一、單選題
1．已知集合則（ ）
A．B．C．D．
2．已知某個(gè)三角形的兩條高長度分別為5和10，該三角形的形狀不變，請你構(gòu)建不等關(guān)系，求出它第三條高長度的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
3．已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
4．已知，則以下關(guān)于的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，，則
6．已知，則（ ）
A．B．C．D．
7．對于函數(shù)的圖象及性質(zhì)的下列表述，正確的是（ ）
A．圖像上的縱坐標(biāo)不可能為1B．圖象關(guān)于點(diǎn)（1,1）成中心對稱
C．圖像與軸無交點(diǎn)D．圖像與垂直于軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn)
8．已知函數(shù)，有，則實(shí)數(shù)（ ）
A．或4B．或2C．2或9D．2或4
二、多選題
9．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，，則D．若，，則
10．下列四個(gè)命題是真命題的是（ ）
A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>B．函數(shù)（其中，且）的圖像過定點(diǎn)
C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．已知在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)
B．若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則
C．若關(guān)于的方程有4個(gè)不等實(shí)根，，，，則
D．關(guān)于的方程有5個(gè)不等實(shí)數(shù)根
三、填空題
12．若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則 .
13．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到偶函數(shù)的圖象，則的最小值是 .
14．已知函數(shù)，則不等式的解集是為 .
四、解答題
15．已知集合，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
16．如圖所示，某小區(qū)中心有一塊圓心角為，半徑為的扇形空地，現(xiàn)計(jì)劃將該區(qū)域設(shè)計(jì)成親子室外游樂區(qū)域，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，需要鋪設(shè)一塊平行四邊形的塑膠地面EFPQ（其中點(diǎn)E，F(xiàn)在邊OA上，點(diǎn)在邊OB上，點(diǎn)在AB上），其他區(qū)域地面鋪設(shè)綠地，設(shè).
(1)表示綠地的面積；
(2)若鋪設(shè)綠地每平方米100元，要使得鋪設(shè)綠地的出用最低，應(yīng)取何值，并求出此時(shí)的值．
17．春運(yùn)是中國在農(nóng)歷春節(jié)前后發(fā)生的一種大規(guī)模全國性交通運(yùn)輸高峰期、高交通運(yùn)輸壓力現(xiàn)象．已知某火車站候車廳，候車人數(shù)與時(shí)間相關(guān)，時(shí)間（單位：小時(shí)）滿足，．經(jīng)測算，當(dāng)時(shí)，候車廳處于滿廳狀態(tài)，滿廳人數(shù)5320人，當(dāng)時(shí)，候車人數(shù)相對于滿廳狀態(tài)時(shí)會(huì)減少，減少人數(shù)與成正比，且時(shí)間為6點(diǎn)時(shí)，候車人數(shù)為4120人，記候車廳候車人數(shù)為．
(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)天中午12點(diǎn)時(shí)，候車廳候車人數(shù)；
(2)若為了解決旅客的安全飲水問題，需要提供的免費(fèi)礦泉水瓶數(shù)，則一天中哪個(gè)時(shí)間需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少？
18．已知函數(shù)（）是偶函數(shù)．
(1)求k的值；
(2)若函數(shù)（），是否存在實(shí)數(shù)m，使得的最小值為0？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．
19．若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使得成立，則稱該函數(shù)是“依賴函數(shù)”．
(1)判斷是否是“依賴函數(shù)”，并說明理由；
(2)若在定義域上是“依賴函數(shù)”，求的值；
(3)已知函數(shù)中在定義域上是“依賴函數(shù)”，記，若的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
《湖南省常德市漢壽縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案
1．A
【分析】利用集合并集和補(bǔ)集概念求解.
【詳解】因?yàn)?所以，
故選:A.
2．C
【分析】設(shè)的面積為，第三條高為，根據(jù)三角形面積公式及高表示出三條邊，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式組，求解即可．
【詳解】設(shè)，邊上的高為，邊上的高為，邊上的高為，的面積為，則，
所以，顯然，
因?yàn)椋?br>所以，即，解得，
故選：C．
3．A
【分析】解不等式，根據(jù)命題的充分必要性直接判斷.
【詳解】由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
4．D
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可求解，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合基本不等式求解的范圍，即可比較大?。?br>【詳解】由，令，則在定義域內(nèi)單調(diào)性遞增，且，
由零點(diǎn)存在性定理可得，
，
又，因此，
，可得，
，，
，
，，，
．
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較大小問題，常常根據(jù)：
（1）結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較；
（2）利用特殊值進(jìn)行估計(jì)，再進(jìn)行間接比較；
（3）根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小.
5．B
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】對A，若，因?yàn)?，則，故A是真命題；
對B，若，如，此時(shí)，故B是假命題；
對C，若，則，，即，故C是真命題；
對D，若，，則或，則可得，故D是真命題.
故選：B.
6．A
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由兩角差的余弦公式代入求值.
【詳解】，，，
，，
故選：
7．A
【詳解】函數(shù) 因?yàn)?所以圖像上的縱坐標(biāo)不可能為1，故A對；圖像關(guān)于（-1,1）中心對稱，故B錯(cuò)；當(dāng)x=-2時(shí)， 則圖像與軸有交點(diǎn)，故C錯(cuò)；是函數(shù)，所以對于任意一個(gè) 值有唯一一個(gè)值對應(yīng)，故D錯(cuò)，不可能一個(gè)x對應(yīng)兩個(gè)y值；
故選A
8．D
【分析】由分段函數(shù)求值運(yùn)算可得方程，求解即可
【詳解】，，即，解得或.
故選：D
9．BC
【分析】利用特殊值、不等式的性質(zhì)、差比較法等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，
，但，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，由于，，所以，所以，所以B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，由于，，所以，，，
所以，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，由于，，
所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選： BC
10．ABD
【分析】由得出定義域；由真數(shù)等于1判斷B；由單調(diào)性判斷C；由二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷D.
【詳解】由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；
由，解得，，即函數(shù)的圖像過定點(diǎn)，故B正確；
函數(shù)的定義域?yàn)?，易知函?shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；
由題意可得，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故D正確；
故選：ABD
11．BCD
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，
由此作出函數(shù)的草圖：
依次分析選項(xiàng)：
對于A：由圖象易知曲線與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對于B：令，可得，
則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖象可知，B正確；
對于C：若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則與的圖象有四個(gè)交點(diǎn).
不妨設(shè)，
由圖象可得：，且，，
所以，故C正確；
對于D：因?yàn)?，解得或?br>結(jié)合圖象可知：有一個(gè)根，有四個(gè)根，
所以關(guān)于的方程有5個(gè)不等實(shí)數(shù)根，D正確．
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖像及應(yīng)用，關(guān)鍵是利用圖像并結(jié)合對稱性解決CD.
12．
【分析】由冪函數(shù)定義得或，結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)遞增即可得解.
【詳解】由，得或.
又在上單調(diào)遞增，所以.
故答案為：.
13．
【分析】利用三角函數(shù)的圖像變換以及奇偶性的性質(zhì)求解.
【詳解】由題意可得：，
∵為偶函數(shù)，則，
∴，
又∵，即，則，
∴當(dāng)時(shí)，取到最小值為5.
故答案為：5.
14．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，據(jù)此原不等式可轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解.
【詳解】，
由于，所以的定義域?yàn)椋?br>，
所以是奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為增函數(shù)，
所以是增函數(shù)，由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，
由得，
即，則，解得，
所以不等式的解集是.
故答案為：
15．或或
【分析】由得，分類討論的情況即可.
【詳解】由，得
，且中至多一個(gè)元素，
或或
（1）當(dāng)時(shí)，由，得；
（2）當(dāng)時(shí)，由得；
（3）當(dāng)時(shí)，由無解，得.
或或.
16．(1)，．
(2)時(shí)，取得最小值元．
【分析】（1）分別過P，Q作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形MNPQ為矩形，表示出邊長，根據(jù)綠地面積等于扇形面積減去平行四邊形面積，求出解析式即可；
（2）設(shè)綠地的費(fèi)用最低，即綠地面積最小，所以只需求出綠地面積的最小值，利用輔助角公式及兩角和的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【詳解】（1）
如圖，分別過P，Q作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形MNPQ為矩形．
因?yàn)椋瑒t，，
，
由于，所以，
則，
設(shè)四邊形EFPQ的面積為，
所以，
所以，．
（2）要使鋪設(shè)綠地的費(fèi)用最低，即綠地面積最小，所以只需求出綠地面積的最小值，
因?yàn)?，則，所以，則，
因此，即，此時(shí)，即，
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值元．
17．(1)；4360人
(2)時(shí)，需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少
【分析】（1）根據(jù)題意求得的值，將的表達(dá)式寫成分段函數(shù)的形式，然后即可得到的值.
（2）由題意得到的表達(dá)式，然后結(jié)合基本不等式即可求得最值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，解得．
所以．
，
故當(dāng)天中午12點(diǎn)時(shí)，候車廳候車人數(shù)為4360人．
（2），
①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
②當(dāng)時(shí)，；
又，所以時(shí)，需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義化簡得，由且不恒為0即可求得的值；
（2）由（1）得到從而推得，通過換元將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)在上有無最小值為0的情況，考慮其對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分類討論即得.
【詳解】（1）因函數(shù)（）是偶函數(shù)，
故
因且不恒為0，故得.
（2）由（1）可得則
，
設(shè)因，則，其對稱軸為，
則①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則解得，不符題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上先減后增，故解得故；
③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則解得不符題意，舍去.
故存在，使得的最小值為0.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了運(yùn)用偶函數(shù)定義求解參數(shù)值和由指數(shù)式組成的函數(shù)式在給定區(qū)間上的最值問題.解題關(guān)鍵在于對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，以及對同底的指數(shù)函數(shù)的換元法處理思想，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，需要數(shù)學(xué)化歸意識(shí)和分類討論思想.
19．(1)不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；
(2)
(3)或
【分析】（1）舉出反例，得到不是“依賴函數(shù)”；
（2）整體法得到，，在定義域上單調(diào)遞增，且，從而得到，求出；
（3）當(dāng)時(shí)，，舉出反例得到在定義域上不是“依賴函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，要想在定義域上是“依賴函數(shù)”，需滿足，解得，再分，和三種情況，由的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，得到的取值范圍.
【詳解】（1）不是“依賴函數(shù)”，理由如下：
當(dāng)時(shí)，，則，
故，解得，
所以不是“依賴函數(shù)”；
（2）時(shí)，，顯然，
解得，
在定義域上單調(diào)遞增，且，
由題意得，當(dāng)時(shí)，，
要想滿足存在唯一的使得，
則，，解得；
（3）當(dāng)時(shí)，，
故對于，不存在，使得，
在定義域上不是“依賴函數(shù)”，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
要想在定義域上是“依賴函數(shù)”，
需滿足，即，
解得（舍去）或0，
故，
若，則的解集為，
的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，故，
若，此時(shí)的解集為，不合要求，
若，則的解集為，
的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，故，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
【點(diǎn)睛】新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
B
A
A
D
BC
ABD
題號(hào)
11









答案
BCD









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