1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，則A∩B＝（ ）
A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，則?RA＝（ ）
A．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}B．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}
C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}
3．（5分）函數(shù)f（x）＝的定義域為（ ）
A．（2，+∞）B．（0，2]C．[2，+∞）D．[0，2]
4．（5分）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點（2，），則f（x）是（ ）
A．是奇函數(shù)
B．是偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)
5．（5分）已知a＝lg2e，b＝ln2，c＝，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
6．（5分）定義在R上的偶函數(shù)在[0，7]上是增函數(shù)，在[7，+∞）上是減函數(shù)，又f（7）＝6，則f（x）（ ）
A．在[﹣7，0]上是增函數(shù)，且最大值是6
B．在[﹣7，0]上是增函數(shù)，且最小值是6
C．在[﹣7，0]上是減函數(shù)，且最小值是6
D．在[﹣7，0]上是減函數(shù)，且最大值是6
7．（5分）函數(shù)f（x）＝的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）函數(shù)f（x）＝（）的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1）C．[1，+∞）D．[3，+∞）
9．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2x+3x，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（5分）已知y＝lga（3﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．（0，1）B．（1，3）C．（0，3）D．[3，+∞）
11．（5分）已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）滿足：任意x1，x2∈（0，+∞），都有，且f（﹣3）＝0，則不等式的解集為（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣3，0）∪（3，+∞）
12．（5分）設函數(shù)則滿足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）函數(shù)的圖象恒過定點 ．
14．（5分）函數(shù)f（x）＝的值域是 ．
15．（5分）已知125x＝12.5y＝1000，則＝ ．
16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，f（a）＝4，則f（﹣a）＝ ．
三、解答題：共6個大題.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）化簡求值
（1）
（2）
18．（12分）設全集為U＝R，集合A＝{x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B＝{x|lg2（x+2）＜4}．
（1）求如圖陰影部分表示的集合；
（2）已知C＝{x|2a＜x＜a+1}，若C?B，求實數(shù)a的取值范圍．
19．（12分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝2x﹣3?2﹣x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）記，求g（x）的零點．
20．（12分）已知指數(shù)函數(shù)f（x）過點，g（x）為f（x）的反函數(shù)．
（1）寫出函數(shù)f（x）和g（x）的解析式，并求不等式g（3x）≥g（8﹣x）的解集；
（2）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[0.9]＝0，[1.2]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．求[g（10）]，并求[g（1）]+[g（2）]+[g（3）]+…+[g（20）]的值．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x2+ax+2，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤0的解集為[1，2]，求不等式f（x）≥1﹣x2的解集；
（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）+x2+1在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．
22．（12分）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，．
（1）求f（x）；
（2）求出所有滿足不等式f（2a﹣a2）+f（3）＞0的實數(shù)a構(gòu)成的集合；
（3）對任意的實數(shù)x1∈[﹣1，1]，都存在一個實數(shù)x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），求實數(shù)m的取值范圍．
2018-2019學年內(nèi)蒙古包頭市北重三中高一（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，則A∩B＝（ ）
A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}
【考點】交集及其運算．
【答案】C
【分析】求解不等式化簡集合A，再由交集的運算性質(zhì)得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，
∴A∩B＝{x|x≥1}∩{0，1，2}＝{1，2}．
故選：C．
【點評】本題考查了交集及其運算，是基礎題．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，則?RA＝（ ）
A．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}B．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}
C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}
【考點】補集及其運算．
【答案】D
【分析】通過求解不等式，得到集合A，然后求解補集即可．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，
可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，
則：?RA＝{x|﹣1≤x≤2}．
故選：D．
【點評】本題考查不等式的解法，補集的運算，是基本知識的考查．
3．（5分）函數(shù)f（x）＝的定義域為（ ）
A．（2，+∞）B．（0，2]C．[2，+∞）D．[0，2]
【考點】函數(shù)的定義域及其求法．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝中，
令lg2x﹣1≥0，
解得x≥2，
所以函數(shù)的定義域為[2，+∞）．
故選：C．
【點評】本題考查了根據(jù)解析式求函數(shù)定義域的應用問題，是基礎題．
4．（5分）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點（2，），則f（x）是（ ）
A．是奇函數(shù)
B．是偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)
【考點】冪函數(shù)的單調(diào)性與最值．
【答案】B
【分析】由冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象過點（2，），求出a＝﹣2，由此得到f（x）是偶函數(shù)．
【解答】解：∵冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象過點（2，），
∴f（2）＝2a＝，
解得a＝﹣2，
∴f（x）＝x﹣2．
∴f（x）是偶函數(shù)．
故選：B．
【點評】本題考查命題真假的判斷，考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
5．（5分）已知a＝lg2e，b＝ln2，c＝，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
【考點】對數(shù)值大小的比較．
【答案】D
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較．
【解答】解：a＝lg2e＞1，0＜b＝ln2＜1，c＝＝lg23＞lg2e＝a，
則a，b，c的大小關系c＞a＞b，
故選：D．
【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題，
6．（5分）定義在R上的偶函數(shù)在[0，7]上是增函數(shù)，在[7，+∞）上是減函數(shù)，又f（7）＝6，則f（x）（ ）
A．在[﹣7，0]上是增函數(shù)，且最大值是6
B．在[﹣7，0]上是增函數(shù)，且最小值是6
C．在[﹣7，0]上是減函數(shù)，且最小值是6
D．在[﹣7，0]上是減函數(shù)，且最大值是6
【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關系，即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)在[0，7]上是增函數(shù)，在[7，+∞）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在x＝7時，函數(shù)取得最大值f（7）＝6，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴在[﹣7，0]上是減函數(shù)，且最大值是6，
故選：D．
【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性是解決本題的關鍵．
7．（5分）函數(shù)f（x）＝的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換．
【答案】B
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點的符號的特點分別進行判斷即可．
【解答】解：函數(shù)f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除A，
當x＝1時，f（1）＝e﹣＞0，排除D．
當x→+∞時，f（x）→+∞，排除C，
故選：B．
【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象的識別和判斷，利用函數(shù)圖象的特點分別進行排除是解決本題的關鍵．
8．（5分）函數(shù)f（x）＝（）的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1）C．[1，+∞）D．[3，+∞）
【考點】復合函數(shù)的單調(diào)性．
【答案】A
【分析】復合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求出內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性，求出減區(qū)間．
【解答】解：令y＝﹣x2+2x+3，得函數(shù)是二次函數(shù)．開口向下，x∈（﹣∞，1]時，函數(shù)是增函數(shù)，
∵y＝是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）＝（）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，1]
故選：A．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與其它函數(shù)的復合函數(shù)單調(diào)性的判斷．
9．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2x+3x，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．
【答案】B
【分析】函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象判斷即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝2x+3x＝0，可得2x＝﹣3x，
函數(shù)的零點個數(shù)就是方程的解的個數(shù)，也就是y＝2x，與y＝﹣3x圖象交點的個數(shù)，如圖：
由函數(shù)的圖象可知兩個函數(shù)這樣一個交點，所以函數(shù)f（x）＝2x+3x，則函數(shù)的零點個數(shù)是1個．
故選：B．
【點評】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的求法，函數(shù)與方程的應用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力．
10．（5分）已知y＝lga（3﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．（0，1）B．（1，3）C．（0，3）D．[3，+∞）
【考點】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)．
【答案】B
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行分析求解
【解答】∵y＝lga（3﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)
∴0＜3﹣a≤3﹣ax≤3
即a＜3 ①
又∵y＝lga（3﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)，且3﹣ax是減函數(shù)
∴a＞1 ②
綜上所述：1＜a＜3
故選：B．
【點評】考查了復合函數(shù)的關于減函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題
11．（5分）已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）滿足：任意x1，x2∈（0，+∞），都有，且f（﹣3）＝0，則不等式的解集為（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣3，0）∪（3，+∞）
【考點】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)．
【答案】C
【分析】根據(jù)條件可得出f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，并得出f（3）＝0，從而由可得出，進而得出不等式組或，根據(jù)f（x）的單調(diào)性即可得出原不等式的解集．
【解答】解：∵任意x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，f（﹣3）＝0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，f（3）＝0，
∴由得，，
∴或，解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，
∴原不等式的解集為（﹣3，0）∪（0，3）．
故選：C．
【點評】考查奇函數(shù)的定義，減函數(shù)的定義，以及分式不等式的解法．
12．（5分）設函數(shù)則滿足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）
【考點】分段函數(shù)的應用．
【答案】D
【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝的圖象如圖：
滿足f（x+1）＜f（2x），
可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，
解得x∈（﹣∞，0）．
故選：D．
【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，考查計算能力，是中檔題．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）函數(shù)的圖象恒過定點 （﹣，2） ．
【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】令冪指數(shù)等于零，求得x、y的值，可得函數(shù)的圖象恒過定點的坐標．
【解答】解：∵函數(shù)，令2x+1＝0，求得x＝﹣，y＝2，
可得它的圖象恒過定點（﹣，2），
故答案為：（﹣，2）．
【點評】本題主要考查冪函數(shù)的圖象經(jīng)過定點問題，屬于基礎題．
14．（5分）函數(shù)f（x）＝的值域是 （0，1） ．
【考點】函數(shù)的值域．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】g（t）＝為減函數(shù)，t＝3x+1為增函數(shù)，進而求解．
【解答】解：因為3x+1＞0+1＝1，
所以0＜＜1，
所以函數(shù)f（x）的值域（0，1）．
故答案為：（0，1）．
【點評】考查反函數(shù)的性質(zhì)，符合函數(shù)的綜合應用；
15．（5分）已知125x＝12.5y＝1000，則＝ ．
【考點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)125x＝12.5y＝1000可得出x＝lg1251000，y＝lg12.51000，從而得出，然后進行對數(shù)的運算即可求出．
【解答】解：∵125x＝12.5y＝1000，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點評】考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的換底公式，以及對數(shù)的運算性質(zhì)．
16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，f（a）＝4，則f（﹣a）＝ ﹣2 ．
【考點】函數(shù)的奇偶性．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，又由f（a）＝4，分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝，則f（﹣x）＝，
則f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，
又由f（a）＝4，則f（﹣a）＝﹣2；
故答案為：﹣2
【點評】本題考查函數(shù)值的計算，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題．
三、解答題：共6個大題.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）化簡求值
（1）
（2）
【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪及根式．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）進行根式和分數(shù)指數(shù)冪的運算即可；
（2）進行對數(shù)的運算即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝1．
【點評】考查根式、分數(shù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算．
18．（12分）設全集為U＝R，集合A＝{x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B＝{x|lg2（x+2）＜4}．
（1）求如圖陰影部分表示的集合；
（2）已知C＝{x|2a＜x＜a+1}，若C?B，求實數(shù)a的取值范圍．
【考點】Venn圖表示交并補混合運算；指、對數(shù)不等式的解法．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）利用Venn圖表示集合的關系即可求如圖陰影部分表示的集合；
（2）根據(jù)集合關系C?B，建立不等式關系即可求實數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）由（x+3）（x﹣6）≤0，得﹣3≤x≤6，即A＝[﹣3，6]，
由0＜x+2＜16，解得﹣2＜x＜14，即B＝（﹣2，14），
∵陰影部分為A∩?RB，
∴A∩?RB＝[﹣3，﹣2]．
（2）∵C＝{x|x＞2a且x＜a+1}，
∴①2a≥a+1，即a≥1時，C＝?，成立；
②2a＜a+1，即a＜1時，C＝（2a，a+1）?（﹣2，14），
則，
解得﹣1≤a＜1．
綜上所述，a的取值范圍為[﹣1，+∞）．
【點評】本題主要考查集合的基本運算以及集合的基本關系的應用，利用Venn圖表示集合關系是解決本題的關鍵．
19．（12分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝2x﹣3?2﹣x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）記，求g（x）的零點．
【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）直接利用函數(shù)的性質(zhì)的應用求出函數(shù)的關系式．
（2）利用函數(shù)的零點和方程之間的轉(zhuǎn)換，利用分類討論思想的應用求出函數(shù)的零點．
【解答】解：（1）當x＜0時，則﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝2﹣x﹣3?2x，
又f（x）是奇函數(shù)，f（﹣x）＝﹣f（x），
所以：﹣f（x）＝2﹣x﹣3?2x，
即x＜0時，f（x）＝﹣2﹣x+3?2x，
又f（0）＝0，
∴．
（2）函數(shù)g（x）的零點即為方程g（x）＝0的根．
當x＜0時，﹣，即6?22x﹣2x﹣2＝0，解得或，
故x＝1﹣lg23，
當x＞0時，2x﹣3?2﹣x＝，即2?22x﹣2x﹣6＝0，
解得2x＝2或（舍去），故x＝1．
綜上所述g（x）的零點為1﹣lg23或1．
【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的關系式的確定，分段函數(shù)的應用，對數(shù)的方程的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題型．
20．（12分）已知指數(shù)函數(shù)f（x）過點，g（x）為f（x）的反函數(shù)．
（1）寫出函數(shù)f（x）和g（x）的解析式，并求不等式g（3x）≥g（8﹣x）的解集；
（2）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[0.9]＝0，[1.2]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．求[g（10）]，并求[g（1）]+[g（2）]+[g（3）]+…+[g（20）]的值．
【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）利用已知條件求出函數(shù)的解析式，利用的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解不等式的解集．
（2）利用新定義，求出函數(shù)的解析式，然后求解表達式的值即可．
【解答】解：（1）指數(shù)函數(shù)f（x）過點，g（x）為f（x）的反函數(shù)．
得，
∵g（3x）≥g（8﹣x），
∴，
∴0＜x≤2，
所以，不等式的解集為（0，2]．
（2）[g（10）]＝﹣2，
，
∴[g（1）]+[g（2）]+…+g[（20）]＝3×（﹣1）+12×（﹣2）+4×（﹣3）＝﹣39．
【點評】本題考查函數(shù)與方程的應用，函數(shù)的解析式的求法以及函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x2+ax+2，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤0的解集為[1，2]，求不等式f（x）≥1﹣x2的解集；
（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）+x2+1在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【考點】一元二次不等式及其應用；函數(shù)的零點．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與對應一元二次不等式的關系，求出a的值，再解不等式f（x）≥1﹣x2即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)g（x）的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，求出解集即可．
【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）＝x2+ax+2，a∈R；
當不等式f（x）≤0的解集為[1，2]時，
對應方程x2+ax+2＝0有兩個實數(shù)根1和2，
∴﹣a＝1+2，即a＝﹣3；
∴不等式f（x）≥1﹣x2可化為
x2﹣3x+2≥1﹣x2，
即2x2﹣3x+1≥0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）≥0，
解得x≤或x≥1；
∴該不等式的解集為{x|x≤或x≥1}；
（2）∵函數(shù)g（x）＝f（x）+x2+1＝x2+ax+2+x2+1＝2x2+ax+3，
且g（x）在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點，
∴，
即；
解得﹣5＜a＜﹣2，
∴實數(shù)a的取值范圍是﹣5＜a＜﹣2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了不等式（組）的解法與應用問題，是綜合性題目．
22．（12分）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，．
（1）求f（x）；
（2）求出所有滿足不等式f（2a﹣a2）+f（3）＞0的實數(shù)a構(gòu)成的集合；
（3）對任意的實數(shù)x1∈[﹣1，1]，都存在一個實數(shù)x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），求實數(shù)m的取值范圍．
【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣1）＝﹣f（1）進而求解；
（2）根據(jù)定義法確定f（x）的單調(diào)性，得出f（3）＞﹣f（2a﹣a2）＝f（a2﹣2a）進而求解；
（3）f（x）在R上是增函數(shù)，當x1∈[﹣1，1]時，即f（x1）∈[﹣，]＝A，
設g（x）在[﹣1，1]上的值域為B，則由題意可知A?B，g（x）＝（x+m）2+﹣m2即﹣m2≤﹣，解得 m≤﹣或m，進而分類討論求解．
【解答】解：（1）f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣1）＝﹣f（1）∴解得b＝2∴；
（2）f（x）為增函數(shù)定義域為R，設x1、x2是R上任意兩個值，且1＜x2，
則f（x1）﹣f（x2）＝1﹣﹣（1﹣）＝，
∵x1＜x2，∴2＜2，∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上是增函數(shù)，
∵f（﹣x）＝＝＝＝﹣f（x），
∴f（x）在R上是奇函數(shù)，
∵f（2a﹣a2）+f（3）＞0，∴f（3）＞﹣f（2a﹣a2）＝f（a2﹣2a），
又∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴a2﹣2a＜3，
解得，﹣1＜a＜3，∴所求實數(shù)a構(gòu)成的集合為{a|﹣1＜a＜3}；
（3）∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴當x1∈[﹣1，1]時，f（x1）∈[f（﹣1），f（1）]，即f（x1）∈[﹣，]＝A，
設g（x）在[﹣1，1]上的值域為B，則由題意可知A?B，
∵g（x）＝（x+m）2+﹣m2，∴﹣m2≤﹣，解得 m≤﹣或m，
①當m≤﹣時，函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上為減函數(shù)，
所以B＝[g（1），g（﹣1）]＝[+2m，﹣2m]，
由A?B得 解得 m≤﹣，
②當m 時，函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上為增函數(shù)，
所以B＝[g（﹣1），g（1）]＝[﹣2m，+2m]，
由A?B得 解得m≥，
綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為m≤﹣或m≥．
【點評】（1）考查奇函數(shù)的性質(zhì)；
（2）考查定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，奇函數(shù)的應用，不等式的求解；
（3）考查函數(shù)的單調(diào)性，集合思想，分類討論思想，不等式組求解．
考點卡片
1．交集及其運算
【知識點的認識】
由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．
符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．
當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．
運算性質(zhì)：
①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．
【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．
【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．
命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．
2．補集及其運算
【知識點的認識】
一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．
對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．
【解題方法點撥】
常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法．
【命題方向】
通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．
3．Venn圖表示交并補混合運算
【知識點的認識】
集合交換律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合結(jié)合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求補律 A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．
Venn圖表示N∩（?UM）為：．
【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．
【命題方向】
如圖，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，則陰影部分表示的集合是（ ）
解：由題意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，
故陰影部分表示的集合是?R（M∪N）＝[0，8]．
4．指、對數(shù)不等式的解法
【知識點的認識】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根軸法）．
步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的討論；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．
（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則
．
（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解．
（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
（6）含絕對值不等式
①應用分類討論思想去絕對值；
②應用數(shù)形思想；
③應用化歸思想等價轉(zhuǎn)化．
注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：
5．一元二次不等式及其應用
【知識點的認識】
含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式．
特征
當△＝b2﹣4ac＞0時，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）
當△＝b2﹣4ac＝0時，
一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．
當△＝b2﹣4ac＜0時．
一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．
【解題方法點撥】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．
解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案為：（﹣2，3）．
這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應用了特征當中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．
【命題方向】
①一元二次不等式恒成立問題：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價條件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式問題：
＞0?f（x）?g（x）＞0；
＜0?f（x）?g（x）＜0；
≥0?；
≤0?．
6．函數(shù)的定義域及其求法
【知識點的認識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．
求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；
②根式（開偶次方）被開方式≥0；
③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；
④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零．
⑤實際問題中函數(shù)的定義域；
【解題方法點撥】
求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組．（1）當函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運算得到的，則函數(shù)定義域應是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一對應法則f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應求g（x）中的x的范圍．
【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．
7．函數(shù)的值域
【知識點的認識】函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域．A是函數(shù)的定義域．
【解題方法點撥】（1）求函數(shù)的值域
此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等．
無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域．
（2）函數(shù)的綜合性題目
此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目．
此類問題要求考生具備較高的數(shù)學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力．
在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強．
（3）運用函數(shù)的值域解決實際問題
此類問題關鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決．此類題要求考生具有較強的分析能力和數(shù)學建模能力．
【命題方向】函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一，有時在函數(shù)與導數(shù)的壓軸題中出現(xiàn)，是常考題型．
8．函數(shù)的圖象與圖象的變換
【知識點的認識】
函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟 （1）列表； （2）描點； （3）連線．
解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應法則，列出表格，然后在直角坐標系中，準確描點，然后連線（平滑曲線）．
命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結(jié)合命題．
圖象的變換
1．利用描點法作函數(shù)圖象
其基本步驟是列表、描點、連線．
首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）．
其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線．
2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
（1）平移變換：
y＝f（x）a＞0，右移a個單位（a＜0，左移|a|個單位）?y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b個單位（b＜0，下移|b|個單位）?y＝f（x）+b．
（2）伸縮變換：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸為原來的A倍（0＜A＜1，縮為原來的A倍）?y＝Af（x）．
（3）對稱變換：
y＝f（x）關于x軸對稱?y＝﹣f（x）；
y＝f（x）關于y軸對稱?y＝f（﹣x）；
y＝f（x）關于原點對稱?y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折變換：
y＝f（x）去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊?y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y＝|f（x）|．
【解題方法點撥】
1、畫函數(shù)圖象的一般方法
（1）直接法：當函數(shù)表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．
（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．
（3）描點法：當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法．為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．
2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應關系的方法
（1）知圖選式：
①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；
②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；
③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；
④從圖象的循環(huán)往復，觀察函數(shù)的周期性．
利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項．
（2）知式選圖：
①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；
②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化 趨勢；
③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．
④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．
利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項．
注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．
3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．
（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)
有關方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值．
【命題方向】
（1）1個易錯點﹣﹣圖象變換中的易錯點
在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應的解析式，這樣才能避免出錯．
（2）3個關鍵點﹣﹣正確作出函數(shù)圖象的三個關鍵點
為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：
①正確求出函數(shù)的定義域；
②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x+的函數(shù)；
③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．
（3）3種方法﹣﹣識圖的方法
對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：
①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；
②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；
③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．
9．由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)
【知識點的認識】
一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，
當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當x1＞x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【解題方法點撥】
證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結(jié)論．
利用函數(shù)的導數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：
第一步：求函數(shù)的定義域．若題設中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．
第二步：求函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表．
第四步：由f′（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．
第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．
第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論
【命題方向】
從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預測明年高考仍將以利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．
10．復合函數(shù)的單調(diào)性
【知識點的認識】
所謂復合函數(shù)就是由兩個或兩個以上的基本函數(shù)構(gòu)成，這種函數(shù)先要考慮基本函數(shù)的單調(diào)性，然后再考慮整體的單調(diào)性．平常常見的一般以兩個函數(shù)的為主．
【解題方法點撥】
求復合函數(shù)y＝f（g（x））的單調(diào)區(qū)間的步驟：
（1）確定定義域；
（2）將復合函數(shù)分解成兩個基本初等函數(shù)；
（3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；
（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【命題方向】
理解復合函數(shù)的概念，會求復合函數(shù)的區(qū)間并判斷函數(shù)的單調(diào)性．
11．函數(shù)的奇偶性
【知識點的認識】
①如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱．
【解題方法點撥】
①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；
②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；
③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；
④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．
例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函數(shù) B．奇函數(shù) C．非奇非偶 D．與p有關
解：由題設知f（x）的定義域為R，關于原點對稱．
因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
故選B．
【命題方向】
函數(shù)奇偶性的應用．
本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．
12．奇偶性與單調(diào)性的綜合
【知識點的認識】
對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時能融會貫通，靈活運用．在重復一下它們的性質(zhì) ①奇函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點是關于（0，0）對稱．②偶函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點是關于y軸對稱．
【解題方法點撥】
參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點，有：
①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；
②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；
③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；
④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反
例題：如果f（x）＝為奇函數(shù)，那么a＝ ．
解：由題意可知，f（x）的定義域為R，
由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）?a＝1
【命題方向】
奇偶性與單調(diào)性的綜合．
不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多總結(jié)，一定要重視這一個知識點．
13．冪函數(shù)的單調(diào)性與最值
【知識點的認識】
一、冪函數(shù)定義：
一般地，函數(shù)y＝xa（a∈R）叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．
（1）指數(shù)是常數(shù)；
（2）底數(shù)是自變量；
（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；
（4）形式都是y＝xa，其中a是常數(shù)．
二、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比
三、五個常用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1
四、冪函數(shù)的性質(zhì)
（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點（1，1）．
（2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖象過點（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上為增函數(shù)．
（3）如果a＜0，則冪函數(shù)的圖象過點（1，1），并在（0，+∞）上為減函數(shù)．
（4）當a為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．
14．有理數(shù)指數(shù)冪及根式
【知識點的認識】
根式與分數(shù)指數(shù)冪
規(guī)定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義
有理數(shù)指數(shù)冪
（1）冪的有關概念：
①正分數(shù)指數(shù)冪：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②負分數(shù)指數(shù)冪：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．
（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
【解題方法點撥】
例1：下列計算正確的是（ ）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）
分析：直接由有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個選項得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正確；
∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\rt{4}{{a}^{3}}$，
∴B不正確；
∵$\rt{4}{（﹣3）^{4}}＝\rt{4}{{3}^{4}}＝3$，
∴C正確；
∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$
∴D不正確．
故選：C．
點評：本題考查了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，是基礎的計算題．
例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（ ）
A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$ B、am?an＝am?n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，先分別判斷四個備選取答案，從中選取出正確答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；
C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故選：D．
點評：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運算，解題時要熟練掌握基本的運算法則和運算性質(zhì)．
15．指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值
【知識點的認識】
1、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論，一般會以復合函數(shù)的形式出現(xiàn)，所以要分開討論，首先討論a的取值范圍即a＞1，0＜a＜1的情況．再討論g（x）的增減，然后遵循同增、同減即為增，一減一增即為減的原則進行判斷．
2、同增同減的規(guī)律：
（1）y＝ax 如果a＞1，則函數(shù)單調(diào)遞增；
（2）如果0＜a＜1，則函數(shù)單調(diào)遞減．
3、復合函數(shù)的單調(diào)性：
（1）復合函數(shù)為兩個增函數(shù)復合：那么隨著自變量X的增大，Y值也在不斷的增大；
（2）復合函數(shù)為兩個減函數(shù)的復合：那么隨著內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大，內(nèi)層函數(shù)的Y值就在不斷的減小，而內(nèi)層函數(shù)的Y值就是整個復合函數(shù)的自變量X．因此，即當內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大時，內(nèi)層函數(shù)的Y值就在不斷的減小，即整個復合函數(shù)的自變量X不斷減小，又因為外層函數(shù)也為減函數(shù)，所以整個復合函數(shù)的Y值就在增大．因此可得“同增”若復合函數(shù)為一增一減兩個函數(shù)復合：內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，則若隨著內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大，內(nèi)層函數(shù)的Y值也在不斷的增大，即整個復合函數(shù)的自變量X不斷增大，又因為外層函數(shù)為減函數(shù)，所以整個復合函數(shù)的Y值就在減?。粗嗳唬虼丝傻谩爱悳p”．
16．指數(shù)式與對數(shù)式的互化
【知識點的認識】
ab＝N?lgaN＝b；
algaN＝N；lgaaN＝N
指數(shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：
（1）af（x）＝b?f（x）＝lgab；lgaf（x）＝b?f（x）＝ab（定義法）
（2）af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；lgaf（x）＝lgag（x）?f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）?f（x）lgma＝g（x）lgmb；（兩邊取對數(shù)法）
（4）lgaf（x）＝lgbg（x）?lgaf（x）＝；（換底法）
（5）\;Alg4{a}^{2}$x+Blgax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（設t＝lgax或t＝ax）（換元法）
17．對數(shù)的運算性質(zhì)
【知識點的認識】
對數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②lgaaN＝N（a＞0且a≠1）．
lga（MN）＝lgaM+lgaN； lga＝lgaM﹣lgaN；
lgaMn＝nlgaM； lga＝lgaM．
18．對數(shù)值大小的比較
【知識點的認識】
1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較．
2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進行比較
3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）
19．函數(shù)的零點
【知識點的認識】
一般地，對于函數(shù)y＝f（x）（x∈R），我們把方程f（x）＝0的實數(shù)根x叫作函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點．即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為0的自變量的值．函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)．
【解題方法點撥】
解法﹣﹣二分法
①確定區(qū)間[a，b]，驗證f（a）*f（b）＜0，給定精確度； ②求區(qū)間（a，b）的中點x1；③計算f（x1）；
④若f（x1）＝0，則x1就是函數(shù)的零點； ⑤若f（a）f（x1）＜0，則令b＝x1（此時零點x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，則令a＝x1．（此時零點x0∈（x1，b） ⑦判斷是否滿足條件，否則重復（2）～（4）
【命題方向】
零點其實并沒有多高深，簡單的說，就是某個函數(shù)的零點其實就是這個函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，另外如果在（a，b）連續(xù)的函數(shù)滿足f（a）?f（b）＜0，則（a，b）至少有一個零點．這個考點屬于了解性的，知道它的概念就行了．
20．函數(shù)與方程的綜合運用
【知識點的認識】
函數(shù)與方程的綜合運用是指結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和方程的解法解決復雜問題．
【解題方法點撥】
﹣函數(shù)性質(zhì)：分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)．
﹣方程求解：利用函數(shù)性質(zhì)建立方程，求解方程根．
﹣綜合應用：將函數(shù)性質(zhì)和方程求解結(jié)合，解決實際問題．
【命題方向】
常見題型包括函數(shù)性質(zhì)和方程解法的綜合運用，解決復雜的數(shù)學問題．
21．分段函數(shù)的應用
【知識點的認識】
分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個在現(xiàn)實當中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．
【解題方法點撥】
正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．
例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件．
（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？
（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少？
解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，
年銷售收入為（11.8﹣p）萬元，
政府對該商品征收的稅收y＝（11.8﹣p）p%（萬元）
故所求函數(shù)為y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化簡得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故當稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時，稅收不少于16萬元．…（9分）
（III）第二年，當稅收不少于16萬元時，
廠家的銷售收入為g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是減函數(shù)
∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）
故當稅率為2%時，廠家銷售金額最大．
這個典型的例題當中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無關．我們重點看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達式；第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．
【命題方向】
修煉自己的內(nèi)功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/11/10 16:25:53；用戶：實事求是；郵箱：18347280726；學號：37790395

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名稱
a
x
y
指數(shù)函數(shù)：y＝ax
底數(shù)
指數(shù)
冪值
冪函數(shù)：y＝xa
指數(shù)
底數(shù)
冪值
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x﹣1
定義域
R
R
R
[0，+∞）
{x|x≠0}
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
增
x∈[0，+∞）時，增
x∈（﹣∞，0]時，減
增
增
x∈（0，+∞）時，減
x∈（﹣∞，0）時，減
公共點
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）

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