2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第04講一元二次函數(shù)(方程，不等式)(知識+真題+6類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19623" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc19623 \h 1
\l "_Tc25440" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc25440 \h 3
\l "_Tc24104" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc24104 \h 3
\l "_Tc1573" 高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） PAGEREF _Tc1573 \h 3
\l "_Tc1437" 高頻考點二：一元二次不等式解法（含參） PAGEREF _Tc1437 \h 4
\l "_Tc19579" 高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系 PAGEREF _Tc19579 \h 6
\l "_Tc18831" 高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題 PAGEREF _Tc18831 \h 7
\l "_Tc10875" 角度1：上恒成立（優(yōu)選法） PAGEREF _Tc10875 \h 7
\l "_Tc5356" 角度2：上成立（優(yōu)選法） PAGEREF _Tc5356 \h 7
\l "_Tc11504" 角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法） PAGEREF _Tc11504 \h 8
\l "_Tc8718" 角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法） PAGEREF _Tc8718 \h 8
\l "_Tc419" 角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法） PAGEREF _Tc419 \h 8
\l "_Tc710" 高頻考點五：分式不等式 PAGEREF _Tc710 \h 10
\l "_Tc18854" 高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用 PAGEREF _Tc18854 \h 11
\l "_Tc22614" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc22614 \h 13
\l "_Tc31688" 備注：一元二次不等式最高項系數(shù)容易忽略化正。 PAGEREF _Tc31688 \h 13
\l "_Tc30367" 備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。 PAGEREF _Tc30367 \h 13
\l "_Tc7046" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc7046 \h 13
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、二次函數(shù)
（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).
（2）特點：
①函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)是方程的實根.
②當(dāng)且()時，恒有()；當(dāng)且()時，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、單絕對值不等式
（1）
（2）
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（）
A．B．C．D．2
2．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）
典型例題
例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）不等式的解集是（）
A．B．C．D．
例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
例題3．（2024上·湖南長沙·高一?？计谀┙庀铝嘘P(guān)于x的不等式：
(1)；
(2).
練透核心考點
1．（2024上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）一元二次不等式的解集為 .
2．（2024上·湖南岳陽·高一?？计谀┮阎坏仁降慕饧癁?，設(shè)不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
3．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？计谀┮阎希?br>(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．
高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）
典型例題
例題1．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)，的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
例題2．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點；
(2)當(dāng)時，求不等式的解集.
例題3．（2024上·甘肅慶陽·高一校考期末）已知函數(shù)，其中.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)求不等式的解集.
練透核心考點
1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰O(shè)為實數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（）
A．B．
C．D．
2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．
3．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知.
(1)若，求的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系
典型例題
例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．的最大值為
C．的最小值為4D．的最小值為
例題2．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．
例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
練透核心考點
1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為{或}，則（）
A．且B．
C．不等式的解集為D．不等式的解集為
2．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知.
(1)若不等式的解集是，求實數(shù)的值；
(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
3．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)．
(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求實數(shù)，的值；
(2)若，，解關(guān)于的不等式．
高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題
角度1：上恒成立（優(yōu)選法）
典型例題
例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中?？计谥校┤舨坏仁降慕饧癁镽，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（）
A．B．C．D．
角度2：上成立（優(yōu)選法）
典型例題
例題1．（2023上·廣東珠?！じ咭恍Ｂ?lián)考期中）命題：，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為 .
角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法）
典型例題
例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（）
B．C．D．
角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法）
典型例題
例題1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)m的最小值為（）
A．9B．5C．6D．
角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法）
典型例題
例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長樂第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的解集；
(2)是否存在實數(shù)，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
練透核心考點
1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學(xué)校考期中）（1）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
2．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．
3．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
4．（2024上·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的最小值為，且是其一個零點，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在區(qū)間上的最小值；
(3)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)m的取值范圍．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
2．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┰O(shè)全集，集合，．
(1)求；
(2)已知集合，若，求a的取值范圍．
高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023上·貴州貴陽·高一?？茧A段練習(xí)）一家車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價值（單位：元）之間有如下的關(guān)系：.若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn) （填寫區(qū)間范圍）輛摩托車？
例題2．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，且年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設(shè)到第且年年底，該項目的純利潤（純利潤=累計收入-累計維修保養(yǎng)費-投資成本）為萬元.已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元.
(1)求實數(shù)的值.并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達(dá)到232萬元；
(2)到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤=純利潤年數(shù)）最大？并求出最大值.
練透核心考點
1．（2024下·西藏·高一開學(xué)考試）為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點，某企業(yè)計劃加大對空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.
(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？
(2)是否存在實數(shù)m，同時滿足兩個條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
2．（2023上·陜西寶雞·高一寶雞市渭濱中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長為，寬為的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側(cè)四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應(yīng)為多少米？
第四部分：典型易錯題型
備注：一元二次不等式最高項系數(shù)容易忽略化正。
1．（2023上·湖南永州·高一?？茧A段練習(xí)）一元二次不等式的解集是（）
A．或B．或
C．D．
備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。
2．（2023上·吉林·高一吉化第一高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）不等式的解集為 .
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┬》f同學(xué)在學(xué)習(xí)探究活動中，定義了一種運等“”：對于任意實數(shù)a，b，都有，通過研究發(fā)現(xiàn)新運算滿足交換律：.小穎提出了兩個猜想：，，，①；②.
(1)請你任選其中一個猜想，判斷其正確與否，若正確，進(jìn)行證明；若錯誤，請說明理由；（注：兩個猜想都判斷、證明或說明理由，僅按第一解答給分）
(2)設(shè)且，，當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求的取值范圍.
不等式
解集
判別式
二次函數(shù)的圖象
一元二次方程
的根
有兩相異實數(shù)根，()
有兩相等實數(shù)根
沒有實數(shù)根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
第04講一元二次函數(shù)（方程，不等式）
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc320" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc320 \h 1
\l "_Tc25564" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc25564 \h 3
\l "_Tc5297" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc5297 \h 4
\l "_Tc16933" 高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） PAGEREF _Tc16933 \h 4
\l "_Tc23584" 高頻考點二：一元二次不等式解法（含參） PAGEREF _Tc23584 \h 7
\l "_Tc16536" 高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系 PAGEREF _Tc16536 \h 10
\l "_Tc28582" 高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題 PAGEREF _Tc28582 \h 15
\l "_Tc12813" 角度1：上恒成立（優(yōu)選法） PAGEREF _Tc12813 \h 15
\l "_Tc3410" 角度2：上成立（優(yōu)選法） PAGEREF _Tc3410 \h 16
\l "_Tc8328" 角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法） PAGEREF _Tc8328 \h 16
\l "_Tc4739" 角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法） PAGEREF _Tc4739 \h 17
\l "_Tc10672" 角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法） PAGEREF _Tc10672 \h 17
\l "_Tc3327" 高頻考點五：分式不等式 PAGEREF _Tc3327 \h 23
\l "_Tc22530" 高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用 PAGEREF _Tc22530 \h 25
\l "_Tc2519" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc2519 \h 28
\l "_Tc9900" 備注：一元二次不等式最高項系數(shù)容易忽略化正。 PAGEREF _Tc9900 \h 28
\l "_Tc14427" 備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。 PAGEREF _Tc14427 \h 29
\l "_Tc3382" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc3382 \h 29
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、二次函數(shù)
（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).
（2）特點：
①函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)是方程的實根.
②當(dāng)且()時，恒有()；當(dāng)且()時，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、單絕對值不等式
（1）
（2）
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故選：C．
2．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）
典型例題
例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，解一元二次不等式即可，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可解.
【詳解】設(shè)，則不等式可化為，
解得，
所以，解得.
故選：A
例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）利用韋達(dá)定理求參數(shù)后再解不等式即可.
（2）對變量范圍進(jìn)行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.
【詳解】（1）因為一元二次不等式的解集為，
所以和1是方程的兩個實根，則，
解得．因此所求不等式即為：，解集為或．
（2）可化為：，當(dāng)時顯然成立；
當(dāng)時，對恒成立，
令，則，
當(dāng)，即時，
所以，即．
例題3．（2024上·湖南長沙·高一?？计谀┙庀铝嘘P(guān)于x的不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根據(jù)分式不等式的解法求解即可.
【詳解】（1）由，得，
即，所以，
所以不等式的解集為；
（2）由，得，
則，解得或，
所以不等式的解集為或.
練透核心考點
1．（2024上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）一元二次不等式的解集為 .
【答案】
【分析】轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)一元二次不等式后，分解因式直接解不等式即可.
【詳解】由可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：
2．（2024上·湖南岳陽·高一校考期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得和是方程的兩根，代入求得，化簡所求不等式，求解即可；
（2）將是成立的必要條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，結(jié)合子集的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因為不等式的解集為，
則和是方程的兩根，
所以，解得，
所以不等式為不等式，
解得，即集合.
（2）因為是成立的必要條件，所以.
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
3．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？计谀┮阎希?br>(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，進(jìn)而根據(jù)并集的運算求解，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知可推得?A，分以及，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出答案.
【詳解】（1）解可得，或，
所以，或.
當(dāng)時，，
所以或.
（2）由“”是“”的必要不充分條件，
所以，?.
又或，.
當(dāng)，有，即，顯然滿足；
當(dāng)時，有，即.
要使?A，
則有或，
解得或.
綜上所述，或.
高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）
典型例題
例題1．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)，的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）由不等式解集可得是的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值；
（2）由題意有，討論、、求不等式解集.
【詳解】（1）由題設(shè)的解集為，即是的兩個根，
所以.
（2）由題意，
當(dāng)時，解得或，故解集為；
當(dāng)時，解得，故解集為；
當(dāng)時，解得或，故解集為；
例題2．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點；
(2)當(dāng)時，求不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)答案見解析
【分析】（1）直接解二次方程即可得解；
（2）分類討論的取值范圍，解二次不等式即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
令，得，解得或，
故的零點為或.
（2）因為，
當(dāng)時，不等式可化為，解得；
當(dāng)時，不等式可化為，
又，故解得或；
綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為.
例題3．（2024上·甘肅慶陽·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，其中.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由，列出方程，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合一元二次不等式不等式的解法，即可求解.
【詳解】（1）由函數(shù)，因為，可得，解得.
（2）因為，可得，即，
當(dāng)時，解得，所以不等式的解集為；
當(dāng)時，解得或，所以不等式的解集為，
綜上可得，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為.
練透核心考點
1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰O(shè)為實數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分類討論解不等式，判斷不可能的解集.
【詳解】關(guān)于的不等式，
若，不等式為，解得，此時解集為；
若，方程，解得或，
時，不等式解得或，此時解集為；
時，，不等式解得，此時解集為；
時，，不等式解集為，
時，，不等式解得，此時解集為；
所以不等式的解集不可能是.
故選：B
2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)分式不等式化簡集合，即可根據(jù)并集的運算求解，
（2）根據(jù)包含關(guān)系即可列不等式求解.
【詳解】（1）由解得，
所以，
當(dāng)時，，
所以．
（2）因為，所以，
因為，所以，
所以，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍為．
3．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知.
(1)若，求的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱性求參數(shù)的值；
（2）分解因式，對的值進(jìn)行分類討論即可求解.
【詳解】（1）由得函數(shù)對稱軸為：，
由.
（2）由.
當(dāng)時，可得：;
當(dāng)時，可得：；
當(dāng)時，可得：
綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為：；
當(dāng)時，原不等式的解集為：
當(dāng)時，原不等式的解集為：
高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系
典型例題
例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．的最大值為
C．的最小值為4D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】利用二次不等式的解集得方程的兩根為和，結(jié)合韋達(dá)定理得，從而判斷A，再利用基本不等式計算判斷BCD.
【詳解】由題意，不等式的解集為，
可得，且方程的兩根為和，
所以，所以，，
所以，所以A正確；
因為，，所以，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為，所以B正確；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最小值為，所以C錯誤；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以的最小值為，所以D正確.
故選：ABD
例題2．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．
【答案】/
【分析】由題可得a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出的值，進(jìn)而可得，再由不等式“1”的代換即可求出答案.
【詳解】因為區(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，
則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，
則有，，，，
所以，且a，b是兩個不同的正數(shù)，
則有
，
當(dāng)且僅當(dāng)時即，等號成立，
滿足，故的最小值是.
故答案為： .
例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得和是方程的兩根，代入求得，化簡所求不等式，求解即可；
（2）將是成立的必要條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，結(jié)合子集的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因為不等式的解集為，
則和是方程的兩根，
所以，解得，
所以不等式為不等式，
解得，即集合.
（2）因為是成立的必要條件，所以.
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
練透核心考點
1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為{或}，則（）
A．且B．
C．不等式的解集為D．不等式的解集為
【答案】AC
【分析】利用一元二次不等式、二次函數(shù)、一元二次的關(guān)系求參數(shù)一一判定選項即可.
【詳解】由題意可知，所以且，，故A正確，B錯誤；
不等式，故C正確；
不等式，
即，所以或，故D錯誤.
故選：AC
2．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知.
(1)若不等式的解集是，求實數(shù)的值；
(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解集與二次方程的根的關(guān)系可得參數(shù)；
（2）這個不等式恒成立，首先討論時，能不能恒成立，其次在時，這是二次不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）由題意可知，和3是方程的兩根，且，
所以，解得.
（2）由題可得，即對一切實數(shù)恒成立，
當(dāng)時，不等式化為，不符合題意；
當(dāng)時，有解得，
綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.
3．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)．
(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求實數(shù)，的值；
(2)若，，解關(guān)于的不等式．
【答案】(1)，；
(2)答案見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定的解集，借助一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列式計算即得.
（2）分類討論解一元二次不等式即得.
【詳解】（1）由不等式的解集是，
得和是一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，
于是，解得，，
所以，.
（2），不等式化為，即，
當(dāng)，即時，解不等式，得或；
當(dāng)，即時，不等式的解為；
當(dāng)，即時，解不等式，得或，
所以當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為.
高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題
角度1：上恒成立（優(yōu)選法）
典型例題
例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分類討論，結(jié)合一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意可知恒成立，
當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時需滿足，即，求得，
所以實數(shù)的取值范圍是
故選：C
例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】當(dāng)時，，得，與題意矛盾，
當(dāng)時，則，解得，
綜上所述，，
所以不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是A選項.
故選：A.
角度2：上成立（優(yōu)選法）
典型例題
例題1．（2023上·廣東珠海·高一校聯(lián)考期中）命題：，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化不等式在上有解，利用判別式求解.
【詳解】因為命題：，為真命題，
所以不等式在上有解，
當(dāng)時，不等式可化為，得，符合題意；
當(dāng)時，由題意得，即，
解得，結(jié)合，得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法）
典型例題
例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
【詳解】因為，，則，所以，
又，可得，令，
則原題意等價于，，即，
，當(dāng)時，取到最大值，
所以實數(shù)m的取值范圍是．
故選：C
角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法）
典型例題
例題1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)m的最小值為（）
A．9B．5C．6D．
【答案】B
【分析】先通過分離參數(shù)得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，則的最小值可求.
【詳解】因為在上有解，所以在上有解，
所以，
又因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
所以，所以，即的最小值為，
故選：B.
角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法）
典型例題
例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長樂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的解集；
(2)是否存在實數(shù)，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）求解一元二次不等式即可；
（2）關(guān)于的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)最值問題求解，按系數(shù)符號與軸與區(qū)間的關(guān)系分類討論求解即可.
【詳解】（1）時，函數(shù)，
不等式即為，
即，
解得，
∴不等式的解集為.
（2）設(shè)，，
根據(jù)題意知，在上恒成立，
①當(dāng)時，解得，
若，則在上單調(diào)遞增，
則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，
則，不符合題意；
②當(dāng)，即時，的圖像為開口向下的拋物線，
要使在上恒成立，需，
即，解得或，
又∵，∴此時無解；
③當(dāng)，即或時，的圖像為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為，
（i）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，
∴，解得或，
∵，，∴此時無解；
（ii）當(dāng)，即或時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，此時無解；
（iii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，
∴，解得或，
∵，，∴此時無解；
綜上，不存在符合題意的實數(shù).
練透核心考點
1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學(xué)?？计谥校?）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）題目轉(zhuǎn)化為，利用均值不等式計算最值得到答案.
（2）變換得到，計算函數(shù)的最小值得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時，有解，
即在上有解，
又，于是等價于，
故，又，
當(dāng)且僅當(dāng)即，即時等號成立，所以
所以實數(shù)的取值范圍是
（2）當(dāng)時，恒成立．
因為，且當(dāng)時有最大值為，
所以等價于．
在區(qū)間上的最小值為，故只需即可，
所以實數(shù)的取值范圍是．
2．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式即可得解；
（2）由題意得，恒成立，對分類討論即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)，，不等式即為，
解得或，
所以的解集為或．
（2）因為，
所以不等式可化為，
依題意對，恒成立．
所以當(dāng)時，，不符合要求；
當(dāng)時，由一元二次函數(shù)性質(zhì)，可知，即，解得，
因此實數(shù)的取值范圍是．
3．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）利用韋達(dá)定理求參數(shù)后再解不等式即可.
（2）對變量范圍進(jìn)行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.
【詳解】（1）因為一元二次不等式的解集為，
所以和1是方程的兩個實根，則，
解得．因此所求不等式即為：，解集為或．
（2）可化為：，當(dāng)時顯然成立；
當(dāng)時，對恒成立，
令，則，
當(dāng)，即時，
所以，即．
4．（2024上·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的最小值為，且是其一個零點，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在區(qū)間上的最小值；
(3)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)對稱性和最小值設(shè)頂點式，代入零點即可得到解析式；
（2）分和討論即可；
（3）通過分離參數(shù)法和基本不等式即可求出的范圍.
【詳解】（1）因為對都有，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，
又因為二次函數(shù)的最小值為，
所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
又因為是其一個零點，
所以，解得，
所以的解析式為.
（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
.
（3）因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，
即不等式在上有解，所以，
記，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值為4，
所以，即，
故存在實數(shù)符合題意，所求實數(shù)的取值范圍為.
5．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀┰O(shè)定義域為的奇函數(shù)，（其中為實數(shù)）．
(1)求的值；
(2)是否存在實數(shù)和，使不等式成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）由是定義在的奇函數(shù)，利用，即可求出的值，再利用定義驗證.
（2）先證明函數(shù)單調(diào)性脫去不等式中的，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.
【詳解】（1）由是定義在的奇函數(shù)，則有，得，把代入函數(shù)得，
而，所以符合題意.
（2），因為函數(shù)且在單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減.
因為在上單調(diào)遞減. 所以
設(shè)函數(shù)，要想滿足題意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可，
由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知在遞減，在遞增，在上遞減，
所以在上的最小值為，在上的最大值為.
所以存在.
高頻考點五：分式不等式
典型例題
例題1．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，.
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時，求出集合、，利用交集的定義可求得集合；
（2）由題意可得，分、兩種情況討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式（組），綜合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
由可得，解得，則，
因此，.
（2）解：因為，所以.
當(dāng)時，，得，滿足題意；
當(dāng)時，則，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
例題2．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┮阎希?
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解；
（2）由，得到，分，，，討論集合A求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，集合 ,
，
，
所以；
（2）因為，
所以，
當(dāng)時，，
則，解得，此時；
當(dāng)時，，符合題意；
當(dāng)時，，
則，解得，此時無解；
綜上：實數(shù)的取值范圍是.
練透核心考點
1．（2024上·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合.
(1)當(dāng)時，求；
(2)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，分別求出集合、，即可求出；
（2）根據(jù)是的充分條件，課確定，然后分和分別確定的取值范圍，再合并在一起.
【詳解】（1）由，即解得：，所以.
當(dāng)時，，所以.
（2）因為是的充分條件，所以.
當(dāng)時，，解得：；
當(dāng)時，要滿足題意需，解之得：.
綜上：實數(shù)的取值范圍為.
2．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）設(shè)全集，集合，．
(1)求；
(2)已知集合，若，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化簡集合，根據(jù)集合的交集運算得解；
（2）討論，由建立不等式求解即可.
【詳解】（1），，
所以.
（2）由（1）知，
因為，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，則或，解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023上·貴州貴陽·高一?？茧A段練習(xí)）一家車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價值（單位：元）之間有如下的關(guān)系：.若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn) （填寫區(qū)間范圍）輛摩托車？
【答案】51~59
【分析】依據(jù)題意列出不等關(guān)系，解不等式再根據(jù)實際意義即可求出需生產(chǎn)51~59輛摩托車.
【詳解】根據(jù)題意可知，
轉(zhuǎn)化為不等式，即可得，
解得；
所以應(yīng)該生產(chǎn)51~59輛摩托車.
故答案為：51~59
例題2．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，且年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設(shè)到第且年年底，該項目的純利潤（純利潤=累計收入-累計維修保養(yǎng)費-投資成本）為萬元.已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元.
(1)求實數(shù)的值.并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達(dá)到232萬元；
(2)到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤=純利潤年數(shù)）最大？并求出最大值.
【答案】(1)，該項目到第4年年底純利潤第一次能達(dá)到232萬元.
(2)到第6年年底，該項目年平均利潤最大，最大為萬元
【分析】（1）根據(jù)已知條件，由的值求得，由解不等式求得正確答案.
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求得的最大值，以及此時對應(yīng)的.
【詳解】（1）依題意可得，，
已知，
且.
令，解得.
該項目到第4年年底純利潤第一次能達(dá)到232萬元.
（2）年平均利潤為，
令且，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又.
到第6年年底，該項目年平均利潤最大，最大為萬元
練透核心考點
1．（2024下·西藏·高一開學(xué)考試）為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點，某企業(yè)計劃加大對空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.
(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？
(2)是否存在實數(shù)m，同時滿足兩個條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)75人
(2)存在，7
【分析】（1）由題意列不等式，求解即可；
（2）由技術(shù)人員的年人均投入始終不減少得，調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入得，綜合得，根據(jù)的范圍由不等式恒成立求得值.
【詳解】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員人數(shù)為，年人均投入為萬元，
則，
解得，
又，所以調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多75人;
（2）假設(shè)存在實數(shù)滿足條件.
由技術(shù)人員年人均投入不減少得, 解得.
由研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入有
,
兩邊同除以得,
整理得,
故有,
【詳解】原不等式可化為，即．∴．
故選：C．
備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。
2．（2023上·吉林·高一吉化第一高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）不等式的解集為 .
【答案】
【分析】將分式不等式化為求解集.
【詳解】由，
所以不等式解集為.
故答案為：
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┬》f同學(xué)在學(xué)習(xí)探究活動中，定義了一種運等“”：對于任意實數(shù)a，b，都有，通過研究發(fā)現(xiàn)新運算滿足交換律：.小穎提出了兩個猜想：，，，①；②.
(1)請你任選其中一個猜想，判斷其正確與否，若正確，進(jìn)行證明；若錯誤，請說明理由；（注：兩個猜想都判斷、證明或說明理由，僅按第一解答給分）
(2)設(shè)且，，當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）無論選①還是選②，均要根據(jù)新運算定義分別計算兩個猜想等式的兩邊，比較其結(jié)果，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)新運算定義化簡可得的表達(dá)式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，結(jié)合其值域可得關(guān)于的方程，繼而推出是在上的兩個不同的根，結(jié)合方程根的分布列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】（1）若選①，猜想正確；
證明：，
，
故；
若選②，猜想成立；
證明：，
而，
故；
（2）由題意可知
，
令，其圖象對稱軸為，
故在上單調(diào)遞減，
因為在區(qū)間上的值域為，
故，而，故，
此時在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，則，即，
即，整理得，
即，將代入，
得，同理得，
即是在上的兩個不同的根，
令，則，
解得，故.
【點睛】難點點睛：本題給出了新運算的定義，解答時要理解其含義，并根據(jù)新定義去運算，解答的難點在于第二問，要結(jié)合新運算求得的表達(dá)式，并判斷其單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合值域得到關(guān)于參數(shù)的方程，再利用方程根的分布求解即可.
不等式
解集
判別式
二次函數(shù)的圖象
一元二次方程
的根
有兩相異實數(shù)根，()
有兩相等實數(shù)根
沒有實數(shù)根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集

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