河北省鹽山中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.
3．請按照題號順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.
4．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡，由復(fù)數(shù)模長運算可求得結(jié)果.
【詳解】，
.
故選：A.
2. 已知集合，，則（）
A. AB. BC. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別解對數(shù)不等式與絕對值不等式，化簡集合，再求即可.
【詳解】因為集合，
，
所以．
故選：B．
3. 雙曲線的焦點坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程確定其焦點位置和值，求出的值即可.
【詳解】由知，，，且焦點在y軸上，
故，解得．則焦點坐標(biāo)為和．
故選:B．
4. 已知，向量，且，，則向量的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，由向量共線和模長的坐標(biāo)表示計算即可.
【詳解】設(shè)，則．
又，
解得或.
因為，所以．
故選：D．
5. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（）
A. B. 1C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)周期，再代值即可.
【詳解】由題意，，函數(shù)的周期為4．
．
故選:C．
6. 在關(guān)于x的展開式中，的系數(shù)是（）
A. 30B. 25C. 20D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二項式定理求解系數(shù)即可.
【詳解】由題意得展開式的通項為，
，令，得到的系數(shù)為，
令，得到的系數(shù)為，
所以展開式中的系數(shù)是，故A正確.
故選：A．
7. 已知是第四象限角，終邊與單位圓O交于點，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用任意角三角函數(shù)定義結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義知，由，
得，所以，
所以或．
又是第四象限角，所以，
所以，即．
故選：C．
8. 設(shè)正項等差數(shù)列滿足，其前n項和為，若數(shù)列為等差數(shù)列，則的最小值是（）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列前n項和寫出前3項，結(jié)合等差中項的性質(zhì)列方程求公差d，進(jìn)而得到關(guān)于n的表達(dá)式，利用基本不等式求其最小值.
【詳解】因為等差數(shù)列滿足，．
設(shè)公差為d，則，其前n項和為，
所以，，，．
因為數(shù)列也為等差數(shù)列，所以，
所以，解得，故，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的有（）
A. 若隨機(jī)變量，，則
B. 若隨機(jī)變量，則方差
C. 在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取2件，X表示取出的次品數(shù)，則
D. 已知隨機(jī)變量的分布列為，則實數(shù)
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A，利用正態(tài)分布曲線的對稱性易求得；對于B，由伯努利概型中的方差公式和性質(zhì)易求得；對于C，利用古典概型概率公式和組合數(shù)公式計算即得；對于D，利用隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)列方程即可求得的值.
【詳解】對于A，由題意可得，，A正確；
對于B,因，則，故，B錯誤；
對于C，在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取2件，X表示取出的次品數(shù)，則，C錯誤；
對于D，依題意，，解得，D正確．
故選：AD．
10. 已知拋物線的焦點為F，M、N是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 點F的坐標(biāo)為
B. 若直線的傾斜角為，且過點F，則
C. 若，則線段的中點到x軸的距離為
D. 以線段為直徑的圓與x軸相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】由拋物線方程確定焦點坐標(biāo)即可判斷A；直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可判斷B；根據(jù)拋物線的定義知，進(jìn)而即可判斷C；設(shè)，結(jié)合選項C可得該圓的半徑，再求該圓的圓心到x軸的距離即可判斷該圓與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而即可判斷D．
【詳解】對于A：由拋物線，則其焦點在y軸上，焦點為F0,1，A正確；
對于B：依題意，直線方程為，且直線與拋物線必相交，
聯(lián)立方程，消去x化簡并整理得．
設(shè)Mx1,y1、Nx2,y2，則，
所以，B錯誤；
對于C：由拋物線，則其準(zhǔn)線方程為．
分別設(shè)M、N到準(zhǔn)線的距離為、，
則，
所以線段中點到x軸的距離為，C正確；
對于D：設(shè)，結(jié)合選項C可得，以線段為直徑的圓的半徑為．
又F0,1，則以線段為直徑的圓的圓心為，
所以圓心到x軸的距離為，則以線段為直徑的圓與x軸相切，D正確．
故選：ACD．

11. 如圖，在三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，，P、D分別為棱、的中點，則下列選項正確的是（）

A. 平面
B.
C. 三棱柱的側(cè)面積為
D. 三棱錐的體積為
【答案】BD
【解析】
【分析】A作出平面與平面的交線，由BP與交線關(guān)系可判斷選項正誤；
B通過說明平面可判斷選項正誤；
C由題意計算出側(cè)面積可判斷選項正誤；
D由題可得，然后計算出體積即可判斷選項正誤.
【詳解】記中點為Q，連接．記、交點為E，連接，，、Q、D、四點共面．
因為P、Q分別為、的中點，所以E為的重心，即E為的三等分點．
又D為中點，所以、不平行．因為平面，平面平面，
所以由線面平行性質(zhì)定理可知，與平面不平行，A錯誤；
連接、、．因為，，，
所以．
因為D為中點，所以，．
又，、平面，所以平面．
又平面，所以，B正確；
又，所以，所以四邊形為矩形，面積為8．
又因為，所以三棱柱的側(cè)面積為，C錯誤；
記的中點為H，連接、、．
因為，平面，平面，
所以平面，所以點P、A到平面的距離相等，A、、H、D四點共面．
又，D為中點，所以．
因為平面，所以是三棱錐的高．
因為，，所以．
所以，所以．
所以，D正確．
故選：BD．

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 過點，且與直線相切于點的圓的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，結(jié)合題意，求出過點B1,?1與直線
垂直的直線方程及線段的垂直平分線的方程，聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)，繼而可求出半徑，即可求解.
【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因為圓與直線相切于點B1,?1，
可得過點B1,?1與直線垂直直線方程為．
又由A0,?1、B1,?1，可得線段的垂直平分線的方程，
聯(lián)立方程組，解得，，即圓心坐標(biāo)為．
又由，即圓的半徑為，
所以圓的方程為．
故答案為：.
13. 中國是瓷器的故鄉(xiāng)，瓷器的發(fā)明是中華民族對世界文明的偉大貢獻(xiàn)，瓷器傳承著中國文化，有很高的欣賞和收藏價值．現(xiàn)有一批同規(guī)格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙瓷廠分別生產(chǎn)300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷廠的次品率依次為4%、3%、3%．現(xiàn)從這批瓷器中任取一件，若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為______．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【答案】0.36
【解析】
【分析】先由古典概率計算抽到各廠產(chǎn)品的概率，再由全概率計算抽到次品的概率，最后由條件概率計算即可；
【詳解】設(shè)B表示事件：取得次品．表示事件：該產(chǎn)品由第i家工廠生產(chǎn)（，2，3）．第i家工廠（，2，3）分別表示甲、乙、丙瓷廠．
，，．
，，，．
故取到的是次品，則其來自甲廠的概率為．
故答案為：0.36.
14. 已知函數(shù)的最小值為1，則實數(shù)a的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】由，且，將問題化為與圖象有交點，利用導(dǎo)數(shù)研究的最值，即可得參數(shù)范圍.
【詳解】由，
對于函數(shù)，有，
當(dāng)，則，在上遞減；
當(dāng)，則，在上遞增；
所以．
若，則有解，即與圖象有交點．
由，令，解得．
當(dāng)，，在上遞增；當(dāng)，，在上遞減．
所以當(dāng)時，．當(dāng)，，
所以取值范圍為，
所以，即．
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)化為，并將問題化為與圖象有交點．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 2024年2月初某地驟降大雪，給開車回家過年的人們帶來很大麻煩，地面積雪會影響汽車的行駛安全，車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實驗室通過試驗測得行駛里程與輪胎凹槽深度成負(fù)相關(guān)，且相關(guān)性較強的數(shù)據(jù)如下：
附：經(jīng)驗回歸方程中：，.
（1）求輪胎凹槽深度y與行駛里程x的經(jīng)驗回歸方程（、計算結(jié)果精確到0.01）；
（2）若輪胎凹槽的深度小于2.5mm時，需要換輪胎，則預(yù)測汽車行駛多少里程就需要換輪胎（計算結(jié)果精確到0.01）？
【答案】（1）
（2）5.84萬km
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題目的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法公式求解即可.
（2）由題意列不等式直接求解即可.
【小問1詳解】
由題意得，，
，
所以經(jīng)驗回歸方程為.
【小問2詳解】
由題意，，解得，
所以當(dāng)汽車行駛5.84萬km時，需要更換輪胎.
16. 在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，是1和的等差中項．
（1）求角B；
（2）若，求b的最小值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理的邊角互化，代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）由余弦定理代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由已知得，
在中，由正弦定理得，
化簡得．
因為，所以．又，所以．
因為．所以．
【小問2詳解】
由余弦定理可得，，
當(dāng)時，b取最小值，且最小值為．
17. 如圖，在四棱錐中，，與均是邊長為的正三角形，四邊形是平行四邊形，二面角的平面角為．
（1）求證：；
（2）若為側(cè)棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，分別計算得到的值，利用勾股定理的逆定理即可證明；
（2）以點O為坐標(biāo)原點，、的方向為、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
計算得到和平面的法向量的坐標(biāo)，利用空間向量計算得到線面角的正弦值.
【小問1詳解】
證明：因為是正三角形，所以，
又四邊形是平行四邊形，所以，
，．
連接．因為是邊長為的正三角形，
所以，．
故二面角的平面角為，即．
所以在中，．
在中，由余弦定理得，
，
解得．
在中，因為，所以．
【小問2詳解】
解：以點為坐標(biāo)原點，分別以、的方向為、軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系．
所以，，，，，
則，．
因為為側(cè)棱的中點，所以，則．
設(shè)平面的一個法向量為，則．
取，則，，
為平面的一個法向量．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為．
18. 已知動點W到點的距離是到直線的距離的.
（1）設(shè)動點W的軌跡為C，求該軌跡方程；
（2）在（1）的條件下，過點F的直線交C于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點.求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意直接列式，化簡即可求解軌跡方程.
（2）當(dāng)斜率為0時，．當(dāng)斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1、Nx2,y2，與橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可.
【小問1詳解】
設(shè)動點，由題意得，，
將上式兩邊平方，并化簡得，，
兩邊同除12得，此即為動點W的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【小問2詳解】
當(dāng)斜率為0時，、，．
當(dāng)斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1、Nx2,y2．
聯(lián)立消去x化簡并整理得．
，．
．
，
綜上，的取值范圍為．

19. 已知函數(shù)，，取點，過其作曲線切線交y軸于點，取點，過其作曲線作切線交y軸于，若，則停止操作，以此類推，得到數(shù)列．
（1）若正整數(shù)，證明：；
（2）若正整數(shù)，試比較與大??；
（3）若正整數(shù)，是否存在k使得，，…，依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）由題意求導(dǎo)得切線方程，令即可得到遞推關(guān)系；
（2）由題意作差結(jié)合遞推關(guān)系，構(gòu)造導(dǎo)數(shù)，得出的單調(diào)性，由此即可比較大小；
（3）由題意討論當(dāng)時，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)以及構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性以及零點存在定理即可說明，當(dāng)時，利用零點存在定理得出唯一性，得出矛盾即可推翻，由此即可得解.
【小問1詳解】
由題意得，
故點處的切線方程為：，
令x=0，則.
【小問2詳解】
由(1) 知要比較與大小，只需比較和的大小.
設(shè)，求導(dǎo) 令，解得，
易知在上為嚴(yán)格減函數(shù)，在上為嚴(yán)格增函數(shù)，
所以有，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時成立.
故，即.
【小問3詳解】
假設(shè)存在依次成等差數(shù)列, 則必有，
因為，解得，又，
綜上，變形，
現(xiàn)在考慮該式是否存在使之成立，
設(shè)函數(shù) ，求導(dǎo)，
因為，所以有，
說明嚴(yán)格單調(diào)遞增，且，
根據(jù)零點存在性定理可以知道，有唯一解使得方程成立，故是成立.
下面證明不成立：
利用零點唯一性得出矛盾，當(dāng)時，有上面證明可知，
另一方面由第(2) 可知，數(shù)列為嚴(yán)格遞減數(shù)列，矛盾，所以只有.
綜上，滿足題意的只有.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵是得到函數(shù)方程后，要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性以及零點存在定理即可順利得解.
行駛里程x/萬km
0.00
0.64
1.29
1.93
257
3.22
3.86
4.51
5.15
輪胎凹槽深度y/mm
10.02
8.37
7.39
6.48
5.82
5.20
4.55
4.16
3.82
2.57
6.20
115.10
29.46
25.09

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