（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）
提示：試卷答案請(qǐng)一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.
在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.
一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.
【詳解】解：，
又，
.
故選：C.
2. 圓：與圓：的位置關(guān)系為（ ）
A. 相交B. 相離C. 外切D. 內(nèi)切
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項(xiàng).
【詳解】圓：的圓心為，半徑為.
圓：的圓心為，半徑為.
，，
所以兩圓相交.
故選：A
3. 雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程可得實(shí)半軸長(zhǎng)a，虛半軸長(zhǎng)b，再由關(guān)系式求解即得.
【詳解】雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)a，虛半軸長(zhǎng)b，依題意得，
設(shè)雙曲線半焦距為c，則，解得，又雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是.
故選：C
4. 下列命題中，正確的是（ ）.
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】利用絕對(duì)值的意義結(jié)合特殊值法判定即可.
【詳解】若，即，但，故A、D錯(cuò)誤；
若，即，但，故B錯(cuò)誤；
顯然，則，故C正確.
故選：C
5. 兩平行直線與之間的距離為（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】先將直線的方程變形，然后利用兩平行線間的距離公式求解即可
【詳解】由，得，
所以兩直線間的距離為，
故選：A
6. 已知橢圓的方程為，則此橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式后求出代入離心率公式可得答案.
【詳解】由得，所以，
，.
故選：B.
7. 若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量基本定理逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．
【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D：若，，共面，則，即，則，無解，所以，，不共面，可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故選項(xiàng)D正確.
故選：D．
8. 設(shè)，直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】求出的值，再利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即可以推出，
當(dāng)時(shí)，，解得或，
又時(shí)，，此時(shí)，所以推不出，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
9. 已知直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】把曲線方程整理后可知表示半圓，進(jìn)而畫出圖象來，要使直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，那么很容易從圖上看出其三個(gè)極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于和另一個(gè)點(diǎn)，及與曲線交于點(diǎn)0,1，分別求出，則的范圍可得．
【詳解】曲線，即，表示一個(gè)半圓（單位圓位于軸及軸右側(cè)的部分）．

如圖，、、，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，求得；
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)時(shí)，，求得；
當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，求得，或（舍去），
故要求的實(shí)數(shù)的范圍為或，
故選：C．
10. 如圖，在直三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)為，求出、和平面的法向量，進(jìn)而利用A與到平面的距離相等得①，再由得②從而求出，接著由 結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即可得解.
【詳解】由題意可以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以，
設(shè)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，，
設(shè)平面的法向量，則，，
令，則，所以，
所以A與到平面的距離即①，
又，所以②，所以由①②得，
所以由可得，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決，設(shè)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，利用A與到平面的距離相等和求出，接著由 結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出即可得解.
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.
11. 已知向量，，且，則x的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.
【詳解】因向量，，且，則有，解得，
所以x的值為.
故答案為：
12. 方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：由題表示一個(gè)圓，可得；
考點(diǎn)：圓的方程.
13. 雙曲線的離心率為______，漸近線方程為____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程求解進(jìn)而得到離心率和漸近線即可
【詳解】由題，雙曲線中，即，故，故離心率，漸近線方程為，即
故答案為：；
14. 已知橢圓，則此橢圓的焦距長(zhǎng)為__________；設(shè)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則__________.
【答案】 ①. 8 ②. 8
【解析】
【分析】利用橢圓的定義可得，兩式相加即可求解.
【詳解】由橢圓方程可知：，，
則，橢圓的焦距長(zhǎng)為；
由橢圓的定義得，，
兩式相加得，
即，可得．
故答案為：8；8．
15. 已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.
【答案】5
【解析】
【分析】由題可知，表示的是直線上一點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和，然后求出點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，再根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，即可求出結(jié)果.
【詳解】由題可知，表示的是直線上一點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和.
如圖，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則，解得，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小
所以最小值為.
故答案為：5.
16. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為20米，圓O的半徑為1米，圓心足正方形的中心，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、CB上，若線段PQ與圓O有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中. 已知點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動(dòng)，則點(diǎn)P從A移動(dòng)到D的過程中，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的育區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約為________秒（精確到0.1）
【答案】4.4
【解析】
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求得的坐標(biāo)和直線的方程,圓方程,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,以及直線和圓相交的條件,解不等式即可得到所求時(shí)長(zhǎng).
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：
由題意可設(shè)，
所以直線的方程為：，
圓方程為：，
因?yàn)橹本€與圓有交點(diǎn)，
所以，化為，解得，
所以點(diǎn)在點(diǎn)的盲區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約為秒.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)法和二次不等式的解法,屬于中檔題.
三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
17. 如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)中位線定理和線面平行的判定定理進(jìn)行證明.
（2）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及平面幾何的知識(shí)，證明得到是二面角的平面角，從而計(jì)算得到結(jié)果.
【小問1詳解】
連接，交于點(diǎn)，
由底面是正方形，可知為的中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，是的中位線，
，
又平面，平面，
平面.
【小問2詳解】
設(shè)，，
底面，底面，，
即是直角三角形，，
又E是的中點(diǎn)，，
同理可得，且，，平面，
平面，，
在直角中，，
，，
又，二面角的平面角為，
.
二面角的平面角的余弦值為.
18. 已知圓C的圓心是直線與直線的交點(diǎn)，且和直線相切，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求直線l所過的定點(diǎn)；
（3）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）依次求出圓心和半徑即可得解；
（2）由題意列出方程組即可求解；
（3），當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)為等腰直角三角形，圓心到直線l的距離，據(jù)此即可求出m.
【小問1詳解】
，圓C的圓心的圓心坐標(biāo)為，且和直線相切，
所以圓C的半徑為，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
由，得，
由，
∴直線l過定點(diǎn)；
【小問3詳解】
∵，∴當(dāng)時(shí)，面積最大，
此時(shí)為等腰直角三角形，故圓心到直線l的距離，
∴，解得，
∴此時(shí)l的方程為：或.
19. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn).點(diǎn)M在上.

（1）求證：平面；
（2）從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使點(diǎn)M唯一確定.
求直線與平面所成角的大小，及點(diǎn)E到平面的距離.
條件①：
條件②：
條件③：平面
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）證明見解析
（2）直線與平面所成角為；點(diǎn)E到平面的距離為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方體的特征得到側(cè)棱垂直于底面，即側(cè)棱垂直于底面中的任意一條直線，對(duì)角線互相垂直平分，即可得到線面垂直；
（2）分別選條件①②③，結(jié)合線面平行位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，即可得到條件①不符合題意，②③均可使點(diǎn)M唯一確定，再根據(jù)建立空間直角坐標(biāo)系集合向量，利用向量的夾角公式求得結(jié)果.
【小問1詳解】
證明：∵是正方體，
∴平面，，即，
∵，
∴平面，
又點(diǎn)M在上，所以平面；
【小問2詳解】
選條件①：由，
根據(jù)正方體的對(duì)稱性可知，此時(shí)為上的任意一點(diǎn)，不符合題意；
選條件②：，
連接，在正方體中，根據(jù)平面，
∵平面，∴，
又，∴，
∵平面，∴，
又為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，即此時(shí)為上確定的一點(diǎn)；

選條件③：平面，
連接，∵平面，平面，
且平面平面，∴，
∵為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，即此時(shí)為上確定的一點(diǎn)；
根據(jù)題意條件①不符合題意，條件②③均可使點(diǎn)M唯一確定，并且可得到為中點(diǎn)，
根據(jù)正方體的特征建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則，
∴，則，
設(shè)平面法向量為m=x,y,z，
則，令，則，
∴，即，，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
∴直線與平面所成角為；
點(diǎn)E到平面的距離為.
20. 已知和為橢圓上的兩點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程和離心率；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求三角形AOB面積的取值范圍.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出，再利用求出，進(jìn)而得到橢圓方程與離心率；
（2）聯(lián)立橢圓方程與直線方程，求出AB弦長(zhǎng)，再求出點(diǎn)O到AB的距離，求出三角形AOB面積，研究該函數(shù)的最值即可.
【小問1詳解】
解：和為橢圓上的兩點(diǎn)，
所以，解之得，，又因?yàn)椋?
所以橢圓C的方程為，離心率.
小問2詳解】
解：聯(lián)立方程，消去得，
因?yàn)椋?br>所以設(shè)交點(diǎn)，，則，，
所以
.
又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，
所以三角形AOB面積
令，
則
（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立），
也就是當(dāng)時(shí)，三角形AOB面積取最大值
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以三角形AOB面積的取值范圍是.
21. 設(shè)有限集合，對(duì)于集合，給出兩個(gè)性質(zhì)：
①對(duì)于集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則稱A為的封閉子集；
②對(duì)于集合A中任意兩個(gè)元素，都有，則稱A為的開放子集.
（1）若，集合，判斷集合為的封閉子集還是開放子集；（直接寫出結(jié)論）
（2）若，且集合A為的封閉子集，求的最小值；
（3）若，且為奇數(shù)，集合A為開放子集，求的最大值.
【答案】（1）A為的封閉子集，B為E的開放子集
（2）9 （3）
【解析】
【分析】對(duì)于（1），利用封閉子集，開放子集定義可得答案；
對(duì)于（2），，設(shè).
因集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則，其中.據(jù)此可得，得，后排除8，再說明9符合題意即可；
對(duì)于（3），因，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，得；
當(dāng)，將里面的奇數(shù)組成集合A，說明集合A為E開放子集，且為最大值即可.
小問1詳解】
對(duì)于A，因，
且，則A為E的封閉子集；
對(duì)于B，由題可得，注意到其中任意兩個(gè)元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他兩個(gè)元素之和，且，故B為E的開放子集；
【小問2詳解】
由題：，
設(shè).
因集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則，其中.
得，，，
.因，則.
若，則，則在A中存在元素，使它們的和為.
又，則當(dāng)時(shí)，，
得，則在A中存在元素，使它們的和為.
又當(dāng)時(shí)，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.注意到奇數(shù)，且，故不存在元素，使，這與集合A為的封閉子集矛盾，故.
當(dāng)，取，易得其符合的封閉子集的定義，故的最小值為9；
【小問3詳解】
因，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，得；
當(dāng)，將里面的奇數(shù)組成集合A，則，
因A中每個(gè)元素都是奇數(shù)，而任意兩個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù)，且，則A為E開放子集，此時(shí)集合A元素個(gè)數(shù)為.下面說明為最大值.
時(shí)，顯然成立；當(dāng)，若，則中至少有一個(gè)屬于的偶數(shù)，設(shè)為，則，得為屬于集合中的奇數(shù)，這與E開放子集的定義矛盾，故.
綜上：的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合新定義，難度較大.
（1）問主要考查對(duì)于定義的理解；（2）問從定義出發(fā)，得到，得，繼而結(jié)合定義分析出；（3）問，由任意兩個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù)可構(gòu)造出集合A.

相關(guān)試卷

北京市大峪中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份北京市大峪中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題，共6頁。

北京市第八十中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份北京市第八十中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含北京市第八十中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試題Word版含解析docx、北京市第八十中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試題Word版無答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共24頁， 歡迎下載使用。

北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），文件包含北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題Word版含解析docx、北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題Word版無答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共23頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

北京市第八十中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

北京市第八十中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
北京市第八十中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

北京市第八十中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
北京市順義區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

北京市順義區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
2023-2024學(xué)年北京市第八十中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

2023-2024學(xué)年北京市第八十中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部