2022-2023學(xué)年江蘇省常州市鐘樓區(qū)北郊初級中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 下列選項中表示兩個全等圖形的是(    )A. 形狀相同的兩個圖形 B. 能夠完全重合的兩個圖形
C. 面積相等的兩個圖形 D. 周長相等的兩個圖形如圖，≌，，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，、、、四點在一條直線上，，，再添一個條件仍不能證明≌的是(    )
A.  B.  C.  D. 工人師傅常用角尺平分一個任意角．做法如下：如圖，是一個任意角，在邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點，重合，過角尺頂點作射線由此作法便可得≌，其依據(jù)是(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖，一棵大樹在一次強臺風(fēng)中于離地面米處折斷倒下，倒下部分與地面成夾角，這棵大樹在折斷前的高度為(    )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米如圖，在中，是的垂直平分線，，且的周長為，則的周長為．(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，在直角三角形中，，，點是的中點，將一塊銳角為的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與、重合，連接、下列判斷正確的有(    )
≌；；；．A. 個 B. 個 C. 個 D. 個第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共10小題，共20.0分）直角三角形的兩條直角邊長分別為和，那么它的斜邊長是______．如圖，≌，，，則的度數(shù)為______．
 如圖，，，于，于，，，則的長度為______．
 若直角三角形兩條直角邊長為，，則斜邊上的高為______ ．如圖，在中，，，，，則______
 【教材例題】判斷由線段，組成的三角形是不是直角三角形：，，．
解：因為，．
所以，根據(jù)______，這個三角形不是直角三角形．在等腰三角形中，，則______．如圖，點是線段上的一點，分別以、為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)，兩個正方形的面積和，則圖中的面積為______．
 如圖，在中，，，，點為斜邊的中點，連接，將沿翻折，使落在點處，點為直角邊上一點，連接，將沿翻折，使點與點重合，則的長為______．
 野營活動中，小明用一塊等腰三角形的鐵皮代替鍋，烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅．烙好一面后把餅翻身，這塊餅仍能正好落在“鍋”中：小麗用直角三角形圖鐵皮，烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅．如果烙好一面后就把餅翻身，那么這塊餅不能正好落在“鍋”中．小麗將餅切了一刀，然后將兩小塊都翻身，結(jié)果餅就能正好落在“鍋”中：小紅如果用來烙餅的鐵皮圖，既不是等腰三角形也不是直角三角形，那么烙好一面后，小紅至少切______刀，將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中？
  三、解答題（本大題共8小題，共64.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
如圖是正方形網(wǎng)格，其中已有個小方格涂成了黑色，請在圖中個白色小方格中選出一個也涂成黑色，使黑色的圖形成為軸對稱圖形．
滿足中條件的白色小方格共有______個．
本小題分
如圖，點，，，在同一條直線上，，，求證：．
本小題分
如圖，在中，．
已知線段的垂直平分線與邊交于點，連接，求證：．
以點為圓心，線段的長為半徑畫弧，與邊交于點，連接若，求的度數(shù)．
 本小題分
如圖，為上一點，≌，，試判斷的形狀，并說明理由．
本小題分
如圖，中，是高，、分別是、的中點．
若，，求四邊形的周長；
求證：垂直平分．
本小題分
如圖，在中，點在上，且，為的中點，為的中點，連接交于點，連接．
求證：；
若，求證：．
本小題分
操作與探究
圖是由有個邊長為的正方形組成的，把它按圖的分割方法分割成部分后可拼接成一個大正方形內(nèi)部的粗實線表示分割線，請你在圖的網(wǎng)格中畫出拼接成的大正方形．

如果中分割成的直角三角形兩直角邊分別為，，斜邊為請你利用圖中拼成的大正方形證明勾股定理．
應(yīng)用：測量旗桿的高度
校園內(nèi)有一旗桿，小希想知道旗桿的高度，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)從頂端垂下一根拉繩，于是他測出了下列數(shù)據(jù)：測得拉繩垂到地面后，多出的長度為米；他在距離旗桿米的地方拉直繩子，拉繩的下端恰好距離地面米．請你根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)設(shè)計可行性方案，解決這一問題．畫出示意圖并計算出這根旗桿的高度本小題分
如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運動的時間為秒．

求邊的長；
當(dāng)為直角三角形時，求的值；
當(dāng)為等腰三角形時，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解．
【解答】
解：、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
D、是軸對稱圖形，故本選項正確．
故選：．  2.【答案】 【解析】解：、形狀相同的兩個圖形，不一定是全等圖形，故此選項錯誤；
B、能夠完全重合的兩個圖形，一定是全等圖形，故此選項正確；
C、面積相等的兩個圖形，不一定是全等圖形，故此選項錯誤；
D、周長相等的兩個圖形，不一定是全等圖形，故此選項錯誤；
故選：．
直接利用全等圖形的定義分析得出答案．
此題主要考查了全等圖形，正確把握全等圖形的定義是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：≌，
，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
本題考查了三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)角相等．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
即，
，
，
A.，
，
在和中，
，
≌，故本選項不符合題意；
B.在和中，
，
≌，故本選項不符合題意；
C.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本選項符合題意；
D.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，再根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．
本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有等．
 5.【答案】 【解析】解：在和中，
≌，
，
故選：．
由作圖過程可得，，再加上公共邊可利用定理判定≌．
此題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．
 6.【答案】 【解析】解：，，米，
米，
這棵大樹在折斷前的高度為米．
故選：．
由于倒下部分與地面成夾角，利用含角的直角三角形的性質(zhì)可求解．
此題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中的角所對的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：是的垂直平分線，，
，，
的周長為，
，
的周長，
故選：．
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．
本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：，點是的中點，
．
是等腰直角三角形，
，，，


，


．
在和中，
，，，
≌．
故正確；
全等三角形的對應(yīng)邊相等，
故正確；
全等三角形的對應(yīng)角相等，


，
．
故正確；
≌，
，
，
，
故錯．
故選：．
由是銳角為的直角三角板，得到相等的相等和的角，從而得到≌，由確定的性質(zhì)判斷其它三個選項是否正確．
本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和判斷，熟練運用全等三角形的性質(zhì)和判斷是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：斜邊長是：．
故答案是：．
利用勾股定理即可求解．
本題考查了勾股定理，理解定理的內(nèi)容是關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：≌，
，
，
，
，

，
故答案為：．
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出．
本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解決問題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：于，于，

，，
，，
，
，，
≌，
，，
，
．
故答案為．
先證明≌，得，，求出即可解決問題．
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等角的余角相等等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定，屬于中考?？碱}型．
 12.【答案】 【解析】解：根據(jù)勾股定理，斜邊長為：，
設(shè)斜邊上的高為，
則直角三角形的面積為：，
整理得，
解得．
故答案為：．
先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長度，再根據(jù)三角形的面積列式進行計算即可求解．
本題考查了勾股定理以及三角形的面積，根據(jù)三角形的面積列式求出斜邊上的高是常用的方法之一，需熟練掌握．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得的度數(shù)，又由，求得的度數(shù)，可求的度數(shù)，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求的度數(shù)．
此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
 14.【答案】勾股定理的逆定理 【解析】解：已知三邊判斷三角形是不是直角三角形，用勾股定理的逆定理．
故答案為：勾股定理的逆定理．
只有勾股定理的逆定理是已知三邊判斷三角形是不是直角三角形的．
本題考查的是勾股定理逆定理的運用，解題的關(guān)鍵是知道勾股定理的逆定理的作用．
 15.【答案】或或 【解析】解：已知等腰中，
若是頂角，則，
所以；
若是頂角，則，
所以；
若是頂角，則．
故答案為：或或．
分是頂角，是頂角，是頂角三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)角和定理求解．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：設(shè)，，
由題意得：，，
，
，
，
的面積．
圖中的面積為．
故答案為：．
設(shè)，，由題意得：，，再根據(jù)完全平方公式的變式，即可求出的值，根據(jù)直角三角形的面積計算方法即可得出答案．
本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．
 17.【答案】 【解析】解：，，，
，
由翻折可知：，，，，
，
，即，
，
設(shè)，則，
，
解得，即，
故答案為：．
在中，運用勾股定理算出的長度，根據(jù)翻折的特點，得到相等的相等和相等的角，得解直角三角形可得．
本題考查的是勾股定理和翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的特性，得到相等的線段和角．
 18.【答案】 【解析】解：如圖所示，作，平分，平分，
根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，
得，，，是等腰三角形，
將每一個三角形都翻身，及將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中，
故答案為：．
此題是怎樣將一個三角形切割成等腰三角形，根據(jù)題目給出的提示，先將既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形切成直角三角形，再作直角三角形斜邊上的中線．
本題考查的是等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
 19.【答案】 【解析】解：如圖所示，有個位置使之成為軸對稱圖形．

故答案為：．
根據(jù)軸對稱圖形的概念分別找出各個能成軸對稱圖形的小方格即可．
此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，此題關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的定義．
 20.【答案】證明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 【解析】利用證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用證明≌是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：線段的垂直平分線與邊交于點，
，
，
，
；

根據(jù)題意可知，
，
，，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可證得；
根據(jù)題意可知，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式即可解答．
本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，難度適中．
 22.【答案】解：是等腰直角三角形，
理由是：因為≌，
所以，，，
因為，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因為，
所以是等腰直角三角形． 【解析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，，根據(jù)勾股定理的逆定理得出，求出，即可求出答案．
本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理和勾股定理的逆定理，能正確根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．
 23.【答案】解：是高，、分別是、的中點，
，，
四邊形的周長；

證明：，，
垂直平分． 【解析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，再根據(jù)四邊形的周長的定義計算即可得解；
根據(jù)到到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上證明即可．
本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，熟記性質(zhì)與線段垂直平分線的判定方法是解題得解．
 24.【答案】證明：連接，如圖，

，為的中點，
，
為的中點，
；
證明：，
，
為的中點，
，
，
≌，
，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得；
根據(jù)“”證明≌，可得，進而可得結(jié)論．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活應(yīng)用定理是解決本題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：如圖所示即為拼接成的大正方形；



，
；
如圖，在四邊形中，，，比長米，米，米，求的長．

解：過點作，垂足為，
，，
，
四邊形是矩形，
米，米，
設(shè)米，則米，米，
在中，
根據(jù)勾股定理得：
，
解得：，
答：旗桿的高為米． 【解析】根據(jù)網(wǎng)格用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，即可完成拼圖；
利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理；
在四邊形中，，，比長米，米，米，過點作，垂足為，然后根據(jù)勾股定理即可求的長．
本題考查了勾股定理的證明及其應(yīng)用，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
 26.【答案】解：在中，，
；
由題意知，
當(dāng)為直角時，點與點重合，，即；
當(dāng)為直角時，，，，
在中，
，
在中，，
即：，
解得：，
故當(dāng)為直角三角形時，或；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，，，
在中，，
所以，
解得：，
綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時，或或． 【解析】直接根據(jù)勾股定理求出的長度；
當(dāng)為直角三角形時，分兩種情況：當(dāng)為直角時，當(dāng)為直角時，分別求出此時的值即可；
當(dāng)為等腰三角形時，分三種情況：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時，分別求出的長度，繼而可求得值．
本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．
 

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