湖北省荊州市沙市中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題人：郭松審題人：冷勁松
考試時(shí)間：2024年10月24日
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則下列表述正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】集合表示正奇數(shù)除以4，集合表示整數(shù)除以4，據(jù)此可以判斷兩個(gè)集合的關(guān)系.
【詳解】表示是含義是正奇數(shù)除以4，
表示的含義是整數(shù)除以4,
所以，
故選：C.
2. 已知非零向量的夾角為，且，，則（）
A. 2π3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積及夾角的公式計(jì)算即可.
【詳解】由，得；
由，得，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>故選：A．
3. 已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)半徑求底面周長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式可得母線(xiàn)長(zhǎng)，然后可得側(cè)面積.
【詳解】因?yàn)榈酌姘霃?，所以底面周長(zhǎng)，
又圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)，所以圓錐側(cè)面積．
故選：A．
4. 若，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦的差角公式結(jié)合弦切關(guān)系分別計(jì)算，再根據(jù)和角公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>又，即，則，
所以，
故.
故選：D
5. 已知，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件求出函數(shù)的最小值，的最小值即可列式求解.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，
又在上單調(diào)遞減，則有，
因?yàn)?，，使得，于是得，解得?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：A
6. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為，圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)M，N之間的距離為5，則（）

A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)圖象可得函數(shù)周期，即可得，結(jié)合特殊點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算可得，即可得.
【詳解】函數(shù)的最大值為4．設(shè)的最小正周期為，
依題意，得，解得，
所以，解得，所以，
又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，
結(jié)合圖象，知，解得，所以，
所以．
故選：D．
7. 過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)向雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為，線(xiàn)段FD與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向另一條漸近線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可以求出|的長(zhǎng)，再根據(jù)列出等式即可尋找a,b,c的關(guān)系，進(jìn)而可以得到雙曲線(xiàn)的離心率.
【詳解】由題意，知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為．
設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，則右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離．
設(shè)點(diǎn)，則，即．
又，
所以，
解得．
故選：A．
8. 設(shè)函數(shù)則滿(mǎn)足的x的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】觀(guān)察題設(shè)條件與所求不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用奇偶性的定義與導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其奇偶性和單調(diào)性，從而將所求轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，
設(shè)，顯然定義域?yàn)?，?br>又，
所以為上的奇函數(shù)，
又，
所以在上單調(diào)遞增，
又，則，
所以，即，
所以，解得，
則滿(mǎn)足的的取值范圍是．
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)判斷.
【詳解】∵，則，，∴，即，A正確；
例如，，，，，顯然，B錯(cuò)誤；
由得，，∴，即，C正確；
易知，，，
，
∴，D正確；
故選：ACD．
10. 已知隨機(jī)變量X，Y，其中，已知隨機(jī)變量X的分布列如下表
若，則（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由分布列的性質(zhì)和期望公式求出可判斷ABC；由方差公式可判斷D.
【詳解】由可得：①，
又因?yàn)?，故C正確.
所以，
則②，所以由①②可得：，故A正確，B錯(cuò)誤；
，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 如圖，在平行四邊形中，，且，為的中線(xiàn)，將沿BF折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，連接AE，DE，CE，且，則（）
A. 平面B. AE與平面所成角的正切值是
C. BC與DE所成的角為D. 點(diǎn)到平面的距離為
【答案】AB
【解析】
【分析】A.根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明平面；B.首先利用垂直關(guān)系說(shuō)明平面，即可說(shuō)明與平面所成的角為；C.根據(jù)平行關(guān)系，將異面直線(xiàn)所成角轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)所成角，或其補(bǔ)角即為與所成的角；D.利用等體積轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】因?yàn)?，且，所以，?br>又為的中線(xiàn)，所以，．
因?yàn)?，所以．由題意，知，所以．
又，且，平面，所以平面，故A正確；
因?yàn)?，，，所以平面?br>又，所以平面．所以與平面所成的角為．
中，，．所以，故B正確；
因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角即為與所成的角，連接，在中，，，，
所以由余弦定理，得．
在中，由勾股定理，得．
所以在中，，．
由余弦定理的推論，得，所以，
所以與所成的角為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，且，所以．又?br>所以．
因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，所以由等體積法，得點(diǎn)到平面的距離為，故D錯(cuò)誤．
故選：AB
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若直線(xiàn)：與圓：交于，兩點(diǎn)，則______.
【答案】
【解析】
【分析】首先確定圓心和半徑，應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求圓心到直線(xiàn)的距離，再由幾何法求弦長(zhǎng)即可．
【詳解】由圓，故圓心，半徑為，直線(xiàn)，
故圓心到直線(xiàn)的距離為，
．
故答案為：．
13. 已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，若為中點(diǎn)，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理可得，即可利用向量的模長(zhǎng)求解.
【詳解】由余弦定理，，將，代入解得，
因?yàn)镃D=12CA+CB，所以，所以．
故答案為：
14. 對(duì)，恒成立，則a的最小值為_(kāi)_________.
【答案】##
【解析】
【分析】對(duì)不等式變形，同構(gòu)函數(shù)，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化后分離參數(shù)，求函數(shù)最值得解.
【詳解】，，
令，則，
由有意義知，，所以，
∵，∴單調(diào)遞增，
∴，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故時(shí)，，
故當(dāng)即時(shí)，，
所以，即.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）求的極值；
（2）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；
（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為任意，不等式恒成立，設(shè)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，求得的最小值，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由函數(shù)，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.
【小問(wèn)2詳解】
解：由不等式恒成立，即恒成立，
即對(duì)于任意，不等式恒成立，
設(shè)，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也時(shí)最小值，，
所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，滿(mǎn)足
（1）求角C；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理得，再結(jié)合余弦定理即可求得角C；
（2）先通過(guò)降冪公式得，再由結(jié)合輔助角公式得到，由銳角三角形求得角的范圍，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由，結(jié)合正弦定理可得，即，
所以，又，故；
【小問(wèn)2詳解】
，因?yàn)殇J角三角形，故，
解得，則，，故，
即的取值范圍為.
17. 已知四棱錐的底面是一個(gè)梯形，，，，，，.

（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得，又，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可證明；
（2）以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，作出軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接.
因?yàn)椋?
因?yàn)?，所?
在梯形中，，
所以，，
，因此，
所以，又，平面，
，所以平面.
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
【小問(wèn)2詳解】
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，作出軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則.

則，，
設(shè)平面的法向量，
，即，
令，得到，，即.
設(shè)平面的法向量，則
，則，
令，得到，，即.
.
因?yàn)槎娼鞘卿J二面角，
所以二面角的余弦值是.
18. 我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線(xiàn)的實(shí)軸和虛軸，則稱(chēng)它們互為“姊妺”圓錐曲線(xiàn).已知橢圓，雙曲線(xiàn)是橢圓的“姊妺”圓錐曲線(xiàn)，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)的斜率分別為.
（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ii）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（i）為定值，（ii）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)離心率的乘積得到方程，求出，得到答案；
（2）（i）設(shè)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，得到兩根之和，兩根之積，得到；
（ii）方法一：設(shè)直線(xiàn)，代入雙曲線(xiàn)方程，由兩根之積得到，結(jié)合點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的右支上，得到，同理得到，結(jié)合確定，由和函數(shù)單調(diào)性得到答案；
方法二：求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，由于點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的右支上，與漸近線(xiàn)的斜率比較得到，同理可得，結(jié)合求出，由和函數(shù)單調(diào)性得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可設(shè)雙曲線(xiàn)，則，解得，
所以雙曲線(xiàn)的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
（i）設(shè)，直線(xiàn)方程為，
由，消元得.
則，且，
，

或由韋達(dá)定理可得，即,
，
即與的比值為定值.
（ii）方法一：設(shè)直線(xiàn)，
代入雙曲線(xiàn)方程并整理得，
由于點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為，.
由韋達(dá)定理得：，解得.
因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的右支上，所以，解得，
即，同理可得，
由（i）中結(jié)論可知，
得，所以，
故，
設(shè)，其圖象對(duì)稱(chēng)軸為，
則在上單調(diào)遞減，故，
故的取值范圍為；
方法二：由于雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，
如圖，過(guò)點(diǎn)作兩漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，由于點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的右支上，
所以直線(xiàn)介于直線(xiàn)之間（含軸，不含直線(xiàn)），

所以.
同理，過(guò)點(diǎn)作兩漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，
由于點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，
所以直線(xiàn)介于直線(xiàn)之間（不含軸，不含直線(xiàn)），

所以.
由（i）中結(jié)論可知，
得，所以,
故.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
19. 對(duì)于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱(chēng)是該向量組的“長(zhǎng)向量”．
（1）設(shè)，且，若是向量組，，的“長(zhǎng)向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若，且，向量組，，，…，是否存在“長(zhǎng)向量”?給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；
（3）已知，，均是向量組，，的“長(zhǎng)向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列，，，…，滿(mǎn)足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，與（且）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求的最小值．
【答案】（1）
（2）存在，理由見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“長(zhǎng)向量”的定義，列不等式，求的取值范圍即可得；
（2）由題意可得，亦可得，故只需使，計(jì)入計(jì)算即可得；
（3）首先由，，均是向量組，，的“長(zhǎng)向量”，變形得到，設(shè),由條件列式，變形為，轉(zhuǎn)化為求的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得：，則，解得：；
【小問(wèn)2詳解】
存在“長(zhǎng)向量”，且“長(zhǎng)向量”為，，理由如下：
由題意可得，
若存在“長(zhǎng)向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
當(dāng)或時(shí)，符合要求，故存在“長(zhǎng)向量”，且“長(zhǎng)向量”為，；
【小問(wèn)3詳解】
由題意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化簡(jiǎn)，得：，
即，，所以，
設(shè)，由得：，
設(shè)，則依題意得：，
得，
故，
，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，理解“長(zhǎng)向量”的定義，前兩問(wèn)均是利用定義解題，第三問(wèn)注意轉(zhuǎn)化關(guān)系，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為.
X
1
2
3
4
5
p
m
n

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多