2022-2023學(xué)年江蘇省常州市天寧區(qū)北郊中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  數(shù)學(xué)世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對象之一，下列數(shù)學(xué)曲線是中心對稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 2.  年月日，“天宮課堂”第三課在問天實驗艙內(nèi)開講某校名學(xué)生在線觀看了“天宮課堂”第三課，并參與了關(guān)于“你最喜愛哪一個太空實驗？”的問卷調(diào)查若從中隨機抽取名學(xué)生的問卷調(diào)查情況進(jìn)行統(tǒng)計分析，則以下說法不正確的是(    )A. 名學(xué)生是總體 B. 名學(xué)生選擇的太空實驗是樣本
C. 是樣本容量 D. 每一名學(xué)生選擇的太空實驗是個體3.  連續(xù)三次拋擲一枚硬幣都是正面朝上，則第四次拋擲正面朝上的是(    )A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 隨機事件 D. 確定事件4.  分式有意義，則的取值范圍是(    )A.  B.  C. 且 D. 且5.  給出下列判斷，正確的是(    )A. 一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
B. 對角線相等的四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
D. 有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形為菱形．6.  我國古代著作四元玉鑒記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為文．如果每株椽的運費是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，在中，，將在平面內(nèi)繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 8.  在邊長為的正方形的邊上有一個動點，從出發(fā)沿折線移動一周，回到點后繼續(xù)周而復(fù)始設(shè)點移動的路程為，的面積為請結(jié)合右側(cè)函數(shù)圖象分析當(dāng)時，的值為(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）9.  若分式的值為零，則的值為______．10.  若，則代數(shù)式的值是        ．11.  如圖，平行四邊形中，和交于點，若，，則邊長的取值范圍是______ ．
 12.  某射箭運動員在同一條件下的射箭記錄計如下：射箭次數(shù)“射中環(huán)以上”次數(shù)根據(jù)以上統(tǒng)計結(jié)果．估計這名運動員射擊一次時“射中環(huán)以上”的概率為______結(jié)果保留小數(shù)點后一位13.  關(guān)于的方程有增根，則的值是______ ．14.  若分式的值是整數(shù)，則可以取最小整數(shù)的值是______．15.  如圖，在邊長為的正方形中，點、分別是邊，的中點，連接，，點、分別是，的中點，連接，則的長度為______ ．
 16.  如圖，在菱形中，，，點和點分別在邊和邊上運動，且滿足，則的最小值為______．
 三、解答題（本大題共9小題，共68.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
化簡：
；
．18.  本小題分
解方程：
；
．19.  本小題分
先化簡，再求值：，請選擇一個合適的整數(shù)作為的值代入求值．20.  本小題分
用電腦程序控制小型賽車進(jìn)行米比賽，“暢想號”和“和諧號”兩輛賽車進(jìn)入了決賽．比賽前的練習(xí)中，“暢想號”從起點出發(fā)秒后，“和諧號”才從起點出發(fā)，結(jié)果“和諧號”遲到秒到達(dá)終點．已知“和諧號”是“暢想號”的平均速度的倍，“暢想號”的平均速度是多少？21.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．
若與關(guān)于原點成中心對稱點，，分別與點，，對應(yīng)，試在圖中畫出；
將以為中心順時針旋轉(zhuǎn)得到，試在圖中畫出；
若可由以點為中心旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標(biāo)是______．
22.  本小題分
隨著通訊技術(shù)迅猛發(fā)展，人與人之間的溝通方式更多樣，更便捷為此，李老師設(shè)計了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問卷每人必選且只選一種某校九年級班同學(xué)利用周末對全校師生進(jìn)行了隨機訪問，并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題：
這次參與調(diào)查的共有        人，在扇形統(tǒng)計圖中，表示“微信”的扇形圓心角的度數(shù)為        ；
將條形統(tǒng)計圖補充完整；
如果該校有人在使用手機：
在該校師生中隨機抽取一人，用頻率估計概率，抽取的恰好使用“”的概率是        ．
請估計該校最喜歡用“微信”進(jìn)行溝通的人數(shù)；
 23.  本小題分
如圖，在四邊形中，，對角線的垂直平分線與邊、分別相交于點、，連接、．
求證：四邊形是菱形；
若四邊形的周長為，，求的長．
24.  本小題分
閱讀：對于兩個不等的非零實數(shù)、，若分式的值為零，則或又因為，所以關(guān)于的方程有兩個解，分別為，．(    )
應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：
方程的兩個解分別為、，則 ______ ， ______ ；
方程的兩個解中較大的一個為______ ；
關(guān)于的方程的兩個解分別為、，求的值．25.  本小題分
如圖，在矩形中，已知，，動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿線段向終點運動，運動時間為秒，連接，把沿著翻折得到．
如圖，射線恰好經(jīng)過點，試求此時的值；
當(dāng)射線與邊交于點時，是否存在這樣的的值，使得？若存在，請求出所有符合題意的的值；若不存在，請說明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
【解答】
解：選項A、、都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，
選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，
故選：．  2.【答案】 【解析】A、名學(xué)生的問卷調(diào)查結(jié)果是總體，說法錯誤，故A符合題意；
B、名學(xué)生選擇的太空實驗是樣本，說法正確，故B不合題意；
C、是樣本容量，說法正確，故B不合題意；
D、每一名學(xué)生選擇的太空實驗是個體，說法正確，故D不合題意．
故選：．
根據(jù)統(tǒng)計中的總體，樣本，個體，樣本容量，逐一判斷選項，即可．
本題主要考查了統(tǒng)計中的總體，樣本，個體，樣本容量，熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：“第四次拋擲正面朝上”是隨機事件．
故選：．
根據(jù)隨機事件的定義即可判斷．
本題考查了隨機事件的定義，掌握必然事件、不可能事件、隨機事件的概念是關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：分式有意義，
，
．
故選：．
根據(jù)分式有意義的條件列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．
本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟練掌握各判定定理是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行四邊形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】
解：、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，可能是等腰梯形，故不符合題意；
B、對角線相等且平分的四邊形是矩形，故不符合題意；
C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故不符合題意；
D、有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形為菱形，故符合題意，
故選：．  6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)單價總價數(shù)量，結(jié)合少拿一株椽后剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．
【解答】
解：依題意，得：．
故選：．  7.【答案】 【解析】解：，
，
繞點旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
．
故選：．
根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形兩底角相等求，再根據(jù)、都是旋轉(zhuǎn)角解答．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：點在正方形的邊上每運動一周，則的值增加，
周單位長度，
當(dāng)時，點位于上距離點個單位長度處，
，
故選：．
觀察函數(shù)圖象可知，點在正方形的邊上每運動一周，則的值增加，而周單位長度，則當(dāng)時，點位于上距離點個單位長度處，于是可以求得的面積為，即，得到問題的答案．
此題考查動點問題的函數(shù)圖象，掌握正方形的性質(zhì)、三角形的面積公式、一次函數(shù)的圖象、動點問題的求解等知識與方法是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：分子為；分母不為這兩個條件缺一不可．
分式的值為零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到且，從而得到的值．
【解答】
解：依題意得：且，
解得．
故答案為：．  10.【答案】 【解析】解：原式，
，
，
，
原式

．
故答案為：．
根據(jù)分式的乘除運算法則把原式化簡，把的值代入計算即可．
本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則以及運用整體代入的思想求值是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
．
故答案為：．
由平行四邊形中，對角線和交于點，若，，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，即可求得與的值，又由三角形的三邊關(guān)系，即可求得答案．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．注意平行四邊形的對角線互相平分是解此題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在附近，
這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率是．
故答案為：．
根據(jù)大量的試驗結(jié)果穩(wěn)定在左右即可得出結(jié)論．
本題主要考查的是利用頻率估計概率，熟知大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解答此題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：去分母得：，
解得，
由分式方程有增根，得到，即，
，
解得：．
故答案為：．
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，求出的值，代入整式方程計算即可求出的值．
此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
 14.【答案】 【解析】解：分式的值是整數(shù)，
，，，
，，，，，
的最小整數(shù)的值為．
故答案為：．
先根據(jù)分式的值為整數(shù)，求出所有的的值，從而得到答案．
本題考查了分式的值，解題的關(guān)鍵是先求出所有滿足條件的的值．
 15.【答案】 【解析】解：連接并延長交于，連接，

四邊形是正方形，
，，，
，分別是邊，的中點，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
點，分別是，的中點，
．
連接并延長交于，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，連接，作點關(guān)于的對稱點，連接，交于，連接，，

在菱形中，，
，，
是等邊三角形，
點，點關(guān)于對稱，
，，
，
又是等邊三角形，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
當(dāng)點，，三點共線時，的最小值為的長，
，
故答案為：．
由“”可證≌，可得，則，即當(dāng)點，，三點共線時，的最小值為的長，由勾股定理可求解．
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式


；
原式


． 【解析】根據(jù)分式的加減法則進(jìn)行計算即可；
先算括號里面的，再算括號外面的即可．
本題考查的是分式的加減法，熟知分式的加減法則是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：去分母得：，
解得：，
檢驗：把代入得：，
分式方程的解為；
去分母得：，
解得：，
檢驗：把代入得：，
分式方程無解． 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．
 19.【答案】解：原式

，
要使原式有意義，且，即且，
當(dāng)時，原式． 【解析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件選擇一個合適的整數(shù)代入計算即可．
本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則、分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：設(shè)“暢想號”的平均速度為米秒，則“和諧號”的平均速度的米秒，
由題意得，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解．
答：“暢想號”的平均速度米秒． 【解析】設(shè)“暢想號”的平均速度為米秒，則“和諧號”的平均速度的米秒，根據(jù)“暢想號”從起點出發(fā)秒后，“和諧號”才從起點出發(fā)，結(jié)果“和諧號”遲到秒到達(dá)終點，可得方程，解出即可．
本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到等量關(guān)系．
 21.【答案】 【解析】解：如圖所示：

解：如圖所示：

解：點的位置如圖所示：

由圖可知，點的坐標(biāo)為．
故答案為：．
根據(jù)成中心對稱的兩個圖形的特征，即可畫出圖形；
根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，即可畫出圖形；
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可找到點，從而求出點的坐標(biāo)．
本題主要考查了作圖旋轉(zhuǎn)、成中心對稱，作已知兩個圖形的旋轉(zhuǎn)中心，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的作圖方法．
 22.【答案】     【解析】解：這次參與調(diào)查的共有人，
最喜歡用“短信”進(jìn)行溝通的人數(shù)為人，
最喜歡用“微信”進(jìn)行溝通的人數(shù)為人，
表示“微信”的扇形圓心角的度數(shù)為，
故答案為：，；
補全條形統(tǒng)計圖如下：

抽取的恰好使用“”的概率，
答：抽取的恰好使用“”的概率是，
故答案為：；
該校最喜歡用“微信”進(jìn)行溝通的人數(shù)為人，
答：該校最喜歡用“微信”進(jìn)行溝通的人數(shù)為人．
根據(jù)最喜歡用“電話”進(jìn)行溝通的人數(shù)除以它所占的比例求出總?cè)藬?shù)為人，再求出最喜歡用“短信”進(jìn)行溝通的人數(shù)和最喜歡用“微信”進(jìn)行溝通的人數(shù)，再求圓心角度數(shù)即可；
根據(jù)數(shù)據(jù)直接補全統(tǒng)計圖即可；
用使用的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可；
全?？?cè)藬?shù)乘以最喜歡用“微信”進(jìn)行溝通的人數(shù)所占比例即可．
本題考查了條形統(tǒng)計圖：條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來．從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較．也考查了扇形統(tǒng)計圖和利用樣本估計總體．
 23.【答案】證明：，
．
直線是對角線的垂直平分線，
，．
在和中，
，
≌，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
解：菱形的周長為，
，
又，
，
在中，由勾股定理得，
，
． 【解析】【分析】證≌，得出，由，證出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出結(jié)論；
由菱形的周長得到菱形的邊長，由菱形的性質(zhì)及得到，在中由勾股定理得到的長，進(jìn)而得到的長．
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．  24.【答案】     【解析】解：方程的兩個解分別為、，
，，
故答案為：，；
設(shè)方程的兩個解為，，
則，，
，或，，
兩個解中較大的一個為；
故答案為：；


，
或，
或，
，
，，
．
根據(jù)材料可得：，，計算出結(jié)果；
設(shè)方程的兩個解為，，同理得，，解出可得結(jié)論；
將原方程變形后變?yōu)椋?/span>，未知數(shù)變?yōu)檎w，根據(jù)材料中的結(jié)論可得：，，代入所求式子可得結(jié)論．
此題考查了分式方程的解，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：如圖，

，
，
由軸對稱得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
；
存在，分兩種情況：
當(dāng)點在矩形內(nèi)部時，過作于，過作于，如圖，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得；
當(dāng)點在矩形的外部時，如圖：

，
，
，，
，即，
，
此時與重合，
綜上，存在這樣的值，使得，的值為或． 【解析】先證明，得，根據(jù)勾股定理得，由，可得結(jié)論；
分兩種情況：點在矩形的內(nèi)部和外部，根據(jù)等量關(guān)系列方程可解答．
本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、幾何動點問題，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會正確畫出圖形，學(xué)會分類討論，充分利用軸對稱的性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題．
 

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2019~2020學(xué)年江蘇常州天寧區(qū)北郊初級中學(xué)初一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(詳解) PDF版
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