1.已知向量m=(?3,2,4)，n=(1,?3,?2)，則|m+n|=( )
A. 2 2B. 8C. 3D. 9
2.直線2x+y+7=0在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則a、b的值是( )
A. a=?7，b=?7B. a=?7，b=?72
C. a=?72，b=7D. a=?72，b=?7
3.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，若AC1=aAB+2bAD+3cA1A，則abc的值等于( )
A. 16B. 56C. 76D. ?16
4.方程x2+y2+ax?2by+c=0表示圓心為C(2,2)，半徑為2的圓，則a，b，c的值依次為( )
A. 4、2、4B. ?4、2、4C. ?4、2、?4D. 4、?2、?4
5.已知a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是( )
A. 若a//α，a//b，則b//αB. 若a//α，a//β，則α//β
C. 若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥βD. 若a⊥α，b⊥α，則a//b
6.若直線l1：ax+3y+1=0與直線l2：2x+(a+1)y+1=0互相平行，則a的值是( )
A. ?3B. 2C. ?3或2D. 3或?2
7.一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài)).將容器放倒(如圖乙，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時(shí)水面所在的平面與各棱交點(diǎn)E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為( )
A. 3B. 2C. 3 32D. 94
8.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2+y2≤1，若將軍從點(diǎn)A(2,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為( )
A. 10?1B. 2 5?1C. 2 5D. 10
9.已知?jiǎng)又本€l與圓O：x2+y2=16交于A、B兩點(diǎn)，且∠AOB=120°.若l與圓(x?2)2+y2=25相交所得的弦長(zhǎng)為t，則t的最大值與最小值之差為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線W的方程是 x2+y2+|y|=1，P為W上的任意一點(diǎn)，給出下面四個(gè)命題：
①曲線W上的點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱；
②曲線W上兩點(diǎn)間的最大距離為2 2；
③|OP|的取值范圍為[12,1]；
④曲線W圍成的圖形的面積小于23．
則以上命題中正確命題為( )
A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④
二、填空題：本題共5小題，每小題6分，共30分。
11.直線l：x+ 3y?1=0的傾斜角為_(kāi)_____，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1, 3)且與直線l垂直的直線方程為_(kāi)_____．
12.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則在正方體的頂點(diǎn)中，滿足到平面A1DB的距離為 33的一個(gè)頂點(diǎn)為_(kāi)_____．
13.直線l過(guò)點(diǎn)(?4,0)且與圓(x+1)2+(y?2)2=9相切，那么直線l的方程為 ．
14.設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)M的直線l1：x+my?3m?1=0與過(guò)定點(diǎn)N的直線l2：mx?y?3m+1=0相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)M坐標(biāo)為_(kāi)_____，|PM|+|PN|的最大值為_(kāi)_____．
15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CM上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①平面CMN截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面圖形是五邊形；
②直線B1D1到平面CMN的距離是 22；
③存在點(diǎn)P，使得∠B1PD1=90°；
④△PDD1面積的最小值是5 56．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
三、解答題：本題共3小題，共36分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
16.(本小題12分)
如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AD//BC，AD⊥AB，AB= 2，AD=2，BC=4，AA1=2，點(diǎn)E是DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn)．
(1)證明：EF//A1D1；
(2)求直線BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值．
17.(本小題12分)
已知圓C過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(1,3)，圓心在x軸上．
(1)求圓C的方程；
(2)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且l被圓C截得的弦長(zhǎng)為6，求直線l的方程；
(3)過(guò)圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點(diǎn)為N，若向量OQ=OM+ON，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
18.(本小題12分)
圖1是邊長(zhǎng)為 2的正方形ABCD，將△ACD沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐P?ABC，且PB= 2．

(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M?BC?A的余弦值為5 39，若存在，求出AMAP的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.D
6.A
7.D
8.B
9.D
10.B
11.5π6 3x?y=0
12.點(diǎn)A(A,B1,D1,C中任填一個(gè)即可)(答案不唯一)
13.x=4或5x+12y+20=0
14.(1,3) 4
15.①③
16.(1)證明：因?yàn)镃1B1//A1D1，C1B1?平面ADD1A1，A1D1?平面ADD1A1，
所以則C1B1/?/平面ADD1A1，
又因?yàn)镃1B1?平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，所以C1B1//EF，
所以EF//A1D1；
(2)因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，A1B1⊥A1D1，A1D1//C1B1，所以A1B1⊥C1B1，
故以點(diǎn)B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A1B1，C1B1，BB1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則B1(0,0,0),C1(0,4,0),E( 2,2,1),B(0,0,2)，
B1C1=(0,4,0),B1E=( 2,2,1),BC1=(0,4,?2)，
設(shè)平面B1C1EF的法向量為n=(x,y,z)，
則B1C1?n=0B1E?n=0，即4y=0 2x+2y+z=0，
取x=1，則y=0，z=? 2，則n=(1,0,? 2)，
設(shè)直線BC1與平面B1C1EF所成的角為θ，
則sinθ=|cs?BC1,n?|=|BC1?n||BC1|?|n|=2 22 5× 3= 3015，
故直線BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值為 3015．
17.解：(1)已知圓C過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(1,3)，圓心在x軸上，
設(shè)圓心為C(a,0)，由題意可得|OC|=|AC|，
則|a|= (a?1)2+(0?3)2，解得a=5，所以圓C的半徑為|a|=5，
故圓C的方程為(x?5)2+y2=25；
(2)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且l被圓C截得的弦長(zhǎng)為6，
由題意可知，圓心C到直線l的距離為d= 52?32=4，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，
此時(shí)，圓心C到直線l的距離為4，合乎題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y?1=k(x?1)，即kx?y+1?k=0，
由題意可得|5k+1?k| k2+1=|4k+1| k2+1=4，解得k=158，
此時(shí)，直線l的方程為y?1=158(x?1)，即15x?8y?7=0；
綜上所述，直線l的方程為x=1或15x?8y?7=0；
(3)過(guò)圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點(diǎn)為N，若向量OQ=OM+ON，
設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)，其中x0≠0，則N(x0,0)，設(shè)點(diǎn)Q(x,y)，

因?yàn)镺Q=OM+ON，則(x,y)=(x0,y0)+(x0,0)=(2x0,y0)，
可得x=2x0y=y0，可得x0=x2y0=y，
因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C上，則(x0?5)2+y02=25，即(x2?5)2+y2=25，
故點(diǎn)Q的軌跡方程為(x?10)2+4y2=100(x≠0)．
18.(1)證明：在圖1中，連接BD，交AC于點(diǎn)O，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為 2的正方形，所以AC⊥BD，AC=2，
在圖2中，有AC⊥PO，AC⊥BO，PO=BO=12AC=1，
因?yàn)镻B= 2，所以PO2+BO2=PB2，即PO⊥OB，
又AC∩BO=O，PO∩AC=O，PO、AC?平面PAC，
所以PO⊥平面ABC，
因?yàn)镻O?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．
(2)解：由(1)知，OB，OA，OP兩兩垂直，
故以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,1,0)，C(0,?1,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，
所以AP=(0,?1,1)，AB=(1,?1,0)，CB=(1,1,0)，
假設(shè)在棱PA上存在點(diǎn)M，滿足AM=λAP,λ∈[0,1]，使得二面角M?BC?A的余弦值為5 39，
則BM=AM?AB=λ(0,?1,1)?(1,?1,0)=(?1,1?λ,λ)，
設(shè)平面MBC的法向量為n=(x,y,z)，則CB?n=x+y=0BM?n=?x+(1?λ)y+λz=0，
取x=λ，則y=?λ，z=2?λ，所以n=(λ,?λ,2?λ)，
易知平面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1)，
所以|cs?m,n?|=|m?n||m|?|n|=|2?λ| 3λ2?4λ+4=5 39，化簡(jiǎn)得6λ2+λ?1=0，
解得λ=13或λ=?12(舍去)，
所以AM=13AP，
即棱PA上存在點(diǎn)M，當(dāng)AMAP=13時(shí)，二面角M?BC?A的余弦值為5 39．

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