1．下列圖形是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，要使△ABC≌△CDA，可添加下列選項中的（ ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB∥CDD．∠B＝∠CAB
3．點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，點Q是OB邊上的任意一點，下列選項正確的是（ ）
A．PQ＜5B．PQ＞5C．PQ≥5D．PQ≤5
4．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．，，
C．32，42，52D．8，15，17
5．下列整數(shù)中，最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．如圖，A，B，C三個村莊圍成了一個三角形，想在△ABC的內(nèi)部建一個超市，且超市到三個村莊的距離相等，則此超市應(yīng)建在（ ）
A．△ABC三條高的交點處
B．△ABC三條角平分線的交點處
C．△ABC三條邊垂直平分線的交點處
D．△ABC三條中線的交點處
7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AFG與△ABC關(guān)于直線DE成軸對稱，∠CAE＝10°，連接BF，則∠ABF的度數(shù)是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
8．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是線段AB上一個動點，以BD為邊在△ABC外作等邊△BDE．若F是DE的中點，當CF取最小值時，△BDE的周長為（ ）
A．12B．16C．18D．20
二.填空題（每小題2分，共20分）.
9．16的平方根是 ．
10．已知等腰三角形的頂角等于50°，則底角的度數(shù)為 度．
11．如圖，△ABC≌△DEF，且∠A＝55°，∠B＝75°，則∠F＝ °．
12．已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是x和x﹣6，則這個正數(shù)等于 ．
13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊AC，AB于點M、N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝4，AB＝25，則△ABD的面積為 ．
14．如圖，△ABC為等邊三角形．若以BC為直角邊向外作等腰直角三角形BCD，∠BCD＝90°，則∠BAD＝ °．
15．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，則丁的面積為 ．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AB＝10，AD＝2，則CD的長度是 ．
17．我們把三角形中最大內(nèi)角與最小內(nèi)角的度數(shù)差稱為該三角形的“內(nèi)角正度值”．如果等腰三角形的腰長為2，“內(nèi)角正度值”為45°，那么該三角形的面積等于 ．
18．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，點P從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點運動，終點為B點，點Q從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點運動，終點為A點，點P和Q分別以2cm/s和3cm/s的運動速度同時開始運動，兩點都要到達相應(yīng)的終點時才能停止運動，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)運動時間為t秒，要使以點P，E，C為頂點的三角形與以點Q，F(xiàn)，C為頂點的三角形全等，則t的值為 ．
三.解答題（共64分）
19．（8分）計算
（1）；
（2）．
20．（8分）求x的值：
（1）4x2﹣9＝0；
（2）（x+1）3＝﹣8．
21．（8分）如圖，△ABC與△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上，BE＝CF，∠A＝∠D，AC∥DF，求證：AC＝DF．
22．（8分）如圖，有一個繩索拉直的木馬秋千，秋千繩索AB的長度為5米，若它往水平方向向前推進了3米（即DE＝3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，求此時木馬上升的高度．
23．（6分）如圖，已知△ABC，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（1）作∠B的平分線，交AC于點D；
（2）在線段BC上求作一點E，使得∠AEB＝2∠C．
24．（8分）如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點，AB＝8，AC＝6．求四邊形AEDF的周長．
25．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點P在AC上運動，點D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．
（1）求∠PDE的度數(shù)；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求線段DE的長．
26．（10分）折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖1），怎樣證明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的平分線AD翻折，因為AB＞AC，所以點C落在AB上的點C處（如圖2）．于是，由∠ACD＝∠C，∠ACD＞∠B，可得∠C＞∠B．
【感知】
（1）如圖2，在△ABC中，若∠B＝35°，∠C＝70°，則∠C′DB＝ °．
【探究】
（2）若將圖2中AD是角平分線的條件改成AD是高線，其他條件不變（圖3），即在△ABC中，∠C＝2∠B，AD⊥BC，請?zhí)剿骶€段AC、BC、CD之間的等量關(guān)系，并說明理由．
【拓展】
（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝5，點P是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），將△APC沿AP翻折，點C的對應(yīng)點是點C′．若以B、C、C′為頂點的三角形是直角三角形，直接寫出BP的長度 ．
2024-2025學(xué)年江蘇省常州市新北區(qū)北郊中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
詳細答案
一.選擇題（每小題2分，共16分）.
1．【解答】解：A，B，C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：D．
2．【解答】解：A、添加AB＝CD，不能證明△ABC≌△CDA，不符合題意；
B、添加AD＝BC，不能證明△ABC≌△CDA，不符合題意；
C、添加AB∥CD，得出∠BAC＝∠DCA，利用AAS證明△ABC≌△CDA，符合題意；
D、添加∠B＝∠CAB，不能證明△ABC≌△CDA，不符合題意；
故選：C．
3．【解答】解：∵點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，
∴點P到OB的距離為5，
∵點Q是OB邊上的任意一點，
∴PQ≥5．
故選：C．
4．【解答】解：∵0.3，0.4，0.5與，，三個數(shù)不是正整數(shù)，
∴這組數(shù)不是勾股數(shù)，
∴AB不符合題意；
∵92+162≠252，
∴這組數(shù)不是勾股數(shù)，
∴C不符合題意；
∵82+152＝172，
∴這組數(shù)是勾股數(shù)，
∴D符合題意；
故選：D．
5．【解答】解：∵4＜＜5，且4.52＝20.25，
∴最接近的是4．
故選：C．
6．【解答】解：根據(jù)線段垂直平分線的判定可知：和一條線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，
可知超市應(yīng)建在△ABC三條邊的垂直平分線的交點處．
故選：C．
7．【解答】解：∵△AFG與△ABC關(guān)于直線DE成軸對稱，
∴△AFG≌△ABC，
∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠AFG＝∠AGF＝70°，
∴∠BAC＝∠GDF＝40°，
∵∠CAE＝10°，
∴∠GAE＝10°，
∴∠BAF＝40°+10°+10°+40°＝100°，
∴∠ABF＝∠AFB＝40°．
故選：C．
8．【解答】解：連接BF，過點C作CH⊥BF．交BF的延長線于H，
∵△BDE是等邊三角形，點F是DE的中點，
∴∠ABF＝30°，
∴點F在射線BF上運動，
當點F與點H重合時，CF最小，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12，
∵∠ABF＝30°，
∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°，
∴△ACD'是等邊三角形，
∴AD'＝AC＝6，
∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6，
∴△BDE的周長為：18，
故選：C．
二.填空題（每小題2分，共20分）.
9．【解答】解：∵42＝16，（﹣4）2＝16，
∴16的平方根是±4，
故答案為：±4．
10．【解答】解：∵等腰三角形的頂角等于50°，兩個底角相等，
∴底角的度數(shù)＝×（180°﹣50°）＝65°．
故答案為：65．
11．【解答】解：∵∠A＝55°，∠B＝75°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝50°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F＝50°，
故答案為：50．
12．【解答】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根是x和x﹣6，
∴x+x﹣6＝0，
解得x＝3，
∴x﹣6＝﹣3，
∴這個正數(shù)為（±3）2＝9，
故答案為：9．
13．【解答】解：過點D作DH⊥AB于點H，
由作圖可得，AD平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∴CD＝DH＝4，
∵AB＝25，
∴△ABD的面積為，
故答案為：50．
14．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠ACD＝60°+90°＝150°，
∵AC＝BC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝45°，
故答案為：45°．
15．【解答】解：連接AC，
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，
∴甲的面積+乙的面積＝丙的面積+丁的面積，
∵甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，
∴丁的面積為30+16﹣17＝29．
故答案為：29．
16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE為AB邊上的中線，AB＝10，
∴CE＝AE＝BE＝AB＝5，
∵AD＝2，
∴DE＝AE﹣AD＝5﹣2＝3，
∵CD為AB邊上的高，
∴∠ADE＝90°，
∴CD＝＝＝4，
故答案為：4．
17．【解答】解：設(shè)最小角為x，則最大角為x+45°，
當頂角為x+45°時，則x+x+x+45°＝180°，解得x＝45°，所以此三角形為等腰直角三角形，此三角形的面積＝×2×2＝2；
當頂角為x時，則x+x+45°+x+45°＝180°，解得x＝30°，所以此三角形為頂角為30度的等腰三角形，如圖，AB＝AC＝2，∠A＝30°，
作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A＝30°，
∴CD＝AC＝1，
∴三角形ABC的面積＝CD?AB＝×1×2＝1，
綜上所述，該三角形的面積等于1或2．
故答案為1或2．
18．【解答】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F，
∴∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠QCF+∠CQF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠PCE＝∠CQF，
①當0≤t＜4時，點P在AC上，點Q在BC上，如圖，
此時有AP＝2t cm，BQ＝3t cm，AC＝8cm，BC＝14cm．
當PC＝QC即8﹣2t＝14﹣3t，
解得t＝6，不合題意舍去；
②當4＜t＜5時，點P在BC上，點Q也在BC上，如圖，
若PC＝QC，則點P與點Q重合，即2t﹣8＝14﹣3t，
解得t＝；
③當5≤t＜時，點P在BC上，點Q在AC上，如圖，
當PC＝QC即2t﹣8＝3t﹣14，
解得t＝6；
④當≤t＜7時，點Q停在點A處，點P在BC上，如圖，
當PC＝QC即2t﹣8＝8，
解得t＝8；
綜上所述：當t等于或6或8時，以點P，E，C為頂點的三角形與以點Q，F(xiàn)，C為頂點的三角形全等．
故答案為：或6或8．
三.解答題（共64分）
19．【解答】解：（1）原式＝3+2﹣
＝；
（2）原式＝2+﹣1﹣1
＝．
20．【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
，
x＝±；
（2）（x+1）3＝﹣8，
x+1＝﹣2，
x＝﹣3．
21．【解答】證明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC．
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF．
22．【解答】解：過點C作CF⊥AB于點F，如圖所示，
根據(jù)題意得：AB＝AC＝5米，CF＝DE＝3米，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF2＝AC2﹣CF2＝52﹣32＝16，
∴AF＝4（米），
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1（米），
此時木馬上升的高度為1米．
23．【解答】解：（1）如圖，射線BD即為所求；
（2）如圖，點E即為所求．
24．【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分別是AB、AC的中點，
∴ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴AE+ED＝8，AF+DF＝6，
∴四邊形AEDF的周長為8+6＝14，
故答案為：14．
25．【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，
則∠A+∠B＝90°，
∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∴∠CPD＝∠A+∠PDA＝2∠A，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴ED＝EB，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠CED＝∠B+∠EDB＝2∠B，
∴∠CPD+∠CED＝2（∠A+∠B）＝180°，
∴∠PDE＝360°﹣180°﹣90°＝90°；
（2）如圖，連接PE，
∵AC＝6，PA＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE＝8﹣DE，
則PC2+CE2＝PD2+DE2，即42+（8﹣DE）2＝22+DE2，
解得：DE＝．
26．【解答】解：（1）∵∠AC′D＝∠B+∠C′DB，∠B＝35°，∠C＝70°，
∴∠C＝∠AC′D＝70°，
∴∠C′DB＝∠AC′D﹣∠B＝70°﹣35°＝35°，
故答案為：35；
（2）BC＝AC+2CD，理由如下，
如圖，將△ADC沿AD折疊，
∵AD⊥BC，
∴C點落在BD上的點C′處，
∴AC＝AC′，CD＝C′D，∠AC′D＝∠C，
∵∠AC′D＝∠C′AB+∠B，∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠BAC′
∴C′A＝C′B＝AC，
∴BC＝BC′+C′C＝AC′+2CD＝AC+2CD，
即BC＝AC+2CD；
（3）依題意，∵點P在BC上，以B，C，C′為頂點的三角形若為直角三角形，則點C不為直角頂點，分兩種情況討論，
①若∠C′BC＝90°，如圖，過點C′作C′D⊥AC于點D，
∵AC′＝AC＝5，C′B⊥BC，AC⊥BC，
∴C′D＝BC＝4，
在Rt△ADC′中，，
∴C′B＝DC＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
設(shè)BP＝x，則PC＝PC′＝4﹣x，
在△BPC′中，PC′2＝BP2+BC′2，
（4﹣x）2＝x2+22，
解得，
即，
②若∠BC′C＝90°，如圖，
∵PC＝PC′，
∴∠PCC′＝∠PC′C，
∴∠C′BC＝90°﹣∠PCC′，∠PC′B＝90°﹣∠PC′C，
∴∠PBC′＝∠PC′B，
∴PC′＝PB，
∴，
綜上所述，BP＝或2．

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