2022-2023學(xué)年湖南省常德市漢壽縣第五中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，與的夾角是120°，則等于（　　）A．3 B．－3 C．－3 D．3【答案】B【分析】由數(shù)量積的定義計算即可得出答案.【詳解】因為，與的夾角是120°，由數(shù)量積的定義，得.故選：B2．已知點和向量，且，則點B的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的坐標(biāo)運算直接求出點B的坐標(biāo).【詳解】因為向量，且，所以.設(shè)，則，解得：，即.故選：A3．△ABC三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若a＝1，c＝2，B＝60°，則b=（    ）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件利用余弦定理直接求解即可【詳解】由余弦定理得，因為，所以，故選：D4．設(shè)向量＝（m+1，﹣4），＝（﹣m，2），若，則m＝（    ）A．1 B．﹣1 C． D．0【答案】A【分析】利用向量平行的條件,計算求解.【詳解】根據(jù)向量平行的條件得,解得,故選：A.5．已知點，，則與方向相反的單位向量是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，即得解.【詳解】解：由題意有，所以，所以與方向相反的單位向量是.故選：C6．在中，，則三角形的形狀為（    ）A．直角三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】由正弦定理結(jié)合兩角差的正弦公式可得答案.【詳解】由正弦定理，因，則，又A，B為三角形內(nèi)角，得B=A.而對于A，B，C選項，因題目條件不足，所以無法判斷，則根據(jù)現(xiàn)有條件可得該三角形為等腰三角形.故選：D7．中，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求解.【詳解】,故選：A  8．我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》卷九“勾股”中有一測量問題：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何?這個問題體現(xiàn)了古代對直角三角形的研究，現(xiàn)有一豎立的木頭柱子，高4米，繩索系在柱子上端，牽著繩索退行，當(dāng)繩索與底面夾角為75°時繩索未用盡，再退行米繩索用盡（繩索與地面接觸），則繩索長為（   ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】依題意畫出圖形，利用兩角差的正切公式及銳角三角函數(shù)求出，最后利用勾股定理計算可得.【詳解】解：依題意可得如下圖形：則，，，所以，所以，所以，所以，所以繩索長為米.故選：B 二、多選題9．下列結(jié)果為零向量的是(    )A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)向量加減法的運算方法即可逐項判斷.【詳解】A項，；B項，；C項，；D項，.故選：BCD.10．下列向量中與共線的是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)給定向量，利用向量共線的坐標(biāo)表示判斷作答.【詳解】向量，因，則與不共線，A不是；因，則與不共線，B不是；而，，則與都共線，即C，D是.故選：CD11．已知，，，，，那么（    ）A．B．若，則，C．若A是BD中點，則B，C兩點重合D．若點B，C，D共線，則【答案】AC【分析】根據(jù)向量運算、向量平行（共線）等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】A選項，，A選項正確.B選項，若，則，故可取，B選項錯誤.C選項，若是的中點，則，即，所以，所以兩點重合，C選項正確.D選項，由于三點共線，所以，，，則或，所以D選項錯誤.故選：AC12．在中，角A?B?C的對邊分別為a?b?c，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．在中，若，則B．若，則是等腰三角形C．若，則是直角三角形D．若，則是銳角三角形【答案】AC【分析】A：在中，若，根據(jù)大邊對大角，所以，利用正弦定理，即可判斷；B：由，得或，進一步整理即可判斷；C：角化邊即可判斷；D：結(jié)合余弦定理以及三角形的分類即可判斷.【詳解】在中，若，根據(jù)大邊對大角，所以，利用正弦定理，所以，則，故選項A正確；對于選項B，∵，∴或，，即或，為等腰或直角三角形，即選項B錯誤；對于選項C，由余弦定理知，，化簡整理得，∴為直角三角形，即選項C正確，(也可以化邊為角)；對于選項D，只能說明C為銳角，而角A和B不確定，即選項D錯誤.故選：AC. 三、填空題13．已知，，，則在方向上的投影向量的模長為       ．【答案】/【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標(biāo)表示求出的坐標(biāo)，根據(jù)向量投影的概念即可求出在方向上的投影向量的模長為.【詳解】，則在方向上的投影向量的模長為.故答案為：.14．如圖，在平行四邊形中，為中點，交于點，且，則     ．【答案】2【分析】根據(jù)三角形相似計算出與的關(guān)系，再利用和表示出向量,即可求出.【詳解】在平行四邊形中有因為為中點所以又因為由所以所以故答案為：215．已知向量滿足,，與的夾角為，，則       ．【答案】2【分析】由已知條件可得的值，再由可得，通過計算即可求出的值.【詳解】因為，所以，即.又，,與的夾角為，則，所以．故答案為：2.16．在中，分別是角的對邊，若，則角           .【答案】/【分析】利用正弦定理與余弦定理結(jié)合即可.【詳解】在中，因為，由正弦定理得：，由余弦定理得：，又因為，所以.故答案為：. 四、解答題17．已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，求第四個頂點的坐標(biāo)．【答案】或或【分析】根據(jù)平行四邊形的特征，對邊平行且相等，即對邊的向量相等，分類討論求得第四個定點的坐標(biāo)即可.【詳解】設(shè)，，，第四個頂點，由題意，該平行四邊形的四個頂點順序不確定，討論如下：①若平行四邊形為，則，因為，，所以，解得；②若平行四邊形為，則，因為，，所以，解得；③若平行四邊形為，則，因為，，所以，解得；綜上第四個頂點的坐標(biāo)為或或.18．如圖，在梯形中，.（1）用，表示，，；（2）若，且，求的大小.【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）利用向量的線性運算直接求解即可；（2）根據(jù)，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和運算律可構(gòu)造方程求得，由此求得.【詳解】（1），，；（2），，.，且，，解得：，，.19．已知向量，，．(1)求(2)若與共線，求與的夾角．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出向量的坐標(biāo)，再由向量的模長公式可得出答案；（2）由與共線可求出，再由向量的夾角公式即可得出答案.【詳解】（1）因為，，所以，所以；（2）因為，，所以由與共線得，解得，此時，設(shè)，的夾角為θ，則，又,故與的夾角為．20．在平面四邊形中，，，，.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)(2) 【分析】(1)在中，利用正弦定理可得：，結(jié)合角的取值范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，得出，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題設(shè)知，，所以；（2）由題設(shè)及（1）知，.在中，由余弦定理得，所以.21．在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件及余弦定理即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及正弦定理，利用大邊對大角及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合二倍角的正弦公式即可求解.【詳解】（1）因為，且，所以，所以.（2）由（1）知，，因為，且，所以.因為，所以為銳角，所以，故.22．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若△ABC的面積為，D為AC的中點，求BD的最小值．【答案】(1)；(2)﹒ 【分析】(1)由題意和正余弦定理及和差角的三角函數(shù)公式，易得，由三角形內(nèi)角的范圍即可求解的值．(2)利用三角形的面積公式的應(yīng)用和余弦定理及基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）在中，，由正弦定理可得，，，，，由三角形內(nèi)角的范圍可得角．（2）由題意知，得，在中，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，∴的最小值為． 

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