一、選擇題
1. 計(jì)算：（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】D
【解析】；
故選D．
2. 已知m是任意實(shí)數(shù)，則點(diǎn)一定在第幾象限（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】∵，
∴，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)坐標(biāo)為正數(shù)，
∵縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，
∴點(diǎn)一定在第四象限．
故選：D．
3. 據(jù)報(bào)道，在中國(guó)科研團(tuán)隊(duì)在聯(lián)合攻關(guān)下，成功構(gòu)建76個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章”.實(shí)驗(yàn)顯示，當(dāng)求解5000萬(wàn)個(gè)樣本的高斯玻色取樣時(shí)，“九章”僅需200秒.從運(yùn)算等效來(lái)看，“九章”的計(jì)算用時(shí)僅為“懸鈴木”用時(shí)的百億分之一.“百億分之一”用科學(xué)記數(shù)法可以表示為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】百億分之一即為故選：B.
4. 如果一個(gè)四邊形繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，所得四邊形與原四邊形重合，那么這個(gè)四邊形一定是（ ）
A. 平行四邊形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】D
【解析】A.平行四邊形繞對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)能夠與原來(lái)的圖形重合的最小的度數(shù)是180度，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.矩形繞對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)能夠與原來(lái)的圖形重合的最小的度數(shù)是180度，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C.菱形繞對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)能夠與原來(lái)的圖形重合的最小的度數(shù)是180度，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D.正方形繞對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)能夠與原來(lái)的圖形重合的最小的度數(shù)是90度，該選項(xiàng)正確．
故選：D．
5. 河南省博物院中五位講解員的年齡（單位：歲）分別為19，23，23，25，28，則三年后這五位講解員的年齡數(shù)據(jù)中一定不會(huì)改變的是（ ）
A. 方差B. 眾數(shù)C. 中位數(shù)D. 平均數(shù)
【答案】A
【解析】三年后的年齡數(shù)據(jù)為22，26，26，28，31，其中中位數(shù)和眾數(shù)都發(fā)生改變，平均數(shù)比原來(lái)大3，由于這組數(shù)據(jù)的離散程度不發(fā)生變化，可知方差不變，
故選：．
6. 計(jì)算（）3?（）2÷（﹣）的結(jié)果是（ ）
A. B. ﹣C. D. ﹣
【答案】D
【解析】原式
故選：D．
7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)，則代數(shù)式的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意得，函數(shù)y＝（x＞0）與y＝x?1的圖象交于點(diǎn)P（a，b），
∴ab＝3，b＝a?1，
∴＝=，
故選：C．
8. 如圖，在矩形中，，，作的中垂線分別與、交于點(diǎn)E、F，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】連接DF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，AB＝CD＝6，,
∵BD的中垂線分別與AD、BC邊交于點(diǎn)E、F，
∴BF＝DF，
設(shè)BF＝DF＝x，則CF＝8﹣x，
在Rt△DCF中，，
即，
解得：x，
即BF，
故選：B．
9. 點(diǎn)D是直角三角形斜邊上一點(diǎn)，于E，于F，，連接，則線段長(zhǎng)的最小值是（ ）．
A. B. 5C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意可畫出如圖：再連接．
∵于E，于F，,
∴四邊形為矩形，
∴，
∴線段的最小值=線段的最小值．
由垂線段最短可知當(dāng)時(shí)最短，即此時(shí)為邊上高．
∵中，，
∴．
∵，即，
∴，∴的最小值是．故選C．
10. 如圖，菱形的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上.已知點(diǎn)，，，點(diǎn)P是菱形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，把繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度沿A→D→C→B→A方向運(yùn)動(dòng)，則第2023秒時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ）
A. （?1，6）B. （?2，6）C. （2，6）D. （10，?6）
【答案】C
【解析】如圖，由，知，菱形邊長(zhǎng)，
∴菱形周長(zhǎng)為20，點(diǎn)P運(yùn)行菱形一周需時(shí)秒
∵
∴第2023秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)行至點(diǎn)B處
如圖，作，垂足為G，
∵，
∴
又∵，
∴
∴，
∴
∴，
故選C．
二、填空題
11. 寫出一個(gè)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，一定有意義的分式：________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】根據(jù)題意，可寫分式，
∵，
∴恒成立，
∴無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，分式一定有意義．
故答案為：
12. 已知反比例函數(shù)的圖像，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。畡tn的取值范圍是：_________．
【答案】
【解析】∵反比例函數(shù)的圖象，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．
∴，
解得
故答案為：
13. 如圖，在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于E，如果AE＝4，DE＝3，DC＝5，則AC長(zhǎng)為______．
【答案】
【解析】如圖，連接CE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE＝4，
∵DE＝3，
∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC＝AE＝4，
故答案為：4．
14. 如圖的解題過(guò)程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是__________．
【答案】5
【解析】
，
由題意，，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合題意．
∴圖中被污染的x的值是5
故答案為：5
15. 如圖，四邊形和四邊形都是正方形，反比例函數(shù)在第一象限的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，若兩正方形的面積差為12，則k的值是_______．
【答案】12
【解析】設(shè)正方形、的邊長(zhǎng)分別為a和b，則，，
∴，
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)上，
∴，
∴，
∵兩正方形的面積差為12，
∴．
故答案為：12．
三、解答題．
16. ①計(jì)算：
②解方程：
解：①
；
②方程兩邊同乘，得：
解得：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解．
17. 某中學(xué)八年級(jí)組利用班會(huì)課對(duì)全年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了一次防溺水知識(shí)測(cè)試活動(dòng)，現(xiàn)從八（1）、八（2）兩個(gè)班各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（得分用x表示），將20名學(xué)生的成績(jī)分為四組（A．，B．，C．，D．）進(jìn)行整理，部分信息如下：
八（1）班的測(cè)試成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)為：83，84，86，88
八（2）班的測(cè)試成績(jī)：76，80，81，84，86，86，86，91，93，100

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）．
（2）通過(guò)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為八（1）、八（2）中哪個(gè)班級(jí)學(xué)生對(duì)防溺水知識(shí)掌握得更好？請(qǐng)寫出一條理由．
（1）解：八（1）班第5個(gè)，第6個(gè)數(shù)據(jù)分別為83，84，
∴中位數(shù)為：，
∵八（2）班的測(cè)試成績(jī)：76，80，81，84，86，86，86，91，93，100
∴出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是86，
∴眾數(shù)是；
（2）∵八（2）班的中位數(shù)與平均數(shù)都比八（1）班高，
∴八（2）班級(jí)學(xué)生對(duì)防溺水知識(shí)掌握得更好．
18. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù) 的圖象交于兩點(diǎn)．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)圖中所標(biāo)C點(diǎn)作垂直于y軸的直線，分別交反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象于 D，E兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)D右方時(shí)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．
（1）解： 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
反比例函數(shù)解析式為：．
點(diǎn)在圖象上，
，．
點(diǎn)，在一次函數(shù)的圖象上，
，
解得，
一次函數(shù)解析式為：．
（2）解：依題意，點(diǎn)位于點(diǎn)右方時(shí)，如圖：或．
19. 小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過(guò)程與同學(xué)小潔交流．

若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說(shuō)法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．
解：贊成小潔的說(shuō)法，補(bǔ)充
證明：∵OB＝OD，
四邊形是平行四邊形，
AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．
20. 隨著“雙減”政策的落實(shí)，中學(xué)生有了更多的課余時(shí)間進(jìn)行戶外運(yùn)動(dòng)，為此某校決定購(gòu)買一批體育器材，已知足球的單價(jià)比排球的單價(jià)多30元，且用500元購(gòu)得排球，排球的數(shù)量與用800元購(gòu)得足球的數(shù)量相同．
（1）排球，足球的單價(jià)各是多少元．
（2）若該校準(zhǔn)備購(gòu)買排球和足球共11個(gè)，且足球不少于2個(gè)．設(shè)購(gòu)買排球和足球所需費(fèi)用為y元，排球有x個(gè)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)一種費(fèi)用最少的購(gòu)買方案，寫出最少費(fèi)用．
（1）解：設(shè)排球的單價(jià)為a元，則足球的單價(jià)為元，
根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解且符合題意，
∴，
答：排球的單價(jià)為50元，足球的單價(jià)為80元．
（2）解：根據(jù)題意，得，
∵，解得，
在中，，
∴y隨的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，，
此時(shí)，
即費(fèi)用最少的購(gòu)買方案為：購(gòu)買排球9個(gè)，足球2個(gè)，最少費(fèi)用為610元．
21. 如圖，在平行四邊形ABCD中，，E是CD的中點(diǎn)，連接AE、BE.
（1）求證：AE平分；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF∥BE，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AE，AF、BF交于點(diǎn)F，連接EF，求證：．
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠EAB=∠DEA，
∵E是CD的中點(diǎn)，AB=2AD，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DAE=∠EAB，
∴AE平分∠DAB；
（2）證明：∵AF∥BE，BF∥AE，
∴四邊形AFBE是平行四邊形，
由（1）得：AE平分∠DAB，
同理：BE平分∠ABC，
∴∠DAE=∠EAB，∠CBE=∠ABE，
∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°，
∴∠AEB=90°，∴四邊形AFBE是矩形，∴EF=AB．
22. 我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)和的形式，例如：，在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分?jǐn)?shù)”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．例如：像，，……這樣的分式是假分式；像，，……這樣的分式是真分式．類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式，例如：；；
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）
（2）將分式化為整式與真分式的和的形式
（3）如果分式的值為整數(shù)，求的整數(shù)值
解：（1）因?yàn)榉肿哟螖?shù)小于分母次數(shù)，我們稱之為真分?jǐn)?shù)，分式分子零次，分母1次，所以分式是真分式；
故答案為：真；
（2）=；
（3）=；
∵分式的值為整數(shù)，且x為整數(shù)，
∴x-1=±1，
∴x=2或x=0，
∴x的整數(shù)值為2或0．
23. 如圖，直線與直線交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、A重合），作軸交直線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C、P分別作y軸的垂線，垂足分別為D、E．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段長(zhǎng)為h．
①求h與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
②求證：四邊形是矩形；
③當(dāng)t為何值時(shí)，矩形是正方形．
（1）解：由題意得：點(diǎn)A坐標(biāo)滿足，
解得：．所以點(diǎn)A坐標(biāo)為．
（2）解：①∵點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為，
∵軸且交直線于點(diǎn) C,
∴點(diǎn) C的橫坐標(biāo)為t，
∴點(diǎn)C縱坐標(biāo)為，
即,
∴，
∵P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) O,A重合),
∴,
∴h與t的函數(shù)關(guān)系式為；
②證明:∵軸，軸,
∴,，
軸,
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是矩形；
③若矩形 是正方形，則，
∵點(diǎn) P坐標(biāo)為
∴
∴，解得： ，
∴當(dāng)時(shí),矩形是正方形．
班級(jí)
中位數(shù)
平均數(shù)
眾數(shù)
八（1）
83
76
八（2）
86
小惠：
證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
小潔：
這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明．

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