)，可以否定②；考慮時(shí)，求得函數(shù)f(x)的值域，即可判斷③；當(dāng)時(shí)，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，以及函數(shù)f(x)的圖象，即可判斷④.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于①，可取，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，
故時(shí)，f(x)的值域?yàn)镽，
∴，都有解，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，由于對(duì)于任意,無(wú)解；
時(shí)，，對(duì)任意的,至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，可得；
又時(shí)，，即有.
可得，則f(x)的值域?yàn)椋?br>∴，都有解，故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，時(shí)，遞增，可得；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，
由圖象可得，當(dāng)時(shí)，有三解，故④正確.
故答案為：③④.
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，主要考查方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意運(yùn)用反例法判斷命題不正確，考查推理能力，屬于中等題.
三?解答題（共6個(gè)大題，共計(jì)86分）
17. 在中，，，在從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：
（1）的值；
（2）的面積.
條件①：；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）選擇條件①；選擇條件②；選擇條件③不合題意.
（2）選擇條件①；選擇條件②.
【解析】
【分析】（1）選條件①時(shí)，直接利用余弦定理的應(yīng)用求出a的值；選條件②時(shí)，利用正弦定理的應(yīng)用求出a的值；選條件③時(shí)，由于出現(xiàn)與已知條件中三角形有一解相矛盾，故舍去.
（2）選條件①時(shí)，利用勾股定理證明為直角三角形，可求出三角形的面積；
選條件②時(shí)，利用三角函數(shù)的關(guān)系式求出，應(yīng)用三角形面積公式的求出結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
（1）選擇條件①，
，由于，，
所以，解得；
選擇條件②，
，由于，，
由正弦定理，.
選擇條件③，
，由正弦定理，得，
此時(shí)或，三角形不唯一，不合題意．
【小問(wèn)2詳解】
選擇條件①，
，由，則，滿足，
故為直角三角形，所以；
選擇條件②，
，在中，，
所以.
18. 如圖，在三棱錐中，平面平面，△和△均是等腰直角三角形，，，，分別為， 的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由線面平行的判斷定理，即可證明；
（Ⅱ）首先由面面垂直的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為線面垂直，即平面，即可證明線線垂直；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果，即是所求線面角，內(nèi)計(jì)算正弦值.
【詳解】證明：（Ⅰ）在△中，M，N分別為VA，VB的中點(diǎn)，
所以為中位線.
所以.
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面
（Ⅱ）在等腰直角三角形△中，，
所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?平面，
所以平面.又因?yàn)槠矫妫?br>所以.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面，
直線與平面所成角為，
因?yàn)槭堑妊苯侨切?，，所?
所以
所以
19. 近年來(lái)，隨著5G網(wǎng)絡(luò)、人工智能等技術(shù)發(fā)展，無(wú)人駕駛技術(shù)也日趨成熟．為了盡快在實(shí)際生活中應(yīng)用無(wú)人駕駛技術(shù)，國(guó)內(nèi)各大汽車研發(fā)企業(yè)都在積極進(jìn)行無(wú)人駕駛汽車的道路安全行駛測(cè)試．某機(jī)構(gòu)調(diào)查了部分企業(yè)參與測(cè)試的若干輛無(wú)人駕駛汽車，按照每輛車的行駛里程（單位：萬(wàn)公里）將這些汽車分為4組：，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖：
（I）求a的值；
（Ⅱ）該機(jī)構(gòu)用分層抽樣的方法，從上述4組無(wú)人駕駛汽車中隨機(jī)抽取了10輛作為樣本．從樣本中行駛里程不小于7萬(wàn)公里的無(wú)人駕駛汽車中隨機(jī)抽取2輛，其中有X輛汽車行駛里程不小于8萬(wàn)公里，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）設(shè)該機(jī)構(gòu)調(diào)查的所有無(wú)人駕駛汽車的行駛里程的平均數(shù)為．若用分層抽樣的方法從上述4組無(wú)人駕駛汽車中隨機(jī)抽取10輛作為樣本，其行駛里程的平均數(shù)為;若用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從上述無(wú)人駕駛汽車中隨機(jī)抽取10輛作為樣本，其行駛里程的平均數(shù)為．有同學(xué)認(rèn)為，你認(rèn)為正確嗎？說(shuō)明理由．
【答案】（I）；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）不正確，理由見解析.
【解析】
【分析】
（I）根據(jù)頻率分布直方圖概率之和等于1，即可求得a的值
（Ⅱ）按照分層抽樣比分別求出行駛里程在和的無(wú)人駕駛汽車數(shù)量，的所有可能取值為，求出相應(yīng)的概率即可列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.
（Ⅲ）由于樣本具有隨機(jī)性，故，是隨機(jī)變量，受抽樣結(jié)果的影響， 這種說(shuō)法不正確.
【詳解】（I）由題意可知:，所以；
（Ⅱ）4組無(wú)人駕駛汽車的數(shù)量比為，若使用分層抽樣抽取10輛汽車，
則行駛里程在這一組的無(wú)人駕駛汽車有輛，
則行駛里程在這一組的無(wú)人駕駛汽車有輛，
有題意可知：的所有可能取值為
，
，
，
所以的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望為.
（Ⅲ）這種說(shuō)法不正確，理由如下：
由于樣本具有隨機(jī)性，故，是隨機(jī)變量，受抽樣結(jié)果的影響.
因此有可能更接近，也有可能更接近，
所以不恒成立，所以這種說(shuō)法不正確.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題.
20. 已知函數(shù).（ ）
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，的圖象與軸交于點(diǎn)，求在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．
【答案】（Ⅰ）時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間，
時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（Ⅱ）（Ⅲ）證明見解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)，得到，對(duì)按照和進(jìn)行分類討論，研究的正負(fù)，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）將代入，得到切線斜率，點(diǎn)斜式寫出切線方程；（Ⅲ）令，得到，令，得到，從而得到，得到在上單調(diào)遞增，即，從而使得原命題得證.
【詳解】解：（Ⅰ），
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得.
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
所以時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間，
時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（Ⅱ）時(shí)，
令，得，則，
因?yàn)?，所以?
所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（Ⅲ）證明：令，
則.
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，
即恒成立.
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
即當(dāng)時(shí)，恒成立．
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)圖像在一點(diǎn)的切線，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.
21. 已知函數(shù).
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1.
（?。┣骯的值；
（ⅱ）證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，.
【答案】（1）（?。?；（ⅱ）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）（?。┫葘?duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入導(dǎo)函數(shù)中使其值等于零，可求出a的值；
（ⅱ）令，則，可得在上的單調(diào)性，也是在上的單調(diào)性，而，，，所以存在唯一的是的變號(hào)零點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)；
（2）由（1）可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，所以分兩類討論：（i）若，易證在內(nèi)單調(diào)遞增，，符合題意，（ii）若，可得在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，而函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，符合題意.
【詳解】（1）（ⅰ）因?yàn)椋?br>所以.
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線的斜率為1，
所以，即，故.
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.
（ⅱ）由（?。┛芍?，.
設(shè)，則
令，又，得.
當(dāng)時(shí)，﹔當(dāng)時(shí)，，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.
又，，，
因此，當(dāng)時(shí)，，即，
此時(shí)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有唯一解，即有唯一解，
且易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有唯一極大值點(diǎn).
綜上可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn).
（2）因?yàn)椋O(shè)，則.
令，又，得.
且當(dāng)時(shí)，﹔當(dāng)時(shí)，，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，，，.
（i）當(dāng)，即時(shí)，.
此時(shí)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，﹔
（ii）當(dāng)，即時(shí)，
因?yàn)椋?，
所以，在內(nèi)恒成立，而在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.
又因?yàn)?，，所以此時(shí).
由（i）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總有.
【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)切線方程、單調(diào)性、極值和恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)、虛設(shè)零點(diǎn)、靈活運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算能力，屬于難題.
22. 已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列.若存在常數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
（1）分別判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）
①；
②.
（2）若數(shù)列滿足，求證：“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列”的充分必要條件；
（3）已知數(shù)列中，且.若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）①具有，②不具有
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義代入計(jì)算可得；
（2）先證明充分性，依題意可得，即可得到，從而得到，再證必要性，即數(shù)列為常數(shù)列，根據(jù)定義證明即可；
（3）首先證明：，然后利用反證法證明：，即可得到，結(jié)合即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
①，對(duì)于，，所以數(shù)列具有“性質(zhì)”；
②，對(duì)于，，
故，所以數(shù)列不具有“性質(zhì)”．
【小問(wèn)2詳解】
證明：先證“充分性”：
當(dāng)數(shù)列具有“性質(zhì)”時(shí)，有，
又因?yàn)椋?br>所以，
進(jìn)而有
結(jié)合有，
即“數(shù)列為常數(shù)列”；
再證“必要性”：
若“數(shù)列為常數(shù)列”，
則有，
即“數(shù)列具有“性質(zhì)”．
【小問(wèn)3詳解】
首先證明：．
因?yàn)榫哂小靶再|(zhì)”，
所以．
當(dāng)時(shí)，有．
又因?yàn)?，且?br>所以有，，
進(jìn)而有，
所以，
結(jié)合可得：．
然后利用反證法證明：．
假設(shè)數(shù)列中存在相鄰的兩項(xiàng)之差大于3，
即存在滿足：或，
進(jìn)而有
．
又因?yàn)椋?br>所以
依此類推可得：，矛盾，
所以有．
綜上有：，
結(jié)合可得，
經(jīng)驗(yàn)證，該通項(xiàng)公式滿足，
所以．








–
0
+
減
極小值
增

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