湖北省襄陽市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題人：陳國兵審題人：饒雨
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則用列舉法表示（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得可為、，計算即可得.
【詳解】由題意可得可為、，
即可為，即.
故選：B.
2. 設(shè)，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再求出，令求出相應(yīng)的的取值范圍，最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因為，所以.
令，即，解得或，
所以推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
3. 已知向量，不共線，且，，若與同向共線，則實數(shù)的值為（）
A. 1B.
C. 1或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)向量平行求參數(shù)，再根據(jù)向量同向進(jìn)行取舍.
【詳解】因為與共線，所以，解得或.
若，則，，所以，所以與方向相反，故舍去；
若，則，，所以，所以與方向相同，故為所求.
故選：B
4. 已知，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性可得，進(jìn)而可得.
【詳解】由得，
設(shè)，因函數(shù)與都是上的增函數(shù)，
故為上的增函數(shù)，
又因，故，
，故A正確，
因，，與1的大小都不確定，故B，C，D錯誤，
故選：A
5. 從，，，，，，這個數(shù)中任選個組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的“五位凹數(shù)”（滿足），則這樣的“五位凹數(shù)”的個數(shù)為（）
A. 個B. 個C. 個D. 個
【答案】A
【解析】
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理可得.
【詳解】第一步，從，，，，，，這個數(shù)中任選個共有種方法，
第二步，選出的個數(shù)中，最小的為，從剩下的4個數(shù)中選出個分給，由題意可知，選出后就確定了，共有種方法，
故滿足條件的“五位凹數(shù)”個，
故選：A
6. 若數(shù)列滿足，，（，n為正整數(shù)），則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列．在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用．設(shè)是數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照斐波那契數(shù)列的概念，找出規(guī)律,得出數(shù)列的性質(zhì)后逐個驗證即可.
【詳解】解析：按照規(guī)律有，，，，，，，，故A、C錯；，
則，
故B對；
，
故D錯．
故選:B．
7. 已知是橢圓的左，右焦點，A，B是橢圓C上的兩點．若，且，則橢圓C的離心率為（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，結(jié)合題意可得，根據(jù)橢圓定義整理可得，根據(jù)向量關(guān)系可得∥，且，同理結(jié)合橢圓定義可得，進(jìn)而可求離心率.
【詳解】由題意可知：，
設(shè)，

因為，則，可得，
由橢圓定義可知：，即，
整理可得；
又因為，則∥，且，
則，可得，
由橢圓定義可知：BF1+BF2=2a，即，
整理可得；
即，可得，
所以橢圓C的離心率.
故選：B.
【點睛】方法點睛：橢圓的離心率(離心率范圍)的求法
求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．
8. 圓錐的表面積為，其內(nèi)切球的表面積為，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】選擇（角）與內(nèi)切球半徑為變量，可表示出圓錐底面半徑和母線，由圓錐和球的表面積公式可得，再由換元，轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)值域，進(jìn)而得的取值范圍.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐內(nèi)切球半徑為，
如圖作出圓錐的軸截面，其中設(shè)為外接圓圓心，為切點，為圓錐母線，
連接.
設(shè)，，.
，，，又，
，，
，
則圓錐表面積，圓錐內(nèi)切球表面積，
所求比值為，
令，則，
則，且當(dāng)時，取得最大值，
故，即的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解立體幾何中的最值問題一般方法有兩類，一是設(shè)變量（可以是坐標(biāo)，也可以是關(guān)鍵線段或關(guān)鍵角）將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值；二是幾何法，利用圖形的幾何性質(zhì)，將空間問題平面化，將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題來研究，以平面幾何中的公理、定義、定理為依據(jù)，以幾何直觀為主要手段直接推理出最值狀態(tài)何時取到，再加以求解.
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 設(shè)，為隨機(jī)事件，且，是，發(fā)生的概率. ，，則下列說法正確的是（）
A. 若，互斥，則B. 若，則，相互獨立
C 若，互斥，則，相互獨立D. 若，獨立，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項；由相互獨立事件的概念可判斷B選項；由互斥事件和相互獨立事件的概念可判斷C選項；由相互獨立事件的概念，可判斷D選項.
【詳解】對于選項A，若互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，所以選項A正確，
對于選項B，由相互獨立事件概念知，若，則事件是相互獨立事件，所以選項B正確，
對于選項C，若互斥，則不一定相互獨立，例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，不滿足相互獨立事件的定義，所以選項C錯誤，
對于選項D，由相互獨立事件的定義知，若，獨立，則，所以選項D正確，
故選：ABD.
10. 已知函數(shù)，則（）
A. 的圖象關(guān)于點對稱
B. 的值域為
C. 若方程在上有6個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是
D. 若方程在上有6個不同的實根，則的取值范圍是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)是否成立判斷A，利用分段函數(shù)判斷BC，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性畫出分段函數(shù)的圖象，求出的取值范圍，再利用對稱性判斷D.
【詳解】因為，
所以，
所以的圖象不關(guān)于點對稱，故A錯誤；
當(dāng)時，，
由可得，
當(dāng)時，，
由可得，
綜上，故B正確：
當(dāng)時，由解得，
當(dāng)時，由解得，
所以方程在上的前7個實根分別為，，，，，，，
所以，故C正確；
由解得或，
又因為，所以根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得圖象如圖所示，
所以有4個不同的實根，有2個不同的實根，
所以，解得，
設(shè)，則，，
所以，所以的取值范圍是，故D正確.
故選：BCD.
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列四個命題，正確的是（）
A 對任意三點，都有；
B. 已知點和直線，則；
C. 到定點的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點的軌跡是正方形.
D. 定點、，動點滿足，則點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點.
【答案】AD
【解析】
【分析】對于選項A，根據(jù)新定義，利用絕對值不等性即可判斷；
對于選項B，設(shè)點是直線上一點，且，可得，討論，的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；
對于選項C，運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；
對于選項D，根據(jù)定義得，再根據(jù)對稱性進(jìn)行討論，求得軌跡方程，即可判斷．
【詳解】A選項，設(shè)，由題意可得：
同理可得：，則：
，
則對任意的三點，，，都有；故A正確；
B選項，設(shè)點是直線上一點，且，
可得，
由，解得或，即有，當(dāng)時，取得最小值；
由，解得，即有，的范圍是，無最值，
綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為，故B錯誤；
C選項，設(shè)，則，
若，則，兩邊平方整理得；此時所求軌跡為或
若，則，兩邊平方整理得；此時所求軌跡為或，
故沒法說所求軌跡是正方形，故C錯誤；
D選項，定點、，動點滿足（），則：，
顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點對稱，故不妨設(shè)x≥0，y≥0.
(1)當(dāng)時，有，得：；
(2)當(dāng)時，有，此時無解；
(3)當(dāng)時，有；
則點P的軌跡是如圖所示的以原點為中心的兩支折線.

結(jié)合圖像可知，點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點，故D正確.
故選：AD.
【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若的展開式的二項式系數(shù)和為32，且的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為________．
【答案】?2
【解析】
【分析】由二項式系數(shù)和先求，再利用通項得到的指數(shù)確定值，由的系數(shù)為，建立關(guān)于的方程求解可得.
【詳解】因為的展開式的二項式系數(shù)和為，
所以，解得.
所以二項式展開式的通項公式為，
由，解得，
所以的系數(shù)為，解得.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)在處取得極小值，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】求得，根據(jù)，求得的值，結(jié)合實數(shù)的值，利用函數(shù)的單調(diào)性與極值點的概念，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
因為處函數(shù)極小值，可得，解得或，
若時，可得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
此時函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，不符合題意，（舍去）；
若時，可得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
此時函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，符合題意，
綜上可得，實數(shù)的值為.
故答案為：.
14. 數(shù)學(xué)老師在黑板上寫上一個實數(shù)，然后老師拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面向上，就將黑板上的數(shù)乘以再加上3得到，并將擦掉后將寫在黑板上；如果反面向上，就將黑板上的數(shù)除以再減去3得到，也將擦掉后將寫在黑板上．然后老師再拋擲一次硬幣重復(fù)剛才的操作得到黑板上的數(shù)為．現(xiàn)已知的概率為0.5，則實數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，由兩次復(fù)合列出不等式求解即可.
【詳解】由題意構(gòu)造，，
則有，，，．
因為，恒成立，
又的概率為0.5，
所以必有或者解得．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 在中，角所對的邊分別為，已知.
（1）求；
（2）若的面積為，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得，再結(jié)合余弦定理得，從而可求解.
（2）結(jié)合的面積可求得，再由，平方后得，，再結(jié)合基本不等式即可求解.
【小問1詳解】
由正弦定理得，即，
由余弦定理可得，
因為，所以.
【小問2詳解】
因為的面積為，所以，所以.
因為，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為.
16. 已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為Q，且Q點的橫坐標(biāo)為3．
（1）求拋物線E的方程；
（2）過點的直線l與拋物線E相交于兩點，B關(guān)于x軸的對稱點為，求證：直線必過定點．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由雙曲線求其漸近線方程，求出點的坐標(biāo)，由此可求拋物線方程；
（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，根據(jù)韋達(dá)定理求出，求出直線的方程并令，求出x并逐步化簡可得，則直線過定點.
【小問1詳解】
設(shè)點的坐標(biāo)為，因為點在第一象限，所以，
雙曲線的漸近線方程為，因為點在雙曲線的漸近線上，所以，
所以點的坐標(biāo)為，又點在拋物線上，所以，所以，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，
方程的判別式，即，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則，
因為點A、B在第一象限，所以，故，
設(shè)B關(guān)于x軸的對稱點為，
則直線的方程為，
令得：
．
直線過定點．
【點睛】方法點睛：聯(lián)立直線的方程與拋物線方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，根據(jù)韋達(dá)定理求出，求出直線的方程并令，求出x并逐步化簡可得，則直線過定點.
17. 如圖，已知正方形的邊長為4，分別為的中點，沿將四邊形折起，使二面角的大小為60°，點在線段上．
（1）若為的中點，且直線與直線的交點為，求的長，并證明直線//平面；
（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角為60°；若存在，求此時二面角的余弦值，若不存在，說明理由．
【答案】（1）；證明見解析.
（2）存在點，使得直線與平面所成的角為60°；此時二面角的余弦值為.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位線性質(zhì)可求得，由，結(jié)合線面平行判定定理可證得結(jié)論；
（2）由二面角平面角定義可知，取，中點，，由線面垂直的判定和勾股定理可知，，兩兩互相垂直，則以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，利用線面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
分別為中點，
，且，
又為中點，且，
易得，，
連接，交于點，連接，
由題設(shè)，易知四邊形為平行四邊形，
為中點，
是的中點，
為中點，
，又平面，平面，
平面；
【小問2詳解】
，
，，
又平面，平面，
即為二面角的平面角，
；
取中點，連接，如圖，
，，
，
，
，
，
，，又平面，，
平面，
平面，
，
則以為坐標(biāo)原點，方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，
則，，，，
設(shè)，則，，，
設(shè)平面的法向量n1=x1,y1,z1，則，
令，則，，，
∵直線與平面所成的角為，
，解得或，
存在點，當(dāng)或時，使得直線與平面所成的角為；
設(shè)平面的法向量，又，，
，
令，則，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
綜上所述：二面角的余弦值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二步的關(guān)鍵在于證明三線互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出動點的坐標(biāo)，熟練利用空間向量的坐標(biāo)運算，求法向量，求二面角、線面角是解題的關(guān)鍵.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求圖象在點1,f1處的切線方程；
（2）若時，，求的取值范圍；
（3）求證：.
【答案】（1）
（2）（3）證明見詳解
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）根據(jù)題意，由條件式恒成立分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為，求出函數(shù)的最大值得解；
（3）先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，，令，可得，迭代累加可證得結(jié)果.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，f1=0，
則，則，
所以在點1,f1處的切線方程為.
【小問2詳解】
由時，，
即，整理得，對恒成立，
令，則，
令，，
所以，即函數(shù)?x在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
.
【小問3詳解】
設(shè)，，
則，
所以φx在1,+∞上單調(diào)遞減，則，即，
，，
令，，
可得，
所以，
，
，
…
，
以上式子相加得，
整理得，，
兩邊取指數(shù)得，，
即得，得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問解題的關(guān)鍵是先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，，令，得到.
19. 已知整數(shù)，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，即且．?dāng)?shù)列滿足，．若對于，恒有等于同一個常數(shù)，則稱數(shù)列為的“左型間隔數(shù)列”；若對于，恒有等于同一個常數(shù)，則稱數(shù)列為的“右型間隔數(shù)列”；若對于，恒有或者，則稱數(shù)列為的“左右型間隔數(shù)列”．
（1）寫出數(shù)列的所有遞增的“左右1型間隔數(shù)列”；
（2）已知數(shù)列滿足，數(shù)列是的“左型間隔數(shù)列”，數(shù)列是的“右型間隔數(shù)列”，若，且有，求的值；
（3）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，．若存在的一個遞增的“右4型間隔數(shù)列”，使得對于任意的，都有，求的關(guān)于的最小值（即關(guān)于的最小值函數(shù)）．
【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由“左右型間隔數(shù)列”的定義，求數(shù)列的所有遞增的“左右1型間隔數(shù)列”；
（2）根據(jù)“左型間隔數(shù)列”和“右型間隔數(shù)列”的定義，由，則有，代入通項計算即可；
（3）由“右4型間隔數(shù)列”的定義，有，可知，則有，化簡即可．
【小問1詳解】
數(shù)列的“左右1型間隔數(shù)列”為1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．
【小問2詳解】
由，可得，
即，即，
即，所以．
【小問3詳解】
當(dāng)時，由，可知．
又因為對任意，都有，
即當(dāng)時，兩兩不相等．
因為
．
所以的最小值函數(shù)．
另外，當(dāng)數(shù)列an的通項
間隔數(shù)列bn的通項時也符合題意．
【點睛】方法點睛：
在實際解決“新定義”問題時，關(guān)鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質(zhì)、新模式等信息，確定新定義的名稱或符號、概念、法則等，并進(jìn)行信息再加工，尋求相近知識點，明確它們的共同點和不同點，探求解決方法，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行知識轉(zhuǎn)換，有效輸出，合理歸納，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)技巧與方法來分析與解決!

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