一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】全集，集合，則，而，
所以.
故選：A
2. 復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（ ）
A. 6B. C. D. 7
【答案】C
【解析】復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，則，
由為實(shí)數(shù)，得，解得，又，
顯然，由為純虛數(shù)，得，解得，
所以.
故選：C
3. 為了鼓勵(lì)學(xué)生積極鍛煉身體，強(qiáng)健體魄，某學(xué)校決定每學(xué)期對(duì)體育成績(jī)?cè)谀昙?jí)前100名的學(xué)生給予專(zhuān)項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì).已知該校高三年級(jí)共有600名學(xué)生，如圖是該年級(jí)學(xué)生本學(xué)期體育測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖.據(jù)此估計(jì)，該校高三年級(jí)學(xué)生體育成績(jī)的中位數(shù)為（ ）
A. 70B. 70.5C. 71.25D. 72
【答案】C
【解析】由給定的頻率分布直方圖，可得前2個(gè)矩形的面積為，
前3個(gè)小矩形的面積為，
所以學(xué)生體育成績(jī)的中位數(shù)位于之間，
設(shè)學(xué)生體育成績(jī)總位數(shù)為，可得分.
故選：C.
4. 若，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】A
【解析】由約束條件作出可行域如下圖：
由圖可知，，由，可得，
由圖可得當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在軸上的截距最大，所以
故選：A
5. 函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，所以為奇函數(shù)，此時(shí)可排除AC,
由于當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)可排除D，
故選：B
6. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因，則，可知，
且，可知.
故選：C.
7. 已知圓錐PO的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，O為底面的圓心，其側(cè)面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)圓錐PO的底面圓半徑為，由母線(xiàn)長(zhǎng)為2，側(cè)面積等于，得，
解得，因此圓錐的高，
所以該圓錐的體積為.
故選：C
8. 如圖，已知，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊，的距離分別為，，且，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】由于平面,平面,故,
且，,
因此,故，
又,所以,
平面，故平面，
平面，故,
同理可得,
又，因此四邊形為正方形，
所以,
故選：B
9. 已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，令半焦距為c，
由及，得，
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線(xiàn)，且在線(xiàn)段上時(shí)取等號(hào)，
因此，即，又，則，
所以橢圓的離心率的取值范圍是.
故選：A
10. 在三棱錐中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，畫(huà)出三棱錐，分別作出的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，，所得圖形如下圖：
根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)可得：，，且，，所以異面直線(xiàn)與所成角即為和所成銳角，由于，，所以在等邊中，，
同理在等邊中，，故，所以為等邊三角形，故，
所以在中，，，，故由余弦定理可得：，
由于異面直線(xiàn)的夾角范圍為，所以異面直線(xiàn)與所成角為的補(bǔ)角，即異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.
故選：B
11. 已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A.
B.
C. 函數(shù)為奇函數(shù)
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】D
【解析】由函數(shù)（，，）的部分圖象，
可得，可得，則，
又由，可得，
所以，因?yàn)椋?，所以A正確；
由，可得，
又由，所以B正確；
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到的圖象，
此時(shí)函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以C正確；
由，可得，
當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.
故選：D.
12. 若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，
由函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，得在上有解，
即不等式在上有解，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，
所以的取值范圍是.
故選：D
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，滿(mǎn)足，，，則______.
【答案】
【解析】由向量，滿(mǎn)足，，且，
則，所以.
故答案為：.
14. 若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】對(duì)于雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為,
對(duì)于圓，有，圓心為，半徑為，漸近線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為，
所以圓心到漸近線(xiàn)的距離為，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得：,
則由則.
故答案為：.
15. 從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】由從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，
基本事件的總數(shù)為個(gè)，
則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：
，
共有15個(gè)，
所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.
故答案為：.
16. 已知為銳角三角形，是角分別所對(duì)的邊，若，且，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】在銳角中，由，得，即，
由正弦定理得，而，則，
又，則有，得，，由，解得，
由正弦定理得，而，則，
由，得，即，于是，
所以的取值范圍是.
故答案為：
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，，設(shè).
（1）求，，；
（2）判斷數(shù)列否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）求的通項(xiàng)公式
解：（1）由條件可得，
將代入，得，而，所以，
將代入，得，所以，
又，從而，，.
（2）數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，理由如下：
由條件可得，即，
又，所以是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列
（3）由（2）可得，所以.
18. 如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且．
（1）證明：平面；
（2）求四棱錐的體積．
證明：（1）連接交于點(diǎn)，連接．
在底面中，因?yàn)?，?br>由，可得，
因?yàn)?，即?br>所以在中，，故，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面；
解：（2）取的中點(diǎn)，連接，由，，
得為等邊三角形，所以．
在等邊三角形中，，
所以．
因?yàn)椋?br>19. 某地區(qū)為了解在鄉(xiāng)村振興過(guò)程中鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)的發(fā)展情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)鄉(xiāng)村，得到這些鄉(xiāng)村今年先對(duì)于去年集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率W的頻數(shù)分布表.
（1）估計(jì)這個(gè)地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的鄉(xiāng)村比例；
（2）求這個(gè)地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（精確到0.01）
解：（1）根據(jù)集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表，得所調(diào)查的100個(gè)鄉(xiāng)村中，
集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于的鄉(xiāng)村頻率為，
用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，得這個(gè)地區(qū)集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于的鄉(xiāng)村比例為.
（2），
，
.
所以這個(gè)地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為，.
20. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：在上.
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
由，得，由，得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
證明：（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，即，
令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
于是，即，
所以當(dāng)時(shí)，，即.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)和點(diǎn).點(diǎn)在上，且.
（1）求的方程；
（2）若直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率分別為，證明：.
解：（1）設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)椋?br>所以，即點(diǎn)，
代入方程中，得，所以的方程為.
證明：（2）因?yàn)榫趻佄锞€(xiàn)上，
設(shè)點(diǎn)，
則直線(xiàn)的斜率，
直線(xiàn)的斜率，
直線(xiàn)的斜率，
直線(xiàn)的斜率，
可得，
，
所以.

（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)，
（1）寫(xiě)出的普通方程，并指出它是什么曲線(xiàn)；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的極徑與極角的正切值.
解：（1）由曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)，
將代入，可得，整理得，
所以曲線(xiàn)的普通方程為，
該曲線(xiàn)是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線(xiàn).
（2）因?yàn)?，可得?br>根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得曲線(xiàn)的普通方程為，
聯(lián)立方程組，解得或，
即交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和，
設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則，；
設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則，.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知，，均為正數(shù)，且，證明：
（1）；
（2）若，則.
證明：（1）因?yàn)?br>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
又因?yàn)?，，均為正?shù)，所以.
（2）因?yàn)?，由條件可得，即，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，解得，
把和，代入，求得，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，取得等號(hào).分組
鄉(xiāng)村數(shù)
6
10
30
40
10
3
1

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