第一部分：知識點精準記憶
第二部分：典型例題剖析
題型一：直線、平面垂直的判定與性質
題型二：平面與平面垂直的判定與性質
題型三：平行、垂直關系的綜合應用
題型四：幾何法求線面角
題型五：幾何法求二面角
第一部分：知 識 點 精 準 記 憶
知識點一：直線與平面垂直
1、直線和平面垂直的定義
如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點P叫垂足.
符號語言：對于任意，都有.
2、直線和平面垂直的判定定理
如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
簡記：線線垂直線面垂直
符號語言：，，，，
3、直線和平面垂直的性質定理
3.1定義轉化性質：如果一條直線與平面垂直，那么直線垂直于平面內所有直線.
符合語言：，.
3.2性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
符合語言：，
知識點二：直線與平面所成角
1、直線與平面所成角定義
如圖，一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
說明：①為斜線
②與的交點為斜足
③直線為在平面上的射影
④直線與射影所成角(角)為直線與平面上所成角
⑤當直線與平面垂直時：；當直線與平面平行或在平面內時：
⑥直線與平面所成角取值范圍：.
2、直線與平面所成角的求解步驟
①作：在斜線上選取恰當?shù)狞c向平而引垂線，在這一步確定垂足的位置是關鍵；
②證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義；
③算：一般借助三角形的相關知識計算.
知識點三：二面角
1、二面角定義
（1）定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．
（2）符號語言：
①二面角.
②在,內分別取兩點，(,),可記作二面角;
③當棱記作時，可記作二面角或者二面角.
2、二面角的平面角
（1）定義：在二面角的棱上任取一點,以點為垂足,在半平面和內分別作垂直與直線的射線,,則射線和構成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）說明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度；
②二面角的大小與垂足在上的位置無關一個二面角的平面角有無數(shù)個，它們的大小是相等的；
③構成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內”“垂直”.即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個條件缺一不可，前兩個要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，后一個要素表明平面角所在的平面與棱垂直；
④二面角的平面角的范圍是，當兩個半平面重合時，；當兩個半平面合成一個平面時，
⑤當兩個半平面垂直時，，此時的二面角稱為直二面角.
3、二面角的平面角的取值范圍：
4、二面角平面角求法
（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點（一般取特殊點），過該點在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來找出平面角.
（2）三垂線定理及其逆定理
①定理：平面內的一條直線如果和經(jīng)過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.
②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角.
(4)轉化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角（或其補角）.
(5)向量法：用空間向量求平面間夾角的方法
知識點四：平面與平面垂直
1、平面與平面垂直的定義
（1）定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.
（2）符號語言:
（3）圖形語言
2、平面與平面垂直的判定
（1）定理：如果一個平面過另一個平面的的垂線，那么這兩個平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)
（2）符號（圖形）語言:，
3、平面與平面垂直的性質定理
（1）定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．
(2)符號（圖形）語言：，， .
第二部分：典 型 例 題 剖 析
題型一：直線、平面垂直的判定與性質
典型例題
例題1．（多選）（2022·全國·高一課時練習）下列條件中能推出的有（ ）
A．直線與平面內一個三角形的兩邊垂直B．直線與平面內一個梯形的兩邊垂直
C．直線與平面內無數(shù)條直線垂直D．直線與平面內任意一條直線垂直
【答案】AD
【詳解】由線面垂直的判定定理知AD正確，
對于B，當梯形的兩邊平行時，不能推出，
對于C，當無數(shù)條直線相互平行時，不能推出，
故選：AD
例題2．（2022·全國·高一課時練習）如圖，在三棱錐中，分別為的中點，，且，．求證：平面．
【答案】證明見解析.
【詳解】∵在中，D是AB的中點，，
∴,
∵E是PB的中點，D是AB的中點，
∴，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面．
例題3．（2022·全國·高一課時練習）在正三棱柱中，如圖所示，，，，分別是，，的中點，求證：直線直線．
【答案】證明見解析
【詳解】證明：連接．在三角形中，G是的中點，所以．
因為平面，平面，
所以，
因為，平面，
所以⊥平面，
因為平面，
所以⊥，
又因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以，所以
所以直線直線GB．
例題4．（2022·四川遂寧·高二期末（文））如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，點在線段上且.
(1)證明直線平面;
(2)證明直線平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
（1）證明：連接交于點，連接,
∵，,
∴△∽△ ,即，
又∵，
∴
∴
又∵、
∴
（2）
∵平面，平面，
∴，
又∵，且是直角梯形，
∴，即，
∴，
又∵，且平面，
∴平面.
例題5．（2022·山西·大同一中高一階段練習）如圖，在四面體中，平面，
(1)求證：平面；
(2)若，為垂足，求證：．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
(1)由AD⊥平面PAB，面，則，
又PB⊥PA，，則PB⊥平面APD；
(2)由（1）及面，則面面APD，
又面面APD，AG⊥PD，面APD，
所以面，而面，
所以AG⊥BD．
例題6．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期末（文））如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面，點為的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【詳解】（1）證：連接交于點，連接
∵底面是菱形
∴為的中點
∵點為的中點
∴
∵平面，且平面
∴平面
（2）證：
∵底面是菱形
∴
∵平面
∴
∵，∴平面
平面，
∴
題型歸類練
1．（2022·全國·高一課時練習）如圖，拿一張矩形紙片對折后略微展開，豎立在桌面上，折痕與桌面的關系是______．
【答案】垂直
【詳解】令桌面所在的平面為，折痕所在直線為，紙片與桌面公共部分所在直線為，如圖，
依題意有，因，，所以，
所以折痕與桌面垂直.
故答案為：垂直
2．（2022·全國·高一單元測試）如圖所示，M是菱形ABCD所在平面外一點，．求證：AC 垂直于平面BDM．
【答案】證明見解析.
【詳解】設AC交BD于點O，連接MO,
因為 ABCD 是菱形，所以,
因為，且，
所以，
因為MO、BD 是平面 BDM 上的兩條相交直線，
所以 AC 垂直于平面 BDM．
3．（2022·湖南·高一課時練習）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，求證：平面EAB．
【答案】見解析
【詳解】
E，F(xiàn)分別是棱，的中點，
在Rt△和Rt△中，，
所以Rt△ Rt△，所以△，
因為，所以，
所以，即，
又因為正方體中，平面,平面，
所以，和平面EAB內的兩條相交直線，
所以平面EAB.
4．（2022·全國·高二課時練習）所有棱長均相等的三棱錐稱為正四面體，如圖，在正四面體A—BCD中，求證：AB⊥CD.
【答案】見解析
【詳解】
取的中點為，連接，，
因為四面體為正四面體，故為等邊三角形，
故，同理，
而，故平面，
因為平面，故.
5．（2022·河南宋基信陽實驗中學高二階段練習（文））已知正方體ABCD-的棱長為2.
(1)求三棱錐的體積；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(1)在正方體ABCD-中，易知⊥平面ABD，
∴.
(2)證明：在正方體中，易知，
∵⊥平面ABD，平面ABD，∴.
又∵，、平面，∴BD⊥平面.
又平面，∴.
6．（2022·江西省銅鼓中學高二開學考試）如圖，在三棱柱中，，點是的中點.
(1)求證：平面；
(2)若側面為菱形，求證：平面.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
（1）連接交于，連接，
由為三棱柱，則為平行四邊形，
所以是中點，又是的中點，
故在△中，面，面，
所以平面.
（2）
由，而，面，
所以面，又面，則，
由側面為菱形，故，
又，面，故平面.
7．（2022·山東德州·高一期末）如圖，在圓錐PO中，AB是底面的一條直徑，C為底面圓周上一點.
(1)若D為AC的中點，求證：平面POD；
(2)若AС=ВС，求證：РС⊥АB．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
(1)因為O，D為AB，AC的中點，所以.
又因為OD平面РОD，平面POD.所以平面POD；
(2)連接ОC.
因為AB是底面的一條直徑，所以О是AB的中點，
又因為AC=BC，所以ОС⊥АB.因為PO⊥圓面O，且AB圓面О，所以РО⊥АB.
因為，PO，OC平面РОC，所以А?！推矫鍼OC.因為PC平面POC，
所以РС⊥АB.
題型二：平面與平面垂直的判定與性質
典型例題
例題1．（2022·山東·高密三中高二階段練習）如圖，垂直于矩形所在的平面，則圖中與平面垂直的平面是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
【答案】C
【詳解】因為平面ABCD，平面ABCD，
所以，
由四邊形ABCD為矩形得，
因為，
所以平面PAD．
又平面PCD，
所以平面平面PAD．
故選：C
例題2．（2022·全國·高一單元測試）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為中點，平面，，為中點.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(1)證明：連接、，在平行四邊形中，為、的中點，
∵為中點，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
(2)證明：∵，且，
∴，即，
∵平面，平面，∴，
∵，、平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
例題3．（2022·全國·高三專題練習）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點，在側棱上，且，求證：平面平面；
【答案】證明見解析
【詳解】在正三棱柱中，平面，平面，則.
是棱的中點，為正三角形，則.
，平面， 平面，.
又，，， ，，
，則 和相似，故，
，則有，故.
，平面，且平面，平面平面.
例題4．（2022·江蘇·無錫市第一中學高一階段練習）在四棱錐 中，銳角三角形 所在平面垂直于平面，，．
(1) 求證：平面；
(2) 平面 平面．
【答案】（1）見解析； （2）見解析.
【詳解】（1）四邊形ABCD中，因為AB⊥AD，AB⊥BC，
所以，BC∥AD，BC在平面PAD外，
所以，BC∥平面PAD
（2）作DE⊥PA于E，
因為平面PAD⊥平面PAB，而平面PAD∩平面PAB＝PA，
所以，DE⊥平面PAB，
所以，DE⊥AB，又AD⊥AB，DE∩AD＝D
所以，AB⊥平面PAD，
AB在平面ABCD內
所以，平面PAD⊥平面ABCD.
例題5．（2022·浙江·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，，底面是矩形，側面底面，是的中點．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【詳解】（1）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又AD平面PBC，BC平面PBC，
∴AD∥平面PBC；
（2）證明：∵底面ABCD是矩形，
∴AB⊥AD，
又∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
例題6．（2022·天津市第一中學濱海學校高一階段練習）如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，，分別為，的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明過程見解析；
(2)證明過程見解析.
(1)設G是CC1的中點，連接，
因為E為B1C的中點，所以，而，所以，
因為平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，
同理可證平面ABC，因為平面，且，
所以面平面ABC，而平面，所以DE 平面ABC；
(2)設是的中點，連接，
因為E為B1C的中點，所以，而，所以，
由（1）可知：面平面ABC，平面平面，平面平面，因此，
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面平面ABC，而平面平面ABC，
因為ABC是正三角形，是的中點，所以，因此平面，
而平面，因此，而，所以，
因為正三棱柱ABC－A1B1C1中棱長都相等，所以，而E分別為B1C的中點，
所以，而平面BDE，，所以B1C⊥平面BDE.
題型歸類練
1．（2022·全國·高一課時練習）空間四邊形ABCD中，若，，那么有（ ）
A．平面ABC平面ADCB．平面ABC平面ADB
C．平面ABC平面DBCD．平面ADC平面DBC
【答案】D
【詳解】∵，，，平面，
∴平面BDC．
又∵AD平面ADC，
∴平面平面DBC．
故選：D
2．（2022·四川·寧南中學高二開學考試（文））如圖，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中點．
(1)求證：∥平面；
(2)求證：面面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(1)連接AC，交BD于O，連接OE，
在△CAP中，，∴，
又∵平面BDE，平面BDE，∴∥平面BDE；
(2)∵PO⊥底面ABCD，則PO⊥BD，
又∵是正方形，則AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.
∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.
3．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學高二開學考試）如圖，在三棱錐中，，分別為棱的中點，平面平面.求證：
（1）∥平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【詳解】（1）∵別為棱的中點，
∴MN∥BC
又平面，
∴∥平面.
（2）∵，點為棱的中點，
∴，
又平面平面，平面平面，
∴平面.
∵平面，
∴平面平面.
4．（2022·江蘇·高一課時練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.
求證：AD⊥平面PCD.
【答案】證明見解析
【詳解】證明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，
又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD?平面ABCD，
根據(jù)面面垂直的性質定理得：AD⊥平面PCD.
5．（2022·全國·高一）三棱柱，側棱底面
(1)若，求證平面平面
(2)若平面平面，求證
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
(1)平面平面
，
又∵，，
平面，又∵平面，
∴平面平面.
(2)過A作，
∵平面平面，又平面平面，平面，
平面，又平面，
∴AD⊥BC，
又∵，平面，平面，，
∴平面，平面，
∴.
6．（2022·全國·高一）如圖1，在直角梯形ABCD中，，，且.現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【詳解】證明：取中點，連結.
在中， 分別為的中點，
所以，且.
由已知，， 所以，且，
因此四邊形是平行四邊形，所以有，
又因為平面，且平面， 所以平面；
（2）證明：在正方形中，.
又因為平面平面ABCD中，且平面平面，
所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.
在直角梯形ABCD中，，可得.
在中，， 所以.
所以， ，平面，
平面.
題型三：平行、垂直關系的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·寧夏·平羅中學高二階段練習（理））如圖，正方形和直角梯形不在同一個平面內，，，，，，是的中點.
(1)證明：平面平面；
(2)證明：平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
（1）
設，連接，
因為分別為，的中點，所以.
因為平面，平面，
所以平面.
因為是的中點，，所以，.
因為，所以四邊形是平行四邊形.
所以，
因為平面，平面，所以平面.
因為平面，平面，
所以平面平面.
（2）
因為，，
因為，平面，平面，，
所以平面
因為平面，所以，
因為四邊形是正方形，所以，
因為平面，平面，
所以平面．
例題2．（2022·江蘇蘇州·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線段上的動點，為線段的中點.
(1)若為線段的中點，證明：平面平面；
(2)若平面，試確定點的位置，并說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)點為線段的三等分點，且靠近點處，理由見解析
（1）
因為底面為正方形，，所以.
因為為線段中點，所以在平面中，.
因為底面底面，所以.
又平面平面，
所以平面.
因為平面，所以.
又平面平面，
所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（2）
如圖，連接，交于點，連接.
因為在正方形中，為線段中點，
，所以，即.
因為平面平面，平面平面，
所以，
所以，即，
所以點為線段的三等分點，且靠近點處.
例題3．（2022·福建·莆田一中高一期末）如圖，四邊形為矩形，且，，平面，，為的中點．
(1)求證：；
(2)若點為上的中點，證明平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
（1）證明：連接，∵為的中點，∴為等腰直角三角形，由此可得，同理，∴，即，又∵平面，且平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴．
（2）證明：取、的中點、，連接、、．∵、是，的中點，中，可得且，又∵是的中點，且四邊形為矩形，∴且，∴、平行且相等，可得四邊形是平行四邊形．∴，又∵平面，平面，∴平面．
例題4．（2022·北京亦莊實驗中學高一期末）如圖， 已知正方體， 點為棱的中點.
(1)證明：平面.
(2)證明：.
(3)在圖中作出平面截正方體所得的截面圖形 (如需用到其它點， 需用字母標記 并說明位置)， 并說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)圖形見解析，證明見解析.
（1）
證明：連接，交于點，連接，
因為是正方形，所以為的中點，又為棱的中點，
所以，平面，平面，
所以平面，
（2）
證明：在正方體中，平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以.
（3）
解：如圖取的中點，連接、，則為平面截正方體所得的截面，
證明：取的中點，連接、，因為為棱的中點
所以且，且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以，即、、、四點共面，即為平面截正方體所得的截面；
題型歸類練
1．（2022·四川·綿陽中學高二開學考試（文））如圖，已知平面，，，，，E和F分別為和的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
（1）
連接，由于分別是的中點，所以，
由于平面，平面，
所以平面.
（2）
由于平面，，所以平面，
由于平面，所以，
由于是的中點，所以，
由于平面，所以平面.
由于平面，所以平面平面.
2．（2022·云南昭通·高一期末）如圖，在棱長為2的正方體中，為中點，為與的交點.
(1)求三棱錐的體積；
(2)證明：平面；
(3)證明：平面.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
（1）
在正方體中，平面且
則
（2）
證明：連接，在中，點分別為的中點，
所以
又平面平面
平面；
（3）
證明：連接，在正方體中，
在Rt中，
，
中，，
又，
平面且交于點
平面.
3．（2022·遼寧·鞍山市第二十四中學高二開學考試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，與交于點O，E為的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
（2）
證明：∵四邊形為正方形，∴，
∵平面，且平面，所以，
又∵平面，且，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
4．（2022·山東菏澤·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是梯形，，且，，.
(1)若F為PA的中點，求證平面PCD
(2)求證平面PCD.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
（1）
取PD中點E，連接EF、EC，如圖所示
因為E、F分別為PD、PA中點，
所以，且，
又因為，且，
所以且，
所以四邊形EFBC為平行四邊形，
所以，
因為平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD
（2）
因為，F(xiàn)為PA中點，
所以，則，
因為，平面PCD，
所以平面PCD.
題型四：幾何法求線面角
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）如圖所示，在正方體中，直線與平面所成的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為在正方體中，平面，
所以為與平面所成的角，
因為為等腰直角三角形，
所以，
所以直線與平面所成的角為，
故選：A
例題2．（2022·吉林·東北師大附中高二階段練習）設二面角的大小為，點在平面內，點在上，且，則與平面所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】過作于，作于，連接，，是與平面所成角，
由得，又，平面，
所以平面，而平面，所以，
所以是二面角的平面角，所以，
，，則，同理，
設，又，則，，，
，是銳角，所以．
故選：A．
例題3．（2022·上?！偷└街懈呷A段練習）四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，為的中點.
(1)求證：平面平面；
(2)求與平面所成的角的正切值；
【答案】(1)證明見解析
(2)
（1）
∵四邊形ABCD為菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，
∴，在中，E是AD中點，∴，∵平面ABCD，
平面ABCD，∴，∵，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，
∵平面PCE，∴平面平面PAD.
（2）
∵平面PAD，∴斜線PC在平面內的射影為PE，
即是PC與平面PAD所成角的平面角，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
在中，，在中，，
∵平面PAD，平面PAD，∴，在中，，
∴PC與平面PAD所成角的正切值為.
例題4．（2022·浙江·寧波咸祥中學高一期末）如圖，垂直于⊙所在的平面，為⊙的直徑，，，，，點為線段上一動點．
(1)證明：平面平面
(2)當點與點重合，求 與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
（1）
證明：因為垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，
所以，
又為⊙的直徑，所以，
因為，所以平面，
又平面，所以，
因為，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）
因為，，所以，
又，所以，
由，得,
如圖，過點作∥交于點，則，可得，
又，所以，
所以，
設點到平面的距離為，
由，可得，
所以
解得，
所以當點移動到點時，與平面所成角的正弦值為
．
例題5．（2022·遼寧大連·高一期末）如圖，在直三棱柱中，，且，，，是棱的中點，是棱上的點，滿足．
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
（1）證明：因為，且，，所以;因為，所以；因為是棱的中點，所以，因為，所以；因為，，所以；在直角梯形中，，，所以.在直角三角形中，，，所以；因為，所以.由，，且，所以平面.
（2）在直角三角形中，作于，如圖， 由等面積法可得；由直棱柱的性質可得，所以平面;因為平面，所以到平面的距離為，設直線與平面所成角為，則.
題型歸類練
1．（2022·全國·高二單元測試）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則D1A與平面ABCD所成的角為（ ）
A．45°B．60°C．90°D．135°
【答案】A
【詳解】解：依題意，如圖所示，
根據(jù)正方體的性質可知，平面，
∴即為直線與平面所成的角，
又∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
故選：A．
2．（2022·廣東·北京師范大學珠海分校附屬外國語學校高一階段練習）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，是的中點，則直線與平面所成角的正切值為________．
【答案】
【詳解】連接，
平面，即為直線與平面所成角，
在中，，，
.
故答案為：.
3．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．
(1)求證：PA⊥平面PCD；
(2)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
（1）
證明：取棱PC的中點N，連接DN，
由題意可知，DN⊥PC，又因為平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，
所以DN⊥平面PAC，又PA?平面PAC，
故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN?平面PCD，
則PA⊥平面PCD；
（2）
連接AN，由（1）可知，DN⊥平面PAC，
則∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角，
因為為等邊三角形，CD＝2且N為PC的中點，
所以DN＝，又DN⊥AN，
在中，sin∠DAN＝，
故直線AD與平面PAC所成角的正弦值為．
4．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））如圖長方體中，，延長到M，N，使．
(1)證明：平面；
(2)求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
（1）證明：∵多面體為長方體，∴，∴，又D，C，N三點共線，且，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面平面，∴平面．
（2）設三棱錐的高為h，的面積為，三棱錐的體積為．又三棱錐的體積為，故，又∴與平面所成角的正弦值為．
5．（2022·遼寧·高一期末）如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，，E在AB上，且為邊長為2的等邊三角形．將沿DE折起，使得點A到點P的位置，平面平面BCDE，如圖2．
(1)若F為PC的中點，證明平面PDE；
(2)證明：；
(3)求直線BP與平面DCBE所成角的大?。?br>【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
(1)
取PD中點G，連接GE，GF
又∵F是PC中點，∴在中，，
在直角梯形ABCD中，，．
所以，，∴且．
∴四邊形GFBE為平行四邊形，∴
又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE．
(2)
取DE中點M，連接PM，MB，MC，則，
∵面面BEDC，面面，平面PDE，
∴面BEDC，又面BEDC，面BEDC，
∴，．
在中，，則，
又中，，，則，
同理在中，，則，
又中，，，則，
，∴．
(3)
由（2）知面BEDC，∴為PB與平面DCBE所成角的平面角，
在中，，，∴，
則PB與平面DCBE所成角的大小為．
題型五：幾何法求二面角
典型例題
例題1．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學高二開學考試）如圖，在長方體中，為的中點，則二面角的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】如圖，在長方體中，平面，平面，平面，所以，且，所以即為二面角的平面角，又，易得.
故選：B.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在矩形中，，，沿對角線把△折起，使點移到點，且在平面內的射影恰好落在上．
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】（1）證明：在平面內的射影恰好落在上，即為在面上的射影，而，所以，
∵，，
∴平面，又平面，
∴平面平面．
（2）由（1）知：，在中，有，即，
∴，又，，即面，
∴二面角的平面角是，
∴，
∴二面角的余弦值是．
例題3．（2022·山東·濰坊實驗中學高二階段練習）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側棱，
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求二面角的平面角的大小．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)
（1）
，．
．
同理可證．
平面．
（2）
由（1）知平面，平面，．
∵四邊形是正方形，．
又，平面．
又平面，∴平面平面．
（3）
由（1）知平面，平面，．
又，平面．
平面，．
為二面角的平面角．
在中，．
∴二面角的平面角的大小為45°．
例題4．（2022·湖南·隆回縣教育科學研究室高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，與交于點O.
(1)求證平面.
(2)求與平面所成角的大小.
(3)求二面角的正切值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)2
（1）
證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD，又PAAC＝A， 面PAC
∴BD⊥面PAC
（2）
解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA為PA與面ABCD所成角
又PA＝AB＝2，∴∠PBA＝，即PB與面ABCD所成角為
（3）
連PO，由（1）知BD⊥面PAC，∴PO⊥BD，AO⊥BD
∴∠POA為二面角P—BD—A的平面角，在Rt△PAO中
PA＝2，AO＝1，tan∠POA=2，∴二面角P—BD—A的正切值為2
例題5．（2022·全國·高三專題練習）已知矩形，，分別是線段中點，底面．
(1)若棱上一點G滿足，求證：面；
(2)若，求二面角的正切值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
（1）
證明：作為的中點，在上取點，使點滿足，連接、、、；
是的中點，在梯形中，，，
，，
，，在中，，，
且，四邊形為平行四邊形，，
面，面，面．
（2）
解：因為，，所以，又為的中點，
所以，又為矩形，
所以、為等腰直角三角形，
所以，，所以，即，
又底面，底面，所以，
又，平面，所以平面，平面，
所以，
所以為二面角的平面角，
所以，即二面角的正切值為.
題型歸類練
1．（2022·黑龍江·大慶市東風中學高一期末）如圖，棱錐的底面是矩形，平面，．
(1)求證：平面；
(2)求平面和平面夾角的余弦值的大?。?br>【答案】(1)證明過程見解析；
(2)
（1）因為平面，BD平面，所以PA⊥BD，因為，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
（2）因為PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因為PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因為CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夾角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD與平面ABCD的夾角余弦值為.
2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，三棱錐 中，已知 平面 .求二面角的正弦值
【答案】
【詳解】
取BC的中點D，連結PD，AD
∵
∴
∵平面，
∴,且
即
∴即為二面角的平面角
∵
∴

即二面角的正弦值是
3．（2022·全國·高一課時練習）如圖，已知正方體．
(1)求二面角的正切值的大?。?br>(2)求二面角的正切值的大?。?br>【答案】(1)；
(2)．
（1）
連接，交于，
因為四邊形為正方形，所以，
又平面，平面，
所以，平面，，
所以平面，因為平面，,
所以是二面角的平面角，
設，
在中，,，
所以，由，
所以，
所以二面角的正切值為.
（2）
連接,其中點為的中點，
因為，,
所以，，
所以為二面角的平面角，
在中，，,
所以
二面角的正切值為.
4．（2022·江蘇·淮海中學高二開學考試）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形，平面底面.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成的二面角的正切值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
（1）
∵底面是正方形，
∴，
又平面底面，平面底面，底面，
∴平面；
（2）
取的中點，連接，，
∵是正三角形，
∴，，
∵平面，平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
∵底面，
∴，
∴就是平面與平面所成的二面角的平面角，
在中，，
∴平面與平面所成的二面角的正切值為.
5．（2022·河南安陽·高二階段練習（理））如圖，在三棱錐中，平面平面，和都是等腰直角三角形，，.
(1)證明：平面；
(2)若棱AC的中點為M，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明詳見解析
(2)
(1)
解：∵和都是等腰直角三角形，，，
∴，又∵平面平面，
面面，面，
∴面，∵面，∴，
∵，∴平面
(2)
∵AC的中點為M，，∴
∵平面平面，面面，
面，∴面，∴，
∴為二面角的平面角，
設，則，，
∴，故二面角的余弦值為

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