一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．在研究集合時(shí)，用來(lái)表示有限集合中元素的個(gè)數(shù).集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．等差數(shù)列x1，x2，x3，…，x9的公差為1，若以上述數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x9為樣本，則此樣本的方差為（ ）
A．B．
C．60D．30
3．定義在R上的偶函數(shù)f（x）的部分圖象如圖所示，則在（﹣2，0）上，下列函數(shù)中與f（x）的單調(diào)性不同的是（ ）

A．y＝x2+1B．y＝|x|+1
C．yD．y
4．圓的圓心到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
5．中國(guó)冶煉塊鐵的起始年代雖然遲至公元前6世紀(jì)，約比西方晚900年，但是冶煉鑄鐵的技術(shù)卻比歐洲早2000年.現(xiàn)將一個(gè)軸截面為正方形且側(cè)面積為的實(shí)心圓柱鐵錠冶煉熔化后，澆鑄成一個(gè)底面積為的圓錐，則該圓錐的母線與底面所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)， ， 的零點(diǎn)分別為a,b,c，則a,b,c的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
7．在中，，則的值為
A．B．C．D．
8．若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二?多項(xiàng)選擇題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得 5 分，有選錯(cuò)的得 0 分，部分選對(duì)的得 2 分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.
9．已知函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為與，且的定義域均為，，，為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．D．
10．如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，則下列命題中正確的是（ ）
A．若點(diǎn)在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，它到直線的距離與到直線的距離之比為2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓
B．若點(diǎn)在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，它到直線的距離與到面的距離之比為2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓
C．若點(diǎn)在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，它到直線的距離與到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線
D．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，分別是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是
11．已知為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．⊥平面
C．在圓錐側(cè)面上，點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離為3
D．圓錐內(nèi)切球的表面積為
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5 分，共 15 分.
12．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則
13．已知，則 .
14．是圓上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為 .
四?解答題：本大題共 5 小題，共 80 分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15．在中，角所對(duì)的邊分別為，且
(1)求角的大小；
(2)若的外接圓直徑為1，求的取值范圍.
16．如圖，在三棱臺(tái)中，，，側(cè)面平面．
(1)求證：面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
17．已知橢圓()的離心率為，其右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，且．
(1)求C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P且斜率為()的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作y軸的垂線，垂足為M、N，直線AN與直線交于點(diǎn)E，證明：B、M、E三點(diǎn)共線．
18．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f(x)的圖象交于兩點(diǎn)，證明：．
19．已知關(guān)于的二次函數(shù).
（1）設(shè)集合和，分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為和，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，記事件“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1”為事件，求事件發(fā)生的概率.
參考答案：
1．A
【分析】利用新定義與集合的交集運(yùn)算得到，進(jìn)而求得的取值范圍，從而得解.
【詳解】根據(jù)題意可知集合中有兩個(gè)元素，
又，，所以，
則.
故選：A.
2．A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可計(jì)算出樣本的平均數(shù)為，根據(jù)方差的概念即可得結(jié)果.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得樣本的平均數(shù)為，
所以該組數(shù)據(jù)的方差為
故選：A
3．C
【分析】首先利用偶函數(shù)的對(duì)稱性，判斷出f（x）在（﹣2，0）為減函數(shù)．然后分別分析選項(xiàng)中4個(gè)函數(shù)的單調(diào)性．最后判斷答案即可．
【詳解】利用偶函數(shù)的對(duì)稱性，知f（x）在（﹣2，0）上為減函數(shù)．
又y＝x2+1在（﹣2，0）上為減函數(shù)；
y＝|x|+1在（﹣2，0）上為減函數(shù)；
y在（﹣2，0）上為增函數(shù)．
∴y在（﹣2，0）上為減函數(shù)．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系，涉及到二次函數(shù)，絕對(duì)值函數(shù)，一次函數(shù)，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．
4．D
【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.
【詳解】由題意得，即，
則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
5．D
【分析】根據(jù)澆鑄前后體積不變列方程，求得圓錐的底面半徑和高，從而求得圓錐的母線與底面所成角的正切值.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的底面半徑為，高為，
則圓柱的側(cè)面積為，解得，故，
又，則，而，得，
故所求正切值為.
故選:D
6．A
【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．
【詳解】f（x）=2x+lg2x=0，可得lg2x=﹣2x，
g（x）=2﹣x+lg2x=0，可得lg2x=﹣2﹣x，
h（x）=2xlg2x﹣1=0，可得lg2x=2﹣x，
∵函數(shù)f（x），g（x），h（x）的零點(diǎn)分別為a，b，c，
作出函數(shù)y=lg2x，y=﹣2x，y=﹣2﹣x，y=2﹣x的圖象如圖，
由圖可知：a＜b＜c．
故答案為A
【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是想到轉(zhuǎn)化成函數(shù)與另外三個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，其二是準(zhǔn)確畫出四個(gè)函數(shù)的圖像.
7．D
【詳解】試題分析：由正弦定理，得，解得，故選D．
考點(diǎn)：正弦定理．
8．C
【分析】將不等式化為恒成立，即的圖象恒在的圖象的上方，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，依題意得出當(dāng)直線與在點(diǎn)處相切時(shí)取得最大值得結(jié)果.
【詳解】依題意，，不等式化為，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，也即最大值，又時(shí)，，
由題知不等式恒成立，所以的圖象恒在的圖象
的上方，顯然不符題意；當(dāng)時(shí)，為直線的橫截距，
其最大值為的橫截距，再令，可得，且當(dāng)直線與
在點(diǎn)處相切時(shí)，橫截距取得最大值，
此時(shí)，切線方程為，所以取得最大值為.
故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是將不等式化為恒成立，看作是的圖象恒在的圖象的上方，通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像解決問(wèn)題.
9．ACD
【分析】選項(xiàng)A由奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；選項(xiàng)B由條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到有關(guān)的關(guān)系式，由函數(shù)奇偶性的判定得出結(jié)論；選項(xiàng)C由已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到，從而得出結(jié)論；選項(xiàng)D，通過(guò)前面的對(duì)稱性和周期性等結(jié)論，驗(yàn)證出一個(gè)周期內(nèi)的整數(shù)函數(shù)值的和，從而得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
令，得，故A正確；
對(duì)于B，由，得，又，
∴，即，
∴，
又的定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，可得為常數(shù)），
，又，
∴，
∴，，
∴，所以是周期為8的函數(shù)，同理也是周期為8的函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，，令，得，則，
再令，得，又是周期為8的函數(shù)，所以，
∵，∴，又，
∴，故D正確．
故選：ACD
10．ACD
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題得，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)即得解；對(duì)于選項(xiàng)B，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)即得解；對(duì)于選項(xiàng)C，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)即得解；對(duì)于選項(xiàng)D，對(duì)任意的點(diǎn)，固定點(diǎn)時(shí)，當(dāng)時(shí)，最小，即最小，把平面翻起來(lái)，使之和平面在同一個(gè)平面，當(dāng)時(shí)，最小，即得解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則設(shè)因?yàn)槠矫? 所以,所以點(diǎn)到直線的距離就是,同理點(diǎn)到直線的距離就是.所以,所以，所以，它表示圓，所以該選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，過(guò)點(diǎn)作,垂足為,因?yàn)槠矫嫫矫?，則點(diǎn)到平面的距離就是.所以,因?yàn)?，所以，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)到直線的距離就是.所以，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，所以該選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，對(duì)任意的點(diǎn)，固定點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，連接，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)平面, 所以, 由于. 所以，所以. 如下圖，把平面翻起來(lái)，使之和平面在同一個(gè)平面，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí).故該選項(xiàng)正確.
故選：ACD
11．ABD
【分析】A選項(xiàng)，證明出，得到平行關(guān)系；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到BM⊥AM，AM⊥BC，從而證明出線面垂直；C選項(xiàng)，將側(cè)面展開(kāi)，設(shè)中點(diǎn)為Q，連接AQ，則為點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離，求出，假設(shè)，由余弦定理求出點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離為3，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，畫出圖形，找到內(nèi)切球球心，求出半徑，得到內(nèi)切球表面積.
【詳解】因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，為底面圓的直徑，
所以，，又，
所以，故，A正確；
因?yàn)闉閳A錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，
所以MO⊥平面ABC，
因?yàn)槠矫鍭BC，所以MO⊥BC，
又AO⊥BC，，平面MOA，
所以BC⊥平面AMO，
因?yàn)槠矫鍭MO，
所以AM⊥BC，
因?yàn)?，所以?br>由勾股定理得：，則，
故，同理可得：，
因?yàn)?，所以BM⊥AM，
因?yàn)槠矫鍹BC，且，
所以⊥平面，B正確；
將側(cè)面展開(kāi)，如下：
設(shè)中點(diǎn)為Q，連接AQ，則為點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離，
其中，故底面周長(zhǎng)為，
故，則，
若，由，
由余弦定理得：，
因?yàn)椋栽趫A錐側(cè)面上，點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離不為3，C錯(cuò)誤；
由對(duì)稱性可知，圓錐內(nèi)切球球心在OP上，作出圖形，如下：
設(shè)內(nèi)切球球心為T，設(shè)內(nèi)切球半徑為，
TU=R，，則，
其中，故，
在Rt△PUT中，由勾股定理得：，
即，
解得：，故圓錐內(nèi)切球的表面積為，D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑 ．
12．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算求出，再根據(jù)實(shí)部與虛部互為相反數(shù)計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)椋?；?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，，解得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.
13．/
【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，將原式變形為，然后代值求解即可
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，
故答案為：
14．
【分析】寫出圓的參數(shù)方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值即可.
【詳解】如圖所示，
因?yàn)閳A：的參數(shù)方程為，
所以設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為.
故答案為：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)而即得；
（2）結(jié)合題意可得，結(jié)合角的范圍可得的取值范圍.
【詳解】（1）由題得，
所以，
即，
得，
所以或（不成立），
即，又
所以；
（2）由，設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>由題可知，
故
，
由得，
所以，，
故.
16．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）在四邊形中，證明，再利用面面垂直的性質(zhì)推理作答.
（2）連接，由（1）及已知證明平面，再作出直線與平面所成的角，然后在直角三角形中計(jì)算作答.
【詳解】（1）在三棱臺(tái)中，，而，則，
顯然，則，
有，于是得，
因側(cè)面平面 ，側(cè)面平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，而平面，則，連，如圖，因，
，平面，則平面，又平面，因此，平面平面，
在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于，而平面平面，則有平面，
連，從而得是直線與平面所成的角，
在直角梯形中，，，，
，在中，，則，，
由平面可得，則，等腰中，底邊上的高，
由得：，在中，，
所以直線與平面所成角的正弦值是.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求直線與平面所成的角，先通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)找出直線與平面所成的角，再把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．
17．(1)；
(2)證明見(jiàn)解析﹒
【分析】(1)根據(jù)可求c，根據(jù)離心率可求a，再根據(jù)a、b、c關(guān)系可求b，從而可求C的方程；
(2)設(shè)，.聯(lián)立l方程和橢圓方程得根與系數(shù)的關(guān)系，聯(lián)立AN方程與y=3求出E的坐標(biāo)，驗(yàn)證即可證明B、M、E三點(diǎn)共線．
【詳解】（1）設(shè)()，由題意知，∴．
∵點(diǎn)，且，解得，
∴，，
因此C的方程為．
（2）由題意可知，直線l的方程為．
由得，
設(shè)，，則，．
∵軸，∴，∴直線，
令，得．
∵軸，∴．
∴
，
∴B，M，E三點(diǎn)共線．
18．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】試題分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求解，得到直線的斜率，即可求解在點(diǎn)處的切線方程；（2）由，可得表示直線的斜率，再構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．
試題解析：（1），∴
，∴切線方程為
（2）證法一：要證原不等式成立只需證，
∵ 即證，令
只需證
令，∴
∴在上單調(diào)遞減，成立；
令
∴在上單調(diào)遞增，成立；
綜上所述：．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程；不等式的證明．
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值以及不等關(guān)系的證明等知識(shí)的應(yīng)用，其中把的證明，轉(zhuǎn)化為直線的斜率，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的極值與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想及推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題．
19．（1）（2）
【詳解】試題分析：（1）基本事件的總數(shù)有種，要函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，則需開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸要小于或等于，由此得到的大小關(guān)系，并通過(guò)列舉得出符合題意的事件總數(shù)，利用古典概型計(jì)算公式計(jì)算得到概率.（2）“函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1”，由于函數(shù)開(kāi)口向上，故只需，畫出可行域及符合題意的范圍，利用面積比得到所求的概率.
試題解析：
（1）記“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)”為事件．
若使事件發(fā)生，由于a>0，則只需使得，即．
所以，事件包含的基本事件分別為，共5個(gè)；
所有基本事件共個(gè)．
由古典概型的概率計(jì)算公式得，，
綜上，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為；
（2）若使事件發(fā)生，由于a>0，所以只需，
所有結(jié)果構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)椋录慕Y(jié)果構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)椋?br>如圖所示：
由幾何概型的概率計(jì)算公式得，．

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湖南省常德市漢壽縣第一中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題：

這是一份湖南省常德市漢壽縣第一中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題，共19頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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