1．（5分）已知R是實(shí)數(shù)集，集合A＝{x∈Z||x|＜2}，B＝{x|2x﹣1≥0}，則A∩（?RB）＝（ ）
A．B．{1}C．{﹣1，0}D．
2．（5分）已知x≠0，則“”是“x＞2022”的（ ）條件
A．必要不充分B．充分不必要
C．充分且必要D．既不充分也不必要
3．（5分）已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且a＞b，則下列不等式成立的是（ ）
A．a(chǎn)﹣c＞b﹣cB．a(chǎn)c2＞bc2C．a(chǎn)2＞b2D．
4．（5分）若偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a
6．（5分）已知關(guān)于x的不等式kx2﹣6kx+k+8＞0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是（ ）
A．0≤k≤1B．0≤k＜1C．k＜0或k＞1D．k≤0或k＞1
7．（5分）函數(shù)f（x）的圖象大致為（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函數(shù)（0＜x＜2），則函數(shù)y＝[f（x）]的值域?yàn)椋? ）
A．B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）已知點(diǎn)在冪函數(shù)f（x）＝（a﹣1）xb的圖象上，則函數(shù)f（x）是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)
C．（0，+∞）上的增函數(shù)D．（0，+∞）上的減函數(shù)
（多選）10．（5分）下列選項(xiàng)中p是q的充分不必要條件的是（ ）
A．p：1＜x＜2，q：1≤x≤2
B．p：xy＞1，q：x＞1，y＞1
C．，q：x＜1
D．p：兩直線平行，q：內(nèi)錯(cuò)角相等
（多選）11．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．f（﹣2）＝4B．若f（m）＝9，則m＝±3
C．f（x）是偶函數(shù)D．f（x）在R上單調(diào)遞減
（多選）12．（5分）下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．對的最小值為1
B．若ab＜0，則的最大值為﹣2
C．若a＞0，b＞0，則
D．若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則的最小值為8
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）若命題p：?x∈R，x2﹣2x≥﹣1，則p的否定為 ．
14．（5分） ．
15．（5分）若在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
16．（5分）已知x＞0，y＞0且1，若x+y＞m2+8m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟．
17．（10分）在①A∩B＝A，②A∩（?RB）＝A，③A∩B＝?，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，求解下列問題：
已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求A∪B；
（2）若_____，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
18．（12分）（1）已知x＞3，求的最小值，并求取到最小值時(shí)x的值；
（2）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值．
19．（12分）已知關(guān)于x的不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0．
（1）若此不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a∈R，解這個(gè)關(guān)于x的不等式；
20．（12分）已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）是偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+2]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞﹣1時(shí)，記f（x）在區(qū)間[a，a+2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．
21．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵(lì)下進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)，把二氧化碳化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該處理成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝x2﹣40x+1600，30≤x≤50，已知每處理一噸二氧化碳可獲得價(jià)值20萬元的某種化工產(chǎn)品．
（1）當(dāng)處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少？
（2）判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少萬元該工廠才不會(huì)虧損？
22．（12分）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且f（﹣1）＝﹣2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝m在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）令，若對都有，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市市北高級中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
1．（5分）已知R是實(shí)數(shù)集，集合A＝{x∈Z||x|＜2}，B＝{x|2x﹣1≥0}，則A∩（?RB）＝（ ）
A．B．{1}C．{﹣1，0}D．
【解答】解：由題可知：A＝{﹣1，0，1}，
∴，即A∩（?RB）＝{﹣1，0}．
故選：C．
2．（5分）已知x≠0，則“”是“x＞2022”的（ ）條件
A．必要不充分B．充分不必要
C．充分且必要D．既不充分也不必要
【解答】解：“”?x＜0或x，
當(dāng)x＞2022時(shí)，成立
故“”是“x＞2022”的必要不充分條件，
故選：A．
3．（5分）已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且a＞b，則下列不等式成立的是（ ）
A．a(chǎn)﹣c＞b﹣cB．a(chǎn)c2＞bc2C．a(chǎn)2＞b2D．
【解答】解：a，b為非零實(shí)數(shù)，且a＞b，
對于A：a﹣c＞b﹣c，故A正確；
對于B：若c＝0，則ac2＝bc2，故B錯(cuò)誤；
對于CD：令a＝1，b＝﹣2，顯然不成立，故CD錯(cuò)誤；
故選：A．
4．（5分）若偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
則f（2）＜f（）＜f（1），
即f（2）＜f（）＜f（﹣1），
故選：A．
5．（5分）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a
【解答】解：∵y在R上是減函數(shù)，
∴，
又∵，
∴，
即b＞c＞a，
故選：C．
6．（5分）已知關(guān)于x的不等式kx2﹣6kx+k+8＞0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是（ ）
A．0≤k≤1B．0≤k＜1C．k＜0或k＞1D．k≤0或k＞1
【解答】解：關(guān)于x的不等式kx2﹣6kx+k+8＞0對任意x∈R恒成立，
當(dāng)k＝0時(shí)，8＞0恒成立；
當(dāng)k＜0時(shí)，由y＝kx2﹣6kx+k+8的開口向下，不等式不恒成立；
當(dāng)k＞0時(shí)，只需Δ＜0，即（﹣6k）2﹣4k（k+8）＜0，解得0＜k＜1．
所以k的取值范圍是[0，1）．
故選：B．
7．（5分）函數(shù)f（x）的圖象大致為（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（﹣x）f（x），則f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除B，C，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）x為增函數(shù)，排除A，
故選：D．
8．（5分）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函數(shù)（0＜x＜2），則函數(shù)y＝[f（x）]的值域?yàn)椋? ）
A．B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}
【解答】解：令t＝2x∈（1，4），則，
由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)t∈（1，4）時(shí)，，
∴[f（t）]∈{﹣1，0，1}．
故選：B．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）已知點(diǎn)在冪函數(shù)f（x）＝（a﹣1）xb的圖象上，則函數(shù)f（x）是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)
C．（0，+∞）上的增函數(shù)D．（0，+∞）上的減函數(shù)
【解答】解：由函數(shù)f（x）＝（a﹣1）xb為冪函數(shù)可知，a﹣1＝1，則a＝2，所以點(diǎn)為，
代入f（x）＝xb得，，所以b＝﹣1，即．
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減．
故選：AD．
（多選）10．（5分）下列選項(xiàng)中p是q的充分不必要條件的是（ ）
A．p：1＜x＜2，q：1≤x≤2
B．p：xy＞1，q：x＞1，y＞1
C．，q：x＜1
D．p：兩直線平行，q：內(nèi)錯(cuò)角相等
【解答】解：對于A，集合（1，2）是集合[1，2]的真子集，所以p是q的充分不必要條件，A正確；
對于B，當(dāng)x，y＝4時(shí)，xy，故由p不能推出q，
反之，由x＞1，y＞1必定可得到xy＞1，所以p是q的必要不充分條件，B不正確．
對于C，由，可得0＜x＜1，集合（0，1）是集合（﹣∞，1）的真子集，
所以p是q的充分不必要條件，C正確；
對于D，根據(jù)平面幾何中兩條直線平行的判定定理和性質(zhì)定理，
可知”兩直線平行“是”內(nèi)錯(cuò)角相等“的充要條件，D不正確．
故選：AC．
（多選）11．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．f（﹣2）＝4B．若f（m）＝9，則m＝±3
C．f（x）是偶函數(shù)D．f（x）在R上單調(diào)遞減
【解答】解：∵，
∴f（﹣2）＝4，故A正確；
若f（m）＝9，則m2＝9且m≤0，解得m＝﹣3，故B錯(cuò)誤；
作出f（x）的圖象如下：
由圖可知，f（x）的圖象不關(guān)于y軸對稱，不是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤，D正確；
故選：AD．
（多選）12．（5分）下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．對的最小值為1
B．若ab＜0，則的最大值為﹣2
C．若a＞0，b＞0，則
D．若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則的最小值為8
【解答】解：對于A，若x＜﹣1，則x+1＜0，所以x0，所以x的最小值不是1，故A錯(cuò)誤，
對于B，∵ab＜0，∴0，0，
∴[（）+（）]2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝﹣b時(shí)，等號(hào)成立，故B正確，
對于C，∵a＞0，b＞0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤，
對于D，∵x＞0，y＞0，且x+2y＝1，
∴（x+2y）（）＝44+28，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時(shí)，等號(hào)成立，
∴的最小值為8，故D正確，
故選：BD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）若命題p：?x∈R，x2﹣2x≥﹣1，則p的否定為 ?x∈R，x2﹣2x＜﹣1 ．
【解答】解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以：命題p：?x∈R，x2﹣2x≥﹣1，則p的否定為：?x∈R，x2﹣2x＜﹣1．
故答案為：?x∈R，x2﹣2x＜﹣1．
14．（5分） 18 ．
【解答】解：．
故答案為：18．
15．（5分）若在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （﹣∞，﹣1） ．
【解答】解：f（x）a，
∵在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．
故答案為：（﹣∞，﹣1）．
16．（5分）已知x＞0，y＞0且1，若x+y＞m2+8m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （﹣9，1） ．
【解答】解：因?yàn)閤＞0，y＞0，且1，
所以x+y＝（x+y）（）＝59，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x時(shí)取等號(hào)，
要使x+y＞m2+8m恒成立，即9＞m2+8m恒成立，
解得﹣9＜m＜1，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣9，1），
故答案為：（﹣9，1）．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟．
17．（10分）在①A∩B＝A，②A∩（?RB）＝A，③A∩B＝?，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，求解下列問題：
已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求A∪B；
（2）若_____，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，集合A＝{x|1＜x＜7}，集合B＝{x|﹣2≤x≤4}，
所以A∪B＝{x|﹣2≤x＜7}；
（2）選擇①：則A?B，當(dāng)A＝?時(shí)，a﹣1≥2a+3，解得a≤﹣4，
當(dāng)A≠?時(shí)，只需，解得﹣1，
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣4]∪．
選擇②：A∩（?RB）＝A，則A∩B＝?，
所以當(dāng)A＝?時(shí)，a﹣1≥2a+3，解得a≤﹣4，
當(dāng)A≠?時(shí)，a﹣1＜2a+3，則a＞﹣4，
要使A∩B＝?，只需a﹣1≥4或2a+3≤﹣3，解得a≥5或﹣4＜a≤﹣3，
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5，+∞）∪（﹣∞，﹣3]．
選擇③：解題過程同選擇②相同．
18．（12分）（1）已知x＞3，求的最小值，并求取到最小值時(shí)x的值；
（2）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值．
【解答】解：（1）因?yàn)閤＞3，所以x﹣3＞0，
故：，
當(dāng)且僅當(dāng)即x＝5時(shí)等號(hào)成立，
故當(dāng)x＝5時(shí)，y的最小值為7．
（2）因?yàn)?＜x＜1，故4﹣3x＞0，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4﹣3x即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x（4﹣3x）取得最大值．
19．（12分）已知關(guān)于x的不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0．
（1）若此不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a∈R，解這個(gè)關(guān)于x的不等式；
【解答】解：（1）不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0可化為（ax﹣1）（x+1）＞0，
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br>可得﹣1，為方程（ax﹣1）（x+1）＝0（a＜0）的兩根，
可得，解得：a＝﹣2．
（2）當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式即為x+1＜0，解得x＜﹣1，解集為{x|x＜﹣1}；
當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為，解集為；
當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為，
①若a＝﹣1，可得（x+1）2＜0，解集為?；
②若a＜﹣1，，可得解集為；
③若﹣1＜a＜0，，可得解集為．
故：a＝0時(shí)，解集為{x|x＜﹣1}；
a＞0時(shí)，解集為；
a＝﹣1時(shí)，解集為?；
a＜﹣1時(shí)，解集為；
﹣1＜a＜0時(shí)，解集為．
20．（12分）已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）是偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+2]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞﹣1時(shí)，記f（x）在區(qū)間[a，a+2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．
【解答】解：（1）設(shè)x＜0，則﹣x＞0，
因?yàn)閤≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x，且f（x）為偶函數(shù)，
所以f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x＝f（x），
所以f（x）；
（2）由（1）可得其圖象如圖所示，
因?yàn)閒（x）在區(qū)間[a，a+2]上單調(diào)，
由圖象可知，a+2≤﹣1或a≥1，
所以a的取值范圍（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；
（3）當(dāng)﹣1＜a≤1時(shí)，1＜a+2≤3，此時(shí)g（a）＝f（x）min＝f（1）＝12﹣2×1＝﹣1，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間[a，a+2]上單調(diào)遞增，此時(shí)g（a）＝f（x）min＝f（a）＝a2﹣2a，
所以g（a）．
21．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵(lì)下進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)，把二氧化碳化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該處理成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝x2﹣40x+1600，30≤x≤50，已知每處理一噸二氧化碳可獲得價(jià)值20萬元的某種化工產(chǎn)品．
（1）當(dāng)處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少？
（2）判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少萬元該工廠才不會(huì)虧損？
【解答】解：（1）由題意可得，二氧化碳的平均處理成本P（x），30≤x≤50，
當(dāng)30≤x≤50時(shí)，P（x） ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝40等號(hào)成立，
故P（x）取得最小值為P（40）＝40，
故當(dāng)處理量為40噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少．
（2）當(dāng)30≤x≤50時(shí)，
該工廠獲利S，
則S＝20x﹣（x2﹣40x+1600）＝﹣（x﹣30）2﹣700，
當(dāng)30≤x≤50時(shí)，Smax＝﹣700＜0，
故該工廠不會(huì)獲利，國家至少需要補(bǔ)貼700萬元，該工廠不會(huì)虧損．
22．（12分）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且f（﹣1）＝﹣2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝m在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）令，若對都有，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）＝﹣2，又f（x）是奇函數(shù)，
∴f（1）＝2，即，解得，
∴，
經(jīng)驗(yàn)證，函數(shù)滿足定義域{x|x≠0}，成立，
∴；
（2）方程f（x）＝m在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的根，
即x2﹣mx+1＝0在（0，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
需滿足，解得m＞2．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（2，+∞）；
（3）有題意知，
令，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴，
∵函數(shù)y＝z2﹣2tz﹣2的對稱軸為z＝t＜0，
∴函數(shù)y＝z2﹣2tz﹣2在上單調(diào)遞增．
當(dāng)z＝2時(shí)，ymin＝﹣4t+2；當(dāng)時(shí)，；
即h（x）min＝﹣4t+2，，
又∵對都有恒成立，
∴，
即，
解得，又∵t＜0，
∴t的取值范圍是[，0）．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/10/31 9:16:03；用戶：高中數(shù)學(xué)朱老師；郵箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；學(xué)號(hào)：37103942

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