TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10040" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc10040 \h 1
\l "_Tc31784" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc31784 \h 2
\l "_Tc11329" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc11329 \h 3
\l "_Tc7405" 高頻考點一：判斷、證明或討論函數(shù)零點的個數(shù) PAGEREF _Tc7405 \h 3
\l "_Tc24302" 高頻考點二：證明唯一零點問題 PAGEREF _Tc24302 \h 5
\l "_Tc22542" 高頻考點三：利用最值（極值）研究函數(shù)零點問題 PAGEREF _Tc22542 \h 6
\l "_Tc32187" 高頻考點四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點問題 PAGEREF _Tc32187 \h 9
\l "_Tc11836" 高頻考點五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點問題 PAGEREF _Tc11836 \h 12
\l "_Tc31249" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc31249 \h 13
\l "_Tc30902" 備注：函數(shù)零點討論時借助圖象，容易畫錯草圖 PAGEREF _Tc30902 \h 13
\l "_Tc10184" 第五部分：新定義題 PAGEREF _Tc10184 \h 14
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的零點
（1）函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．
（2）三個等價關(guān)系
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點．
2、函數(shù)零點的判定
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理．
注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·乙卷文）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·乙卷文）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
3．（2022·全國·乙卷理）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：判斷、證明或討論函數(shù)零點的個數(shù)
典型例題
例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).
(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(2)若，判斷在區(qū)間上的零點個數(shù).
例題2．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，）
例題3．（23-24高三上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知曲線C：
(1)若曲線C過點，求曲線C在點P處的切線方程；
(2)若，討論的零點個數(shù)．
練透核心考點
1．（2024·湖南·二模）已函數(shù)，其圖象的對稱中心為.
(1)求的值；
(2)判斷函數(shù)的零點個數(shù).
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)曲線在點處的切線方程為，求實數(shù)的值．
(2)在（1）的條件下，若，試探究在上零點的個數(shù)．
高頻考點二：證明唯一零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)若，當(dāng)時，證明：．
(2)若，證明：恰有一個零點．
例題2．（23-24高三下·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點.
例題3．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點是函數(shù)的零點．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)證明：有唯一零點．
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).求證:在上存在唯一零點.
2．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）已知，函數(shù)，.證明：函數(shù)，都恰有一個零點.
高頻考點三：利用最值（極值）研究函數(shù)零點問題
典型例題
例題1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．
例題2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在處取得極值，求的值；
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個零點，求的取值范圍.
例題3．（23-24高二下·貴州黔西·開學(xué)考試）已知在處取得極小值．
(1)求的解析式；
(2)求在處的切線方程；
(3)若方程有且只有一個實數(shù)根，求的取值范圍.
例題4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù).
(1)求在上的最大值；
(2)若函數(shù)恰有三個零點，求的取值范圍.
練透核心考點
1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；
(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個交點，求的取值范圍．
2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．
3．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）若函數(shù)在處有極小值．
(1)求c的值．
(2)函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
4．（2023·廣東揭陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性并求極值.
(2)設(shè)函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.
高頻考點四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù).
(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍并證明.
例題2．（2023·四川·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)令（a為常數(shù)），若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
例題3．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，證明：函數(shù)在上有兩個不同的零點.
例題4．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)．
練透核心考點
1．（2023·四川·三模）已知函數(shù)和函數(shù)，且有最大值為．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點，其橫坐標(biāo)分別為，，，且，證明：．
高頻考點五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三下·河南信陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求不等式的解集；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
例題2．（23-24高二下·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知函數(shù) ，，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性；
(2)若關(guān)于的方程 有兩個不等實根，求的取值范圍；
(3)若 ，為整數(shù)，且當(dāng)時， 恒成立，求 的最大值.
練透核心考點
1．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)判斷的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù).
2．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)若函數(shù)，
①求的最小值；
②若，且，求證：；
(2)若函數(shù)，且有兩個相異的零點，又，求實數(shù)的取值范圍．
第四部分：典型易錯題型
備注：函數(shù)零點討論時借助圖象，容易畫錯草圖
1．（2023·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恰有2個不同的極值點，求的取值范圍；
(3)若恰有2個不同的零點，求的取值范圍.
第五部分：新定義題
1．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.
第06講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（方程的根）
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10040" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc10040 \h 1
\l "_Tc31784" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc31784 \h 1
\l "_Tc11329" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc11329 \h 6
\l "_Tc7405" 高頻考點一：判斷、證明或討論函數(shù)零點的個數(shù) PAGEREF _Tc7405 \h 6
\l "_Tc24302" 高頻考點二：證明唯一零點問題 PAGEREF _Tc24302 \h 11
\l "_Tc22542" 高頻考點三：利用最值（極值）研究函數(shù)零點問題 PAGEREF _Tc22542 \h 15
\l "_Tc32187" 高頻考點四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點問題 PAGEREF _Tc32187 \h 24
\l "_Tc11836" 高頻考點五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點問題 PAGEREF _Tc11836 \h 35
\l "_Tc31249" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc31249 \h 41
\l "_Tc30902" 備注：函數(shù)零點討論時借助圖象，容易畫錯草圖 PAGEREF _Tc30902 \h 41
\l "_Tc10184" 第五部分：新定義題 PAGEREF _Tc10184 \h 43
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的零點
（1）函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．
（2）三個等價關(guān)系
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點．
2、函數(shù)零點的判定
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理．
注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·乙卷文）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.
【詳解】
，則，
若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，
令，解得或，
且當(dāng)時，，
當(dāng)，，
故的極大值為，極小值為，
若要存在3個零點，則，即，解得，
故選：B.
2．（2022·全國·乙卷文）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點，符合題意；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時，
由（1）得當(dāng)時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.
3．（2022·全國·乙卷理）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可
（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究
【詳解】（1）的定義域為
當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2
所以曲線在點處的切線方程為
（2）
設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng),
令則
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點
又沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當(dāng)
設(shè)
所以在單調(diào)遞增
所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，
又，
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為
【點睛】方法點睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：判斷、證明或討論函數(shù)零點的個數(shù)
典型例題
例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).
(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(2)若，判斷在區(qū)間上的零點個數(shù).
【答案】(1)
(2)1個
【分析】
（1）根據(jù)“凸函數(shù)”定義對函數(shù)求導(dǎo)，由不等式在恒成立即可求得的取值范圍；
（2）易知，由導(dǎo)函數(shù)求得其在上的單調(diào)性，利用零點存在定理可知零點個數(shù)為1個.
【詳解】（1）由可得其定義域為，且，
所以，
若在上為“凸函數(shù)”可得在恒成立，
當(dāng)時，顯然符合題意；
當(dāng)時，需滿足，可得；
綜上可得的取值范圍為；
（2）若，可得，所以，
令，則；
易知在區(qū)間上恒成立，
因此可得在上單調(diào)遞減；
顯然，；
根據(jù)零點存在定理可得存在使得，
因此可知當(dāng)時，，即在上為單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，即在上為單調(diào)遞減；
又，顯然在上不存在零點；
而，結(jié)合單調(diào)性可得在上存在一個零點；
綜上可知，在區(qū)間上僅有1個零點.
例題2．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)極小值是，無極大值；
(2)2
【分析】
（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解極值點，
（2）分類討論和上的導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合零點存在性定理即可求解.
【詳解】（1）
函數(shù)，
；
令，即，解得，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，取極小值，
函數(shù)的極小值是，無極大值；
（2），則，
令則，
由于時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由于，
因此存在唯一的，使得，
故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)的遞增，
時，，此時單調(diào)遞減，
綜上可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，，當(dāng)時，，
因此與軸有兩個不同的交點，故在上的零點個數(shù)為2.
【點睛】方法點睛：判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法：(1) 直接法： 令則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；(2) 零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性) 可確定函數(shù)的零點個數(shù)；(3) 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.
例題3．（23-24高三上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知曲線C：
(1)若曲線C過點，求曲線C在點P處的切線方程；
(2)若，討論的零點個數(shù)．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得切線斜率，然后由點斜式得切線方程并化簡；
（2）先求得，得的單調(diào)性，然后討論的正負(fù)，結(jié)合零點存在定理得零點個數(shù)．
【詳解】（1）依題意得，，此時，
，
則切線斜率為，故切線方程：，即.
（2），
令得，令得，
令得．減區(qū)間為，增區(qū)間為，
∴．
當(dāng)時，，
∴，∴在上有且僅有一個零點．
當(dāng)時，令，，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，即，
又，∴在上有一個零點，
又
令，則，∴在上單調(diào)遞減，
∴，∴，∴在上有一個零點．
綜上所述，時，有一個零點，時，有2個零點.
練透核心考點
1．（2024·湖南·二模）已函數(shù)，其圖象的對稱中心為.
(1)求的值；
(2)判斷函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】
（1）由的圖象關(guān)于對稱，得到，列出方程組即可求解；
（2）由（1）得到函數(shù)的解析式，求出，利用判斷根的情況，分類討論確定零點的個數(shù).
【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，故為奇函數(shù)，
從而有，即，
，
，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）可知，，，，
①當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，
，，
函數(shù)有且僅有一個零點；
②當(dāng)時，，，
有兩個正根，不妨設(shè)，則，
函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
函數(shù)有且僅有一個零點；
③當(dāng)時，，
令，解得或，
有兩個零點；
④當(dāng)時，，，
有一個正根和一個負(fù)根，不妨設(shè)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
函數(shù)有且僅有三個零點；
綜上，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點；
當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；
當(dāng)時，函數(shù)有一個零點.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)曲線在點處的切線方程為，求實數(shù)的值．
(2)在（1）的條件下，若，試探究在上零點的個數(shù)．
【答案】(1)
(2)只有1個零點
【分析】（1）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；
（2）由（1）知，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.
【詳解】（1）解：由，
得，則有
所以切線方程為．
又因為曲線在點處的切線方程為，
所以．
（2）由（1）知，
則．
令，則．
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
所以．
所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在上存在零點，且只有一個零點．
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，，，
所以存在，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減．
而，所以在上無零點．
綜上，在上只有1個零點．
高頻考點二：證明唯一零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)若，當(dāng)時，證明：．
(2)若，證明：恰有一個零點．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到在上單調(diào)遞增，再由，即可證明；
（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，即在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，即可證明.
【詳解】（1）
證明：因為，所以，．
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，．
（2）
．
令，則．
令，則．
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
則在上單調(diào)遞增．
因為，所以恰有一個零點，則恰有一個零點．
例題2．（23-24高三下·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得，分和討論的單調(diào)性，并保證在內(nèi)有唯一零點即可.
（2）利用導(dǎo)數(shù)確定在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)零點存在性定理證明即可.
【詳解】（1），當(dāng)時，，
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，沒有極值點，不合題意；
②當(dāng)時，與在上分別單調(diào)遞增，顯然在上單調(diào)遞增，
因為，
所以，得，此時在內(nèi)有唯一零點，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在內(nèi)有唯一極小值點，符合題意.
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，，，
∴在上，
∴在上單調(diào)遞增，
∵當(dāng)時，單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時，單調(diào)遞減,當(dāng)時，單調(diào)遞增，
∵當(dāng)時，，∴，
又∵，∴在內(nèi)有唯一零點，
即在內(nèi)有唯一零點.
例題3．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點是函數(shù)的零點．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)證明：有唯一零點．
【答案】(1)1
(2)證明見詳解
【分析】（1）易判斷單調(diào)遞增，令，即可得，令即可求；
（2）由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)遞增，即可得證.
【詳解】（1）由易判斷在單調(diào)遞增，
且，，
所以可令，
得， 所以，
由題意，即，
所以；
（2），則，
令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，
所以，
結(jié)合（1）可得存在唯一，使得，即函數(shù)有唯一零點.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題（1）的關(guān)鍵是通過同構(gòu)得出；（2）的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性.
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).求證:在上存在唯一零點.
【答案】證明見解析
【分析】
求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，再利用零點存在定理判斷零點情況.
【詳解】設(shè)，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
又因為，
所以在上存在唯一的零點，命題得證．
2．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）已知，函數(shù)，.證明：函數(shù)，都恰有一個零點.
【答案】證明見解析
【分析】先求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，然后利用零點存在定理來證明即可.
【詳解】證明：函數(shù)的定義域為，，
時，，時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，
時，，，，
函數(shù)恰有一個零點.
函數(shù)的定義域為，，
時，，時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
時，，，
令（表示中最大的數(shù)），，
函數(shù)恰有一個零點.
高頻考點三：利用最值（極值）研究函數(shù)零點問題
典型例題
例題1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為：和，單調(diào)遞減區(qū)間為：
(2)或
【分析】
（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并化簡為，，再討論的取值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)極值點的個數(shù)，從而求解實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）
當(dāng)時，，定義域為

令，得或，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：和，單調(diào)遞減區(qū)間為：
（2）
①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故只有一個極小值點，與條件矛盾，故舍去．
②當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故有兩個極值點a和，與條件相符．
③當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故有兩個極值點a和，與條件相符．
④當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，無極值點，舍去．
⑤當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故只有一個極大值點，與條件矛盾，故舍去．
綜上可得：或
例題2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在處取得極值，求的值；
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用極值點的意義得到，從而求得，再進(jìn)行驗證即可得解；
（2）分類討論的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)得到的性質(zhì)，從而得到且，解之即可得解.
【詳解】（1）因為，則，
因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得，
當(dāng)時，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，符合題意，故.
（2）由，其中，
當(dāng)時，可得，單調(diào)遞增，
此時函數(shù)至多有一個零點，不符合題意；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，
最大值為，
又，且當(dāng)時，，
所以要使得函數(shù)有兩個零點，則滿足，
即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
例題3．（23-24高二下·貴州黔西·開學(xué)考試）已知在處取得極小值．
(1)求的解析式；
(2)求在處的切線方程；
(3)若方程有且只有一個實數(shù)根，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）求出，由題意可的，由此即可求出答案；
（2）分別求出，的值，再利用點斜式寫出直線；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有且只有一個交點，求出函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知，
因為在處取得極小值
則，解得：
經(jīng)檢驗，滿足題意，所以，
所以
（2）由題意知，，
所以所以切點坐標(biāo)為，斜率
所以切線方程為：，即.
（3）令，解得或，
則，，的關(guān)系如下表：
則，，
方程有且只有一個實數(shù)根等價于有且只有一個實數(shù)根，
等價于函數(shù)與有且只有一個交點，
即或，解得：或，
所以.
例題4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù).
(1)求在上的最大值；
(2)若函數(shù)恰有三個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值及端點的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最大值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再結(jié)合題意列出不等式組即可得解.
【詳解】（1）
，
可知時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
時，，單調(diào)遞增，
所以，
由，，
；
（2）
，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因為有三個零點，所以，即，
解得，故的取值范圍為.
練透核心考點
1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；
(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個交點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，對任意的恒成立，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)可求得實數(shù)的取值范圍，即可得解；
（2）令，分析可知，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：由已知可得，則，
因函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以對任意的恒成立，
又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，
則，解得，故實數(shù)的最小值為.
（2）解：，令，可得，
因為函數(shù)的圖象與有且只有一個交點，
令，則函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點，
則，令，解得或，令，解得，
所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則的極大值為，極小值為，
的圖象如下所示：

由圖可知，當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，計算出切點及斜率，寫出直線方程即可;
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間以及極值，要使函數(shù)有三個不同的零點，只需滿足計算即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，．
所以，，
所以切線l：，即
（2）
令，得或．
當(dāng)或時，；當(dāng)時，．
∴的增區(qū)間為，；減區(qū)間為．
∴的極大值為，的極小值為．
∴，解得：．
此時，，所以函數(shù)有三個不同的零點，所以．
3．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）若函數(shù)在處有極小值．
(1)求c的值．
(2)函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)在處取到極值的必要不充分條件，從而求出c值，再對c進(jìn)行檢驗即可求出結(jié)果．
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，通過極值的范圍求實數(shù)a的取值范圍．
【詳解】（1）因為，所以，
又因為函數(shù)在處有極小值，
所以，解得或，
當(dāng)時，，
則時，，時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得函數(shù)在處取得極小值；
當(dāng)時，，
則時，，時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得函數(shù)在處取得極大值，不合題意，舍去．
所以c的值為3.
（2），
函數(shù)定義域為R，，
當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞增，
時，有一個零點-1；
時，，，恰有一個零點.
當(dāng)時，解得或，解得，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
時，有極大值，時，有極小值，
恰有一個零點，或
解得，
綜上可知，函數(shù)恰有一個零點，實數(shù)a的取值范圍為.
4．（2023·廣東揭陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性并求極值.
(2)設(shè)函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值；
(2).
【分析】（1）求出，然后可得單調(diào)性和極值；
（2），然后求出當(dāng)時的單調(diào)性，要使函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點，則有，解出，然后證明即可.
【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極小值為，無極大值.
（2）因為，
所以，
當(dāng)時，，
所以當(dāng)或時，在上單調(diào)，至多只有一個零點，不滿足題意，
當(dāng)時，由可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以要使函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點，則有，
由可得，下面證明當(dāng)時，
令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，
所以當(dāng)時，
綜上：實數(shù)的取值范圍為.
高頻考點四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù).
(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍并證明.
【答案】(1)有且僅有一個零點
(2)，證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及零點的存在性定理求解；
（2）根據(jù)題意可得有兩個不同實根，進(jìn)而可得，兩式相加得，兩式相減得，從而有，進(jìn)而要證，只需證，即證，
構(gòu)造函數(shù)即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因為，
所以函數(shù)有且僅有一個零點.
（2）方程有兩個不同實根，等價于有兩個不同實根，
得，令，則，
令，解得；令，解得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，
由，得當(dāng)時，；
當(dāng)?shù)拇笾聢D象如圖所示，

所以當(dāng)，即時，有兩個不同實根；
證明：不妨設(shè)且
兩式相加得，兩式相減得，
所以，
要證，只需證，
即證，
設(shè)，令，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以，即，
所以，原命題得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問考查極值點偏移問題，常用解決策略是根據(jù)，兩式相加相減，進(jìn)而可得，進(jìn)而要證，只需證，即證，從而將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，令，討論該函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明.
例題2．（2023·四川·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)令（a為常數(shù)），若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)題意分析可得有兩解，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合圖像分析求解.
【詳解】（1）由題意可知：的定義域為， ，
令，解得；令，解得；
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）由題意可知：，其定義域為，
則有兩個零點，即有兩解，即有兩解，
令，則.
令，解得；令，解得；
則的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，
可知，
又因為，且當(dāng)趨近于，趨近于0，
要使得有兩解，只需，所以，

故實數(shù)a的取值范圍為.
例題3．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，證明：函數(shù)在上有兩個不同的零點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；
（2）當(dāng)時，由可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：因為，則，
所以，，，
所以，曲線在點處的切線方程為，
即.
（2）解：當(dāng)時，且當(dāng)時，由，可得，
令，其中，則，令，可得，列表如下：
所以，函數(shù)的最小值為，如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，
故當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，
此時，函數(shù)在上有兩個不同的零點.
例題4．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【答案】(1)極小值，無極大值.
(2)當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；
當(dāng)或時，函數(shù)有1個零點；
當(dāng)時，函數(shù)有2個零點.
【分析】（1）根據(jù)題意得出，然后分別令以及，通過計算即可得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出結(jié)果；
（2）可將轉(zhuǎn)化為，記，求出函數(shù)的單調(diào)性以及最值，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及最值，然后數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
令，則；令，則；
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)取極小值，無極大值.
（2）令，因為，所以，
記，有，
令，則；令，則，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，
因此當(dāng)時，直線與的圖像沒有交點；
當(dāng)或時，直線與的圖像有1個交點；
當(dāng)時，直線與的圖像有2個交點.
綜上：當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；當(dāng)或時，函數(shù)有1個零點；當(dāng)時，函數(shù)有2個零點.
練透核心考點
1．（2023·四川·三模）已知函數(shù)和函數(shù)，且有最大值為．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點，其橫坐標(biāo)分別為，，，且，證明：．
【答案】(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)的單調(diào)性得到最大值為，然后列方程求解即可；
（2）根據(jù)交點情況得到，然后再結(jié)合的單調(diào)性即可得到，即可證明.
【詳解】（1）的定義域為R，且，，
當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；
所以，
所以，解得，又，所以a＝1.
（2）證明：由（1）可知：在遞增，在遞減，
又，所以在遞增，在遞減，
和的圖象如圖所示：

設(shè)和的圖象交于點A，則當(dāng)直線y＝m經(jīng)過點A時，
直線y＝m與兩條曲線和共有三個不同的交點，
則，且，，，
因為，所以，即，
因為，，且在遞增，所以，
所以，
因為，所以，即，
因為，，且在遞減，
所以，所以，
所以，即．
【點睛】函數(shù)零點問題：
（1）轉(zhuǎn)化為方程的根；
（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸交點的橫坐標(biāo)；
（3）轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo).
2．（23-24高二下·貴州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，曲線在點處取得極值．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)令函數(shù)，是否存在實數(shù)k使得沒有零點？若存在，請求出實數(shù)k的范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，；
(3)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)在的值為0可得答案；
（2）分別令，可得答案；
（3）利用單調(diào)性求出函數(shù)的極值，畫出大致圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象沒有交點可得答案．
【詳解】（1），
因為曲線在點處取得極值，
所以，
解得，經(jīng)檢驗符合題意；
（2）由（1），
，
當(dāng)，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
（3）存在，理由如下，
由（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，； 所以，，
，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得的大致圖象如下，

若函數(shù)沒有零點，則函數(shù)與的圖象沒有交點，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)沒有零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象沒有交點問題，數(shù)形結(jié)合可得答案.
3．（23-24高二下·重慶沙坪壩·期末）已知函數(shù)（）．
(1)當(dāng)時，過點作的切線，求該切線的方程；
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)切點為，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點，求出切點，即可得解；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象僅有兩個交點，求的取值范圍．
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
設(shè)切點為，則，
所以切線方程為，
又切線過點，所以，即，所以，
所以切線方程為，即；
（2）由，得，令，
則，
令得，令得，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，
當(dāng)趨向于時，趨向，當(dāng)趨向于時，趨向，
作出函數(shù)的圖象和直線，
如圖示，在定義域內(nèi)有且僅有兩個零點,
即和有且只有兩個交點，
由圖象知，的取值范圍是．
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
4．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上的最小值為．
(1)求a的值；
(2)若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)b的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求導(dǎo)，再對分四種討論，求出函數(shù)的單調(diào)性即得解；
（2）由（1），可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，結(jié)合函數(shù)圖象可得答案.
【詳解】（1）由,,
當(dāng)時,在上恒大于等于0,所以在上單調(diào)遞增,
,不合題意；
當(dāng)時,則時,,單調(diào)遞減；時,,單調(diào)遞增,所以,,
所以,不滿足；
當(dāng)時,在上,且不恒為0,所以在上單調(diào)遞減,
,適合題意；
當(dāng)時,在上,,所以在上單調(diào)遞減,
,所以,不滿足；
綜上,．
（2）由（1）,所以,
令,則,
所以,且當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,,
所以極小值為,
極大值為,
如圖：
當(dāng)時,函數(shù)有3個零點．
高頻考點五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三下·河南信陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求不等式的解集；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)定義域可化簡函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，即求的解集即可，而，所以解集為．
（2）引入隱零點x0 ，利用導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最后得到的范圍.
【詳解】（1）的定義域為
∴當(dāng)時，，
令，．
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，
則不等式的解集為．
（2）當(dāng)時，，
令，恒成立，
則在上單調(diào)遞增，又，
，存在唯一的使，且，
所以
當(dāng)時，，由，
則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，由，（分開考慮導(dǎo)函數(shù)符號）
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，
所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
由題意則，
設(shè)，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，此時，即，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是構(gòu)造新的函數(shù)，并利用隱零點法求解的范圍..
例題2．（23-24高二下·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知函數(shù) ，，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性；
(2)若關(guān)于的方程 有兩個不等實根，求的取值范圍；
(3)若 ，為整數(shù)，且當(dāng)時， 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)見解析
(2)
(3)2
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論和兩種情況，求函數(shù)的單調(diào)性；
（2）方程，轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合，求參數(shù)的取值范圍；
（3）首先參變分離為，再令，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)的最小值的取值范圍，即可求解的最大值.
【詳解】（1），
若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
若，，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
綜上可知，時，的增區(qū)間是，
當(dāng)時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；
（2）方程，顯然當(dāng)時，方程不成立，則，，
若方程有兩個不等實根，即與有2個交點，
，
當(dāng)時，，在區(qū)間和單調(diào)遞減，
并且時，，當(dāng)時，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
時，當(dāng)時，取得最小值，，
如圖，函數(shù)的圖象，
與有2個交點，則；
（3）當(dāng)時，，，
所以，
當(dāng)時，，，
令，，
則，
由（1）可知，在單調(diào)遞增，而且，
所以在上存在唯一的零點，即在上存在唯一的零點，
設(shè)此零點為，則，且，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
所以，
所以整數(shù)的最大值為2.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問和第三問的關(guān)鍵是運用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，以及隱點問題，求最值.
練透核心考點
1．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)判斷的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減
(2)2
【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得，從而求出的單調(diào)區(qū)間；
（2）把問題轉(zhuǎn)化的零點問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，先判斷在上不存在零點，再判斷在上存在零點，最后判斷在上存在零點，即可求解.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為.
令，則.
當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，
所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.
（2）且的零點等價于且的零點.
,令，
易知，因為，
所以存在，使得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在，上不存在零點.
取，則，
所以在上存在一個零點，設(shè)為.
又，所以，因為，所以，
因為，所以，因為，所以，
所以在上存在一個零點.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為2.
【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)零點個數(shù)問題，可以利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.
2．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)若函數(shù)，
①求的最小值；
②若，且，求證：；
(2)若函數(shù)，且有兩個相異的零點，又，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)①0 ②證明見解析
(2)
【分析】
（1）①利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值；②利用第①問的結(jié)論結(jié)合對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果；
（2）函數(shù)有兩個相異的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有兩個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)得出結(jié)果.
【詳解】（1）①因為，且定義域為，
又，令，即，所以，
令，即，所以，
即在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以當(dāng)時有最小值，即的最小值為0.
②因為，所以，即，
由①可知，當(dāng)時，，即，
所以，所以，即.
（2）因為，且有兩個相異的零點，
則，即，
【分析】（1）求得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到，即可求解；
（2）求得，轉(zhuǎn)化為有兩個不等的正根，設(shè)，分和，兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，列出不等式，即可求解；
（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得，得出函數(shù)單調(diào)性和最值，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：若，則，可得，
設(shè)，則，
當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減，
所以，即，所以在遞減，
即的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.
（2）解：由函數(shù)，可得，
由題意可得有兩個不等的正根，
設(shè)，
若，則在遞增，不符合題意；
若，可得，令，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
可得，
因為有兩個不等的正根，所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
（3）解：由，可得，即，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
又時，時，，
因為恰有2個不同的零點，所以，可得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點求參數(shù)問題的求解策略:
1、構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點的個數(shù)，列出不等式組，即可求得參數(shù)的范圍；
2、參數(shù)分離法：根據(jù)題意，化簡得到，轉(zhuǎn)化為和兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，從而求得參數(shù)的取值范圍.
第五部分：新定義題
1．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【分析】
理解新定義函數(shù)的性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上的范圍問題，接著通過參變分離法化成求對應(yīng)函數(shù)的最值問題即得參數(shù)范圍.
【詳解】由可得：，
由題意知，對于任意不同的，都有，
不妨設(shè)，則，
若對于任意不同的，，
故，
設(shè)，故在為增函數(shù)，
故在上恒成立，故，
故在上恒成立，
令，而，
令，在單調(diào)遞減，
且，，
所以使，即，
即，
當(dāng)時，，，故在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，故在單調(diào)遞減，
，則得：.
若對于任意不同的，，
則，設(shè)，
則在上為減函數(shù)，故，
故在上恒成立，令，
，令，在單調(diào)遞減，
所以，則，即在單調(diào)遞減，
，則得：；
綜上，即得實數(shù)的取值范圍為.
+
0
0
+
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
減
極小值
增

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