重難點(diǎn)突破11 圓錐曲線中的探索性與綜合性問(wèn)題（七大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

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\l "_Tc176605899" 01 方法技巧與總結(jié) PAGEREF _Tc176605899 \h 2
\l "_Tc176605900" 02 題型歸納與總結(jié) PAGEREF _Tc176605900 \h 2
\l "_Tc176605901" 題型一：存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值 PAGEREF _Tc176605901 \h 2
\l "_Tc176605902" 題型二：存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值 PAGEREF _Tc176605902 \h 7
\l "_Tc176605903" 題型三：存在點(diǎn)使兩角度相等 PAGEREF _Tc176605903 \h 12
\l "_Tc176605904" 題型四：存在點(diǎn)使等式恒成立 PAGEREF _Tc176605904 \h 17
\l "_Tc176605905" 題型五：存在點(diǎn)使線段關(guān)系式為定值 PAGEREF _Tc176605905 \h 23
\l "_Tc176605906" 題型六：存在定直線問(wèn)題 PAGEREF _Tc176605906 \h 29
\l "_Tc176605907" 題型七：存在定圓問(wèn)題 PAGEREF _Tc176605907 \h 35
\l "_Tc176605908" 03 過(guò)關(guān)測(cè)試 PAGEREF _Tc176605908 \h 39
解決存在性問(wèn)題的技巧：
（1）特殊值（點(diǎn)）法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過(guò)其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立．
（2）假設(shè)法：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論．若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在．
題型一：存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值
【典例1-1】（2024·北京通州·二模）已知橢圓：（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線l過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)F，且與E交于兩點(diǎn)（不與左右頂點(diǎn)重合），點(diǎn)在軸正半軸上，直線交軸于點(diǎn)P，直線交軸于點(diǎn)，問(wèn)是否存在，使得為定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，
所以，．
所以，．所以．
所以橢圓的方程為．
（2）若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，．
聯(lián)立方程組，
消去，化簡(jiǎn)得．
則，即,
設(shè)，，
所以，．
所以直線TM的方程為，直線的方程為．
所以，．
所以，，
所以
．
所以當(dāng)時(shí)，為定值，
即（負(fù)值舍）時(shí)，有定值．
當(dāng)時(shí)，若直線l斜率不存在，
不妨設(shè)，，
所以，．
所以．
綜上，當(dāng)時(shí)，有定值．
【典例1-2】已知橢圓橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．
(1)求橢圓方程．
(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線（斜率存在）與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得為銳角？若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）∵橢圓的離心率為，故，，其中為半焦距，
∴，故，
故，∴，，故橢圓方程為：．
（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，
設(shè)，
由可得，
故且
而，
故
，
∵為銳角，恒成立，故，解得或 ．
綜上，存在（或），使得為銳角．
【變式1-1】如圖所示，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8．
(1)求橢圓的方程．
(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）的周長(zhǎng)為,
∴，,,
故橢圓．
（2）
法一:
設(shè)點(diǎn)，由得
∵直線與曲線相切，∴，即①
由韋達(dá)定理得,
,
∴．
令，得，則．
假設(shè)平面上存在定點(diǎn)滿足條件，由圖的對(duì)稱性可知，點(diǎn)必在軸上．
設(shè)點(diǎn)，則有
且，
由
整理得
滿足①式，∴
故存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．
法二:（極點(diǎn)極線）．
由性質(zhì)1可知存在點(diǎn)滿足條件，且點(diǎn)為極線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)．
由配極原則寫出點(diǎn)的極線為
對(duì)比直線可得，故存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．
【變式1-2】（2024·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)且平行于軸的弦．
(1)求的內(nèi)心坐標(biāo)；
(2)是否存在定點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的直線交于，交于點(diǎn)，且滿足？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
不妨取，則；
因?yàn)橹?，，所以的?nèi)心在軸，設(shè)直線平分，交軸于，則為的內(nèi)心，且，所以，則；
（2）∵橢圓和弦均關(guān)于軸上下對(duì)稱．若存在定點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上∴設(shè)
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，
消去得，
則①
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，均在直線上，
，整理得，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，則直線的斜率必存在．∴存在定點(diǎn)滿足題意
題型二：存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值
【典例2-1】（2024·四川宜賓·三模）已知橢圓E：的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，且．
(1)求直線與的交點(diǎn)N的軌跡M的方程；
(2)若直線OA，OB，OC，OD的斜率分別為，，，，問(wèn)在（1）的軌跡M上是否存在點(diǎn)P，滿足，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）由已知，，則：，：，
∴點(diǎn)滿足，即，∴①②，
∴點(diǎn)P的軌跡方程是（），
又依題意可知，
綜上可知：直線與的交點(diǎn)N的軌跡M的方程為：（且）；
（2）由題意知直線：，與橢圓方程聯(lián)立，
消元得，，
，
同理可得，
所以，即．
由（1）知，所以，令點(diǎn)，，解得，
∴存在或滿足題意．
【典例2-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，．
(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)斜率存在時(shí)，線段上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之和為定值．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，，，
由橢圓離心率為，得，解得，
所以橢圓C的方程為.
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，，設(shè)直線l：，，
由消去y得，
，，，
直線的斜率有
，
則當(dāng)時(shí)，為定值，
所以存在定點(diǎn)，使得直線QA與直線QB的斜率之和恒為0.
【變式2-1】（2024·高三·河北·期末）已知，分別是橢圓：的左、右頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且，的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程.
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)椋?，則，
又的周長(zhǎng)為，所以，解得，
則，故橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，Mx1,y1，Nx2,y2，
聯(lián)立方程組，整理得，
，
由韋達(dá)定理得，，
又，所以，
又，，
所以，
令，即，則為定值，
故存在，使得為定值.
【變式2-2】（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是直線：（其中是實(shí)半軸長(zhǎng)，是半焦距）上不同于原點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若直線，，，的斜率分別為，，，，問(wèn)是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題可得雙曲線E：，
則，
∴左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l的方程為：
設(shè)，
，同理可得．
∴；
（2）設(shè)，如圖，
直線方程為，
代入雙曲線方程可得：，
所以，則，
則，
，
，
．
同理，
即，
即，
∴或，
又，
若．無(wú)解，舍去．
∴，解得，，或，，
若，，由A在直線上可得，，
∴．此時(shí)，
若，，由A在直線上可得，，
∴此時(shí)
∴存在點(diǎn)，或，滿足．
題型三：存在點(diǎn)使兩角度相等
【典例3-1】（2024·重慶·一模）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．已知，請(qǐng)問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）連接，則，
點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的雙曲線，
點(diǎn)的軌跡方程為:.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程為:，則.
當(dāng)直線的方程為時(shí)，則，解得（負(fù)舍，） 則，
而，易知此時(shí)為等腰直角三角形，
其中，
即，即:，
下證：對(duì)直線斜率存在的情形也成立，
設(shè)，其中，且，因?yàn)?，則，且，
即，
，
，
，
結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象可知，.
【典例3-2】（2024·湖南邵陽(yáng)·一模）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖所示，設(shè)點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，且都在軸的上方.在軸上是否存在點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）依題意得
解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）存在點(diǎn)，使，點(diǎn)的坐標(biāo)為.理由如下：
直線過(guò)點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn).且都在軸上方.
直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立方程消去可得：.
此時(shí)，設(shè)，則.
，
.
存在點(diǎn)滿足條件.
點(diǎn)坐標(biāo)為.
【變式3-1】（2024·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，分別為橢圓的上，下頂點(diǎn)，到直線的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別交x軸于兩點(diǎn)．問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)R，使得？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）中由面積公式得，
即，得，
橢圓方程為；
（2）如圖，
假設(shè)存在點(diǎn)使得，設(shè)，
，即，
，即，
直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，易知關(guān)于對(duì)稱，
設(shè)，則，
由（1）知，直線的方程是，令得，
直線方程是，令得，
由，得，
又在橢圓上，所以，即，
，即.
所以存在點(diǎn)，使得成立．
【變式3-2】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且兩個(gè)焦點(diǎn)及短軸兩頂點(diǎn)圍成四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)設(shè)，為橢圓上不同的兩個(gè)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線.其中為坐標(biāo)原點(diǎn).問(wèn)：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）依題意可得，，又，解得，
所以橢圓方程為，則離心率
（2）因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)點(diǎn)，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
所以點(diǎn)，．
假設(shè)存在M使，，
所以，又，所以，
即，所以，
設(shè)，則，，
所以，即，
又，所以，所以，解得，
所以.
題型四：存在點(diǎn)使等式恒成立
【典例4-1】已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，，過(guò)點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線l交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)定點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)M，N，試判斷：在x軸上是否存在點(diǎn)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知可得，又，解得，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）
設(shè)直線l：，的中點(diǎn)，
假設(shè)在x軸上是否存在點(diǎn)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則，
由，
所以，
由于直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)，
所以或，
所以，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，而，所以，
存在點(diǎn)，使得以AM，A還看過(guò)9．（2024·廣東·三模）已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)的直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)PQ與x軸平行時(shí)，的面積為16，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，，（）為拋物線上任意三點(diǎn)，記面積為，分別在點(diǎn)A、B、C處作拋物線的切線、、，與的交點(diǎn)為D，與的交點(diǎn)為E，與的交點(diǎn)為F，記面積為，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）當(dāng)PQ與x軸平行時(shí)，，
因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)均在拋物線C上，
所以，
即，
因?yàn)榈拿娣e為16，
所以，
解得，
則的方程為；
（2）直線AC的斜率為：，
則：，
直線與的交點(diǎn)為T，
則點(diǎn)T為，
所以
（?）
（??）
所以：

由，得，
令，則的斜率，
則有：，即：，
同理：：，：，
與相交得：，得：；
同理可得：，；
同理由（??）可知


所以，
所以存在，使得
【典例4-2】（2024·高三·貴州·期中）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相交與，兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對(duì)稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題意得，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）
在軸上假設(shè)存在點(diǎn)，使得，恰好關(guān)于軸對(duì)稱，
設(shè)，，直線：，，
聯(lián)立，得，則，，
因?yàn)?，恰好關(guān)于軸對(duì)稱，所以，即，
即，即
整理可得，
則，即得，即．
故在軸上存在定點(diǎn)，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對(duì)稱.
【變式4-1】（2024·北京·三模）已知橢圓 的離心率為，其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)為橢圓上除，外的任意一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線記為，直線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)使得與的面積相等?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題意，，又，所以，
則，所以橢圓C的方程為.
（2）
設(shè)，且，則 ，
又因?yàn)?，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)?，所以直線的斜率為，
因?yàn)?，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
因?yàn)椋?，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
所以，
聯(lián)立直線和直線的方程，
消去得，即，
整理有：，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
，，
要使得與的面積相等，應(yīng)有，
整理有，即，
解得，，因?yàn)椋ㄉ崛ィ?，所以?br>由可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
題型五：存在點(diǎn)使線段關(guān)系式為定值
【典例5-1】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，橢圓的焦距是2，（異于）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與的斜率之積為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是內(nèi)切圓的圓心，試問(wèn)平面上是否存在定點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）設(shè)，則，即，
顯然點(diǎn)，依題意，，
解得，由橢圓的焦距是2，得，則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，因?yàn)?，則，
由（1）知，則直線的方程為，即，
從而點(diǎn)到直線的距離，
即，即.
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，即，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，即，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上，
故存在定點(diǎn)，使得.
【典例5-2】（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為cc>0，
由題意可得，解得，所以的方程為．
（2）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，
設(shè)直線，
聯(lián)立方程得，消去，整理可得，
所以，，
．
因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，所以兩點(diǎn)在軸同側(cè)，所以．
此時(shí)，即，所以．
設(shè)，將代入拋物線方程，得，
則，
所以
．
所以．
故當(dāng)時(shí)，為定值，所以，當(dāng)時(shí)，為定值．
【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)在圓上，對(duì)任意實(shí)數(shù)，上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)在之間，且時(shí)．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)是否存在與不重合的定點(diǎn)，使得成立，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1），
因?yàn)閳A上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
所以圓心在直線上，則，得．
因?yàn)榈囊粋€(gè)頂點(diǎn)在圓上，所以點(diǎn)在圓上，
所以．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
代入，得，則．
因?yàn)閳A的半徑為1，
所以，
解得，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）假設(shè)存在與不重合的定點(diǎn)，使得，即，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以，
所以點(diǎn)在軸上．
設(shè)．
聯(lián)立得，得，
設(shè)，
則，
得．
由可得，
所以，
即，
即，
因?yàn)?，所以?br>得．即存在定點(diǎn)，使得．
【變式5-2】（2024·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，順次連接橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)的菱形．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)滿足恒為定值？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)對(duì)于第（2）問(wèn)，如果推廣到一般的橢圓．求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線？
【解析】（1）由題意，，
解得，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)，聯(lián)立，消y得，
由，得：①，
所以，
直線的方程為：
令，得，令，得
的坐標(biāo)滿足②，③
又，
所以的軌跡方程為，
由橢圓定義，知存在定點(diǎn)，使得.
方法二：的坐標(biāo)滿足②，③
解得：，代入①得
所以，的軌跡方程為.
（3）設(shè)，聯(lián)立，消y得：，
，得：，④
由④式得：
直線的方程為：
令，得，令，得
的坐標(biāo)滿足⑤，⑥
解得：，代入④得．
的軌跡方程為
所以，點(diǎn)的軌跡是以焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.
題型六：存在定直線問(wèn)題
【典例6-1】（2024·上海虹口·二模）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線為的法向量為，求直線的方程；
(3)是否存在直線，使得為直角三角形？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由已知條件可知，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）因?yàn)橹本€為的法向量為，
所以直線的斜率為，方程為，
聯(lián)立，得，解得（舍去），
從而，
因?yàn)橹本€的斜率之積為1，所以直線的方程為，
同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以直線的斜率，
所以直線的方程為，即；
（3）假設(shè)存在滿足條件的直線，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，解得（舍去），
因?yàn)橹本€的斜率之積為1，所以直線的方程為，
同理可得，
故直線的斜率
，
當(dāng)為直角三角形時(shí)，只有或，
于是或，
若，由，可得，從而，
若，由，可得，從而，
所以存在，直線的斜率為.
【典例6-2】（2024·安徽阜陽(yáng)·三模）已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)l經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）
由已知C：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，得，
焦點(diǎn)，，.
所以，，故C：.
（2）設(shè)l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯(lián)立得：，
由已知得，，設(shè)，，
則，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直線l：滿足條件.
【變式6-1】（2024·河南安陽(yáng)·一模）如圖，已知直線，M是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MA與相交于點(diǎn)A（A位于第一象限），，且MB與相交于點(diǎn)B（B位于第四象限），若四邊形OAMB（O為原點(diǎn)）的面積為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與C相交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在定直線l′:，使以PQ為直徑的圓與直線l′相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且為定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)，所在直線方程為，
聯(lián)立方程得，同理，
，
所以四邊形OAMB的面積為：
，
所以，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為．
（2）假設(shè)存在定直線l′：，使為定值．
設(shè)，PQ中點(diǎn)，直線l方程為，
聯(lián)立方程，
由，得，
，
，
，
設(shè)G到直線l′：的距離，
，
因?yàn)闉槎ㄖ?，所以為定值?br>由為定值，
故即，即當(dāng)時(shí)，為定值，
此時(shí)．
所以存在定直線，使為定值．
【變式6-2】（2024·上?！と＃┮阎獧E圓：，、分別為左、右焦點(diǎn)，直線過(guò)交橢圓于、兩點(diǎn).
(1)求橢圓的離心率；
(2)當(dāng)，且點(diǎn)在軸上方時(shí)，求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由橢圓方程知，，，
所以，
所以離心率.
（2），，設(shè)Ax1,y1，且.
所以，，
，，
又在橢圓上，滿足，即，
，解得，即.
所以直線：，
聯(lián)立，解得或，
所以；
（3）設(shè)，，，，
直線：，
聯(lián)立，得.
則，.
直線的方程：y=y1x1+2x+2，令得縱坐標(biāo)；
直線的方程：y=y2x2+2x+2，令得的縱坐標(biāo).
則，
若，即，
，
，，
代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得.
存在直線或滿足題意.
題型七：存在定圓問(wèn)題
【典例7-1】（2024·高三·湖北武漢·期末）已知雙曲線（，），點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，的一條漸近線方程為.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓記為，是否存在定圓與圓內(nèi)切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
因?yàn)辄c(diǎn)是的右焦點(diǎn)，的一條漸近線方程為
所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）存在定圓滿足題意，方程為，理由如下：
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，所以直線斜率不為0，
設(shè)直線方程為，，
由，得，
，
，，
所以，，
由直線與的右支交于兩點(diǎn)可知，解得，
又因?yàn)?br>，
所以圓的方程為，
由對(duì)稱性可知，若存在定圓與圓相內(nèi)切，則定圓圓心一定在軸上，
不妨設(shè)定圓方程為，
則由圓與圓相內(nèi)切可知，，
即，
整理得，，
因?yàn)樯鲜脚c無(wú)關(guān)，
所以，解得，
所以存在定圓滿足題意
【典例7-2】（2024·江蘇宿遷·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且恒有，是否存在定圓與直線相切？若存在，求出定圓的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，因?yàn)橹本€的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，
可得，所以，
因?yàn)?，可得，且?br>所以，解得或（舍去），
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，
聯(lián)立方程組得或（舍去），
所以雙曲線方程為：．
（2）（?。┤糁本€的斜率不存在，設(shè)方程為，
因?yàn)椋僭O(shè)，則，可得，
由，聯(lián)立方程組，解得，可得原點(diǎn)到直線的距離為．
（ⅱ）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，
又，設(shè)，則，即，
則，（*）
聯(lián)立方程組，整理得
當(dāng)且，即且時(shí)，
，
代入（*）得，
即（其中），
原點(diǎn)到直線的距離為，
綜合（ⅰ）（ⅱ），存在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與直線相切，
所求定圓的方程為．
【變式7-1】（2024·安徽·一模）橢圓的上頂點(diǎn)為，圓在橢圓內(nèi)．
(1)求的取值范圍；
(2)過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，，則．
則．故．
（2）
由題意可知，設(shè)，因?yàn)?，故切線的斜率都存在．
又直線的方程為，即為，
直線的方程為．
則，故．
而，故，又因?yàn)椋?br>故，同理．
故直線的方程為．
若直線與圓相切，則，令．
故，即．故，或．
故存在滿足條件的圓，其方程為．
1．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8，的最大面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)，是否存在x軸上的定點(diǎn)P，使得的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）∵的周長(zhǎng)為8，的最大面積為，
∴，解得，或，．
∴橢圓C的方程為或等．
（2）
由（1）及易知F21,0，
不妨設(shè)直線MN的方程為：，，Mx1,y1，Nx2,y2，
聯(lián)立，得．
則，，
若的內(nèi)心在x軸上，則，
∴，即，即，
可得．
則，得，即．
當(dāng)直線MN垂直于x軸，即時(shí)，顯然點(diǎn)也是符合題意的點(diǎn)．
故在x軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在x軸上.
2．（2024·廣東·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若A，B兩點(diǎn)在一曲線C上，曲線C在A，B均存在不垂直于x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值等于直線AB的斜率，則稱AB是曲線C的一條“切線相依割線”．
(1)證明：準(zhǔn)線平行于x軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”；
(2)試探究雙曲線在第一象限內(nèi)是否存在“切線相依割線”，若存在，請(qǐng)求出所有的“切線相依割線”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）證明：由準(zhǔn)線平行于x軸，故拋物線圖象開口向上，為二次函數(shù)，
設(shè)，，則AB斜率為，
，故A，B處均存在不垂直于x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值為，等于直線AB的斜率，故AB為切線相依割線，由于AB可以任取，故準(zhǔn)線平行于x軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”．
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，其中，，，則AB斜率為，
設(shè)雙曲線在A點(diǎn)處切線方程為l：，則將其代入雙曲線方程，消去y有，
令，得，故，
同理，雙曲線在B點(diǎn)處切線斜率為，故其均值為，
由A，B在雙曲線上，故，，兩式相減得，故，
假設(shè)存在“切線相依割線”，則，即，
化簡(jiǎn)得，設(shè)AB：，
則，即，
當(dāng)時(shí)，即，得，不合題意，
當(dāng)時(shí)，與雙曲線在第一象限內(nèi)至多有一個(gè)焦點(diǎn)，不合題意，
故雙曲線在第一象限內(nèi)不存在“切線相依割線”．
3．已知橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試問(wèn)的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題意可知：，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，
所以，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）由題意可知直線的斜率不為，所以設(shè)直線的方程為：，
與橢圓的方程聯(lián)立，得
消去，得，
所以，
設(shè)，，則，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得 ，
直線的斜率為：，
所以直線的方程為，
令，得，
即直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，記為，
則，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
4．已知圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)點(diǎn)是圓上異于點(diǎn)和的任一點(diǎn)，直線與軌跡交于點(diǎn)，，直線與軌跡交于點(diǎn)，．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，，的斜率分別為，，，，問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由圖可知，因?yàn)?，所以?br>則點(diǎn)的軌跡是橢圓，且，
點(diǎn)的軌跡的方程為
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立
齊次化得，
整理可得，
即，方程的兩根為，，
則．
同理可得．
由條件知，∴．
整理得，故．
5．設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線l過(guò)交橢圓于A，B兩點(diǎn)．試從① 若點(diǎn)M，N在該橢圓上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P為該橢圓上異于M，N的一點(diǎn)，且；②的周長(zhǎng)為8；③的最小值為8這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，并解答問(wèn)題．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)是否存在直線l，使得的重心為？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）
選①：設(shè)，，，由，，在橢圓上，
可得， ，
，
所以，所以.
故橢圓方程為.
選②：三角形的周長(zhǎng)為，.
故橢圓方程為.
選③：因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，.
故橢圓方程為.
（2）由題可設(shè)直線l的方程為，
由可得，易知，
設(shè)，則，，
所以.
又，所以的重心為.
令，解得，
所以當(dāng)直線l的方程為時(shí)，的重心為.
6．（2024·高三·北京海淀·開學(xué)考試）已知橢圓，與x軸不重合的直線l經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，且與橢圓G相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為M，直線與橢圓G相交于兩點(diǎn)．
(1)若直線l的斜率為1，求直線的斜率；
(2)是否存在直線l，使得成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）
設(shè)，則，
由A、B在橢圓上有，
作差得：，
易知，，
即，
所以直線的斜率為；
（2）假設(shè)存在直線滿足題意，不妨設(shè)其方程為，設(shè)，
由，則，
所以，
且，
則，易得，
由橢圓對(duì)稱性可設(shè)，則，
由，
所以
，
易知，
則，
即存在直線或滿足題意.
7．（2024·廣西桂林·三模）雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且傾斜角為的直線為，過(guò)且傾斜角為的直線為，已知，之間的距離為．
(1)求C的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與C的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)不在x軸上），判斷是否存在實(shí)數(shù)k使得．若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)，因?yàn)?，之間的距離為，
所以，，則，
所以C的方程為．
（2）由（1）知，易知直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l：，Mx1,y1，Nx2,y2，
聯(lián)立方程組，消去x，得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，同理．
因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)且與C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，
所以M，N兩點(diǎn)在x軸同側(cè)，∴，此時(shí)，即．
所以
，
所以．
所以存在，使得．
8．橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，是經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的一條弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）．記直線，，的斜率依次為，，，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）由橢圓離心率，則，即，
所以橢圓方程為，
又橢圓過(guò)點(diǎn)，則，解得，，
所以橢圓方程為.
（2）由已知F1,0，經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
可知直線的斜率一定存在，設(shè)，
當(dāng)直線斜率為時(shí)，A?2,0，，
則，，，
此時(shí)，
當(dāng)直線斜率不為時(shí)，
如圖，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立直線與橢圓，得，，
則，，
設(shè)，，于是，即．
又，則，
，
綜上所述存在常數(shù)，使得．
9．（2024·全國(guó)·二模）如圖，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn).
(1)若，求的方程；
(2)當(dāng)直線變動(dòng)時(shí)，若不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在唯一的直線，使得？并說(shuō)明理由.
【解析】（1）由，得直線的斜率為，方程為，即，
由消去得：，設(shè)，
則，由，得，解得，
所以拋物線的方程是.
（2）由（1）知，拋物線的方程是，
直線不垂直于軸，設(shè)直線，顯然，
由消去并整理得，，
則，
設(shè)拋物線在處的切線方程為，由消去得：
，由，得，
于是拋物線在處的切線方程為，
同理拋物線在處的切線方程為，設(shè)點(diǎn)，
由，，得，，
即點(diǎn)，于是直線的斜率分別為，
若存在直線，使得，則，
設(shè)直線的傾斜角分別為，則，
由，得或，因此，
即，則，
，
整理得，
化簡(jiǎn)得，令，
求導(dǎo)得，顯然，
即恒成立，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，
因此存在唯一，使得
所以存在唯一的直線，使得.
10．（2024·湖南永州·二模）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，的面積最大值為．
(1)求的方程；
(2)設(shè)直線分別交于點(diǎn)，直線的斜率為，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題意可知當(dāng)M位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，
即，即，
由橢圓的離心率為，即，即，
結(jié)合，
解得，
故橢圓的方程為；
（2）設(shè)，而，
當(dāng)MN斜率不為0時(shí)，M，N均不在x軸上，
則直線MP的方程為，
聯(lián)立，，
由于MP過(guò)點(diǎn)D，D在橢圓內(nèi)部，則必有，
則，代入MP方程可得，
同理可得，
故，
又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
即，故，則，
所以此時(shí)存在實(shí)數(shù)，使得；
當(dāng)MN斜率為0時(shí)，M，N均在x軸上，則P，Q也在x軸上，
此時(shí)，也符合題意；
綜上存在實(shí)數(shù)，使得；
11．已知橢圓的離心率為，且a，b的等比中項(xiàng)為2．
(1)求C的方程；
(2)若直線與C交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)A且與C交于另外一點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)B，且與C交于另外一點(diǎn)．
（ⅰ）設(shè)，，證明：；
（ⅱ）若直線的斜率為，判斷是否存在常數(shù)m，使得k是m，的等比中項(xiàng)，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）因?yàn)镃的離心率為，所以，
整理得，所以，
因?yàn)閍，b的等比中項(xiàng)為2，所以，
即，，，
所以C的方程為．
（2）（ⅰ）與聯(lián)立得，
則，則或，
所以，
因?yàn)?，且?br>所以，
所以，即得證．
（ⅱ）由（?。┲?br>因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
設(shè)，則，．
又，，
所以，所以，9的一個(gè)等比中項(xiàng)為k，
即存在，使得k是m，的等比中項(xiàng)．