一、單選題（每小題4分，共40分）
1. 已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列說法正確的是（ ）
A. 若，，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)空間中直線與平面，以及平面與平面的關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，若，，，則或者異面，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，若，，且與，的交線垂直，才有，否則與不一定垂直，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若，，則或者，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若，，則，D正確，
故選：D
2. 下列可使非零向量構(gòu)成空間的一組基底的條件是（ ）
A. 兩兩垂直B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由基底定義和共面定理即可逐一判斷選項(xiàng)A、B、C、D得解.
【詳解】由基底定義可知只有非零向量不共面時(shí)才能構(gòu)成空間中的一組基底.
對(duì)于A，因?yàn)榉橇阆蛄績蓛纱怪?，所以非零向量不共面，可?gòu)成空間的一組基底，故A正確；
對(duì)于B，，則共線，由向量特性可知空間中任意兩個(gè)向量是共面的，所以與共面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由共面定理可知非零向量共面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
3. 在棱長為1的正方體中，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用解直角三角形可求點(diǎn)到直線AC1的距離.
【詳解】
如圖，連接，由正方體的性質(zhì)可得，，
故到距離為，
故選：C.
4. 已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，若直線l與平面垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（ ）
A. B. 10C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線面垂直得到與平行，設(shè)，得到方程組，求出.
【詳解】直線l與平面垂直，故與平行，
設(shè)，即，解得.
故選：D
5. 《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，由，即可求出答案.
【詳解】連接如下圖：
由于是的中點(diǎn)，
.
根據(jù)題意知.
.
故選：C.
6. 已知直線與直線平行，則與之間的距離為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩條直線平行，求出值，再應(yīng)用平行線間的距離公式求值即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，解之得
于是直線，即，
所以與之間的距離為.
故選：A
7. 若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，的直線分別為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由圓的對(duì)稱性可得過圓的圓心且直線與直線垂直，從而可求出.
【詳解】因?yàn)橹本€與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
故直線與直線垂直，且直線過圓心，
所以，，所以，.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法，注意根據(jù)圓的對(duì)稱性來探求兩條直線的位置關(guān)系以及它們滿足的某些性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題.
8. 已知圓，直線過點(diǎn)，則直線被圓截得的弦長的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判斷出與圓的位置關(guān)系，然后根據(jù)圓心到直線的距離的最大值求解出弦長的最小值.
【詳解】直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，
又，即在圓內(nèi)，
當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大為，
此時(shí)，直線被圓截得的弦長最小，最小值為．
故選：A.
9. 已知圓的方程為，則“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】找出與圓有四個(gè)公共點(diǎn)的等價(jià)條件，據(jù)此結(jié)合充分條件、必要條件概念判斷即可.
【詳解】由圓的方程為可得圓心，半徑，
若圓與函數(shù)相交，則圓心到直線的距離，
即，
若函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)，則原點(diǎn)在圓的外部，
即，解得，
綜上函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)則，
所以“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)”的必要不充分條件，
故選：B
10. 古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 的方程為
B. 在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為3
C. 在上存在點(diǎn)，使得
D. 上的點(diǎn)到直線的最小距離為1
【答案】C
【解析】
【分析】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)Px,y，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡判斷；對(duì)B：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的取值范圍，由此分析判斷；對(duì)C：設(shè)點(diǎn)Mx,y，求點(diǎn)M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對(duì)D：結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此分析判斷.
【詳解】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)Px,y，
∵，則，整理得，
故C的方程為，故A正確；
對(duì)B：的圓心，半徑為，
∵點(diǎn)到圓心的距離，
則圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為，
而，故在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為9，故B正確；
對(duì)C：設(shè)點(diǎn)Mx,y，
∵，則，整理得，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，
又，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)，
∴在C上不存在點(diǎn)M，使得，C不正確；
對(duì)D：∵圓心到直線的距離為，
∴C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故D正確；
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判定B，利用圓與圓的位置關(guān)系來判定C，結(jié)合數(shù)形思想即可.
二、填空題（每小題5分，共25分）
11. 已知圓錐的母線與底面所成角為，高為.則該圓錐的體積為________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征，圓錐底面半徑、高、母線長構(gòu)成一個(gè)直角三角形，從而求出圓錐底面半徑，再利用錐體的體積公式即可求解.
【詳解】
因?yàn)閳A錐底面半徑、高、母線構(gòu)成一個(gè)，
又，，
所以底面圓半徑，
則該圓錐的體積，
故答案為：.
12. 已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)是平面上的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空間向量法可得出點(diǎn)到平面距離為，即可求解.
【詳解】由題意可知，
根據(jù)點(diǎn)到平面的距離為.
故答案為：
13. 過兩條直線與的交點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為____________ （用一般式表示）
【答案】
【解析】
【分析】聯(lián)立兩方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程，然后化為一般形式即可；
【詳解】由題意可得，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，
又所求直線的傾斜角為，故斜率為，
所以直線方程為，
故答案為：.
14. 已知某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，隧道截面是半徑為4米的半圓，若行駛車輛的寬度為米， 則車輛的最大高度為______________米．
【答案】
【解析】
【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，得出半圓方程，設(shè)，求出點(diǎn)處半圓的高度即可得．
【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是圓心，，
半圓方程為（），在半圓上，且軸，
則，，
故答案為：．
15. 如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是______.（填序號(hào)）
①正方體的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化.
【答案】②③
【解析】
【分析】由正方體的對(duì)角線即為外接球的直徑求得球表面積判斷①，由異面直線所成角的定義確定與的夾角范圍判斷②，根據(jù)線面平面平行的判定定理判斷③，換度后由三棱錐體積公式判斷④．
【詳解】正方體對(duì)角線長為，即這外接球直徑，因此球半徑為，球表面積為，①錯(cuò)；
正方體中與平行且相等，是平行四邊形，，是正三角形，與的夾角（銳角或直角）的范圍是，因此②正確；
由②上知，而平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，③正確；
由平面，因此到平面的距離不變，所以不變，④錯(cuò)．
故答案為：②③．
三、解答題（共85分）
16. 已知頂點(diǎn)、、．
（1）求線段的中點(diǎn)及其所在直線的斜率；
（2）求線段的垂直平分線的方程；
（3）若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．
【答案】（1）中點(diǎn)，
（2）；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式求解；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果結(jié)合兩直線垂直的斜率關(guān)系，得出中垂線斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程求解；
（3）分類討論直線是否過原點(diǎn)結(jié)合截距式方程即可求解
【小問1詳解】
由、，可知中點(diǎn)為，且，
【小問2詳解】
由（1）可得，垂直平分線斜率滿足，即，
又的垂直平分線過，所以邊的垂直平分線的方程為，
即；
【小問3詳解】
當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線，符合題意；
當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，
由過點(diǎn)，則，解得，
所以直線方程為，即，
綜上所述，直線的方程為或.
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線被圓截得弦長為，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求線段的垂直平分線所在直線的方程，進(jìn)而求圓心和半徑，即可得方程；
（2）由垂徑定理可得圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋闹悬c(diǎn)為，且直線的斜率，
則線段的垂直平分線所在直線的方程為，
聯(lián)立方程，解得，
即圓心，，
所以，圓的方程為.
【小問2詳解】
因?yàn)橹本€被曲線截得弦長為，
則圓心到直線的距離，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.
18. 已知圓，直線過點(diǎn).
（1）求圓的圓心坐標(biāo)及半徑長；
（2）若直線與圓相切，求直線的方程；
（3）設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，求AB.
【答案】（1）圓心坐標(biāo)為3,4，半徑長為.
（2）或.
（3）.
【解析】
【分析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出圓心坐標(biāo)以及半徑長；
（2）討論直線的斜率不存在與存在兩種情況，不存在時(shí)設(shè)出直線方程根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解即可；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出長，再根據(jù)勾股定理求解即可.
【小問1詳解】
圓方程可化為:，圓心坐標(biāo)為3,4，半徑長為.
【小問2詳解】
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=1，圓心3,4到直線距離為，滿足題意．
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程是y=kx?1，即.
由圓心到直線的距離等于半徑得，，解得，
此時(shí)直線的方程為.
綜上，直線的方程為x=1或.
【小問3詳解】
∵圓的圓心坐標(biāo)為3,4，，
∴.
如圖，由相切得，，，
∴.
19. 如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，證明，從而得出平面；
（2）求得直線的方向向量，由（1）知平面的法向量，結(jié)合線面角的向量公式即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?底面，所以，，兩兩相互垂直，
如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得A0,0,0，，，，，，
，，，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，則，
故，即，則，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
【小問2詳解】
由（1）得直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
20. 如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形是菱形，，得到，證明出平面，再證明出四邊形是平行四邊形，故，所以平面；
（2）證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面與平面夾角余弦值；
（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，作出輔助線，得到四點(diǎn)共面，四邊形為平行四邊形，所以，所以是的中點(diǎn)，求出.
【小問1詳解】
如圖，在梯形ABCD中，連接DE，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以，
又，所以，
又因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危?br>因?yàn)?，所以四邊形是菱形，從而?br>沿著AE翻折成后，有
又平面，所以平面，
由題意，易知，所以四邊形是平行四邊形，
故，所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫?，平面，則有，
由（1）知，故兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以為等邊三角形，同理也為等邊三角形?br>則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x,y,z，
則，
令得，故，
又平面的一個(gè)法向量為，
則，
故平面與平面夾角的余弦值為；
【小問3詳解】
假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，
過點(diǎn)作交于，連接，如圖所示：
所以，所以四點(diǎn)共面，
又因?yàn)槠矫?，所以?br>所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以是的中點(diǎn)，
故線段上存在點(diǎn)，使得平面，且.
21. “曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若，，則
（1）①點(diǎn)，，求的值．
②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
（2）已知點(diǎn)，直線，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；
（3）設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為，，且，，．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．
【答案】（1）①7；
②；
（2）2； （3）2，，，，.
【解析】
【分析】（1）①②根據(jù)“曼哈頓距離”的定義求解即可；
（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，然后表示，分類討論求的最小值；
（3）將的所有情況看做正方體的八個(gè)頂點(diǎn)，列舉出不同情況的，即可得到的最小值.
【小問1詳解】
①；
②設(shè)“曼哈頓單位圓”上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即.
【小問2詳解】
設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上所述，的最小值為2.
【小問3詳解】
如圖，為正方體，邊長為1，則對(duì)應(yīng)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)，
當(dāng)四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)面上時(shí)，
（i）例如：，此時(shí)；
（ii）例如：，此時(shí)；
當(dāng)四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面時(shí)，
（iii）例如：，此時(shí)；
（iiii）例如：，此時(shí)；
（iiiii）例如：，此時(shí)；
（iiiiii）例如：，此時(shí)；
綜上所述，的最大值為2，例如：，，，.

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北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

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2022-2023學(xué)年北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）
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