一、選擇題
1. 若分式的值為0，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意，得
x-2=0，且x-3≠0，
解得：x=2，
故選：A．
2. 華為搭載海思麒麟9000高端雙模芯片，工藝制程，集成了億個集成電路，，那么用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. 5×10﹣9mB. 0.5×10﹣8mC. 5×10﹣8mD. 5×10﹣7m
【答案】A
【解析】∵
∴
∴
故選：A．
3. 2023年的央視春晩舞美設(shè)計(jì)以“滿庭芳”為主題，將中華文明的傳統(tǒng)美學(xué)理念與現(xiàn)代科技相結(jié)合，令人耳目一新．演播廳頂部的大花造型，來源于中國傳統(tǒng)紋樣“寶相花”（如圖）．下列選項(xiàng)對其對稱性的表述正確的是（ ）
A. 軸對稱圖形
B. 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
C. 中心對稱圖形
D. 既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形
【答案】B
【解析】該圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，
故選：B．
4. 如果關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】C
【解析】方程去分母得，，
解得，
方程的解為正數(shù)，
，
解得，
，
，即，
故且，
故選C．
5. 已知將直線向上平移2個單位長度后得到直線，則下列關(guān)于直線的說法錯誤的是（ ）
A. 經(jīng)過第一、二、四象限
B. 與軸交于
C. 與軸交于
D. 與直線平行，隨的增大而增大
【答案】D
【解析】直線向上平移2個單位長度后的解析式為，
即，
則；
故函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，即選項(xiàng)A正確；
當(dāng)，即時，；當(dāng)時，；
故直線與軸交于，與軸交于，即選項(xiàng)B、C正確；
由于與中x的系數(shù)相同，兩人直線平行，但，則隨的增大而減小，故選項(xiàng)D錯誤；
故選：D．
6. 若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)圖象上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵反比例函數(shù)中，，
∴此函數(shù)的圖象在一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?br>∵，，
∴點(diǎn)，在第三象限，在第一象限，
∴，，
∴，故選：D．
7. 已知的周長為，對角線、交于點(diǎn)，且的周長比的周長多，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
的周長為，
，
的周長比的周長多，
，
，
，
故選D．
8. 如圖，在矩形中，連接，以點(diǎn)為圓心，小于的長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)、，分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，畫射線交于點(diǎn)．若，，則的面積為（ ）
A. 9B. 15C. 18D. 30
【答案】B
【解析】如圖，過點(diǎn)H作于點(diǎn)P，則；
在矩形中，，，
；
由尺規(guī)作圖知，平分，
；
，
，
，；
由勾股定理得，；
設(shè)，則；
在中，由勾股定理得：，
解得：，即，
；
故選：B．
9. “龜兔賽跑”這則寓言故事講述的是比賽中兔子開始領(lǐng)先，但它因?yàn)轵湴猎谕局兴X，而烏龜一直堅(jiān)持爬行最終贏得比賽，下列函數(shù)圖象可以體現(xiàn)這一故事過程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】領(lǐng)先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，兔子驕傲起來，睡了一覺，在圖形上來看在一段時間內(nèi)兔子所行路程不變，當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到了終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜先到達(dá)了終點(diǎn)，說明烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時兔子還沒到達(dá)，所以排除A、C、D，
所以符合題意的是B，故選B.
10. 如圖，直線l和雙曲線y=(k>0)交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB上的點(diǎn)(不與A、B重合)，過點(diǎn)A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D、E，連接OA、OB、OP，設(shè)△AOC的面積為、△BOD的面積為、△POE的面積為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)雙曲線的解析式可得
所以可得
設(shè)OP與雙曲線的交點(diǎn)為，過作x軸的垂線，垂足為M
因此
而圖象可得
所以
故選：D．
二、填空題
11. 要將化成最簡分式，應(yīng)將分子分母同時約去它們的公因式，這個公因式為______．
【答案】
【解析】與的公因式為，
故答案為：．
12. 添加一個條件，使矩形ABCD是正方形，這個條件可能是 _____．
【答案】或或或或
【解析】根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形得：這個條件可能是或或或，
根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形得：這個條件可能是，
故答案為：或或或或．
13. 明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進(jìn)兩步（尺），此時踏板升高離地五尺（尺），求秋千繩索（或）的長度______．
【答案】14.5尺
【解析】設(shè)尺，
∵尺，尺，
∴尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根據(jù)勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
答：秋千繩索長度為尺．
14. 如圖，菱形對角線的長分別為2和，是對角線上任一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則陰影部分的面積是______．
【答案】3
【解析】設(shè)與交于點(diǎn)G，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：3．
15. 如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，點(diǎn)E為射線DC上一個動點(diǎn)，把△ADE沿直線AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時，則點(diǎn)F到邊CD的距離為 _____．
【答案】2或8
【解析】根據(jù)題意得：AF=AD=5，
設(shè)線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠ANM=90°，
∴四邊形ADMN為矩形，
∴MN=AD=5，MN⊥CD，
∵點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上，AB=8，
∴，
∴，
如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形ABCD內(nèi)部時，
∴MF=MN-FN=2；
如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形ABCD外部時，
MF=MN+FN=8；
綜上所述，點(diǎn)F到邊CD的距離為2或8．故答案為：2或8
三、解答題
16. （1）計(jì)算和解方程
①計(jì)算：
②解分式方程：
（2）先化簡，再求值：，并從的解集中選一個你喜歡的合適的整數(shù)作為的值代入求值．
（1）①解：



②解：去分母得：
去括號得：
移項(xiàng)得：
合并同類項(xiàng)得：
系數(shù)化為1得：
檢驗(yàn)：當(dāng)時，
原方程的解為
（2）解：



要使分式有意義，
可取的整數(shù)有，0，1．
當(dāng)時，原式．
17. 新鄭紅棗又名雞心棗，是河南省鄭州市新鄭市的特產(chǎn)，素有“靈寶蘋果潼關(guān)梨，新鄭大棗甜似蜜”的盛贊．某外貿(mào)公司從甲、乙兩個紅棗廠家各隨機(jī)抽取10盒進(jìn)行檢測，共分為三個等級：合格，良好，優(yōu)秀），下面給出了部分信息：
10盒甲廠質(zhì)量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10盒乙廠質(zhì)量中“良好”等級包含的所有數(shù)據(jù)為：85，90，90，90，94
抽取的甲、乙廠質(zhì)量統(tǒng)計(jì)表

根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：______，______，______；
（2）這個月乙廠可包裝3000盒紅棗，估計(jì)該月“優(yōu)秀”等級的盒數(shù)；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為外貿(mào)公司會選擇______紅棗廠家（填“甲”或“乙”）．請說明理由（寫出一條理由即可）．
解：（1）甲廠10盒中數(shù)據(jù)出現(xiàn)最多的是95，
故，
乙廠“優(yōu)秀”等級所占百分比為，
故“優(yōu)秀”等級有3盒，而“良好”等級包含的所有數(shù)據(jù)為：85，90，90，90，94，
“合格”等級有2盒，
故10個數(shù)據(jù)由小到大排列，第5、6個數(shù)據(jù)是90，90，故中位數(shù)，
乙廠“合格”等級占比，故，
故答案為：95，90，20．
（2）這個月乙廠可包裝3000盒紅棗，估計(jì)該月“優(yōu)秀”等級的盒數(shù)（盒）
（3）選擇甲紅棗廠家，平均數(shù)一樣，但“優(yōu)秀”等級占比大，甲廠方差比乙廠小，質(zhì)量比乙廠穩(wěn)定，眾數(shù)比乙廠大．
18. 如圖，在中，，為銳角，點(diǎn)是對角線的中點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組要在上找兩點(diǎn)、，使四邊形為平行四邊形，“勤思小組”現(xiàn)總結(jié)出甲、乙、丙三種方案如下：

請回答下列問題：
（1）以上方案能得到四邊形． 為平行四邊形的是______．
（2）請將（1）中方案的證明過程寫下來（如果有多種只寫一種即可，寫多種方案的證明過程不扣分也不多給分）．
（1）解：以上方案都能得到四邊形為平行四邊形，
故答案為：甲、乙、丙；
（2）解：方案甲：
連接，如圖，

四邊形是平行四邊形，為的中點(diǎn)，
，，
、分別為、的中點(diǎn)，
，

四邊形為平行四邊形
方案乙：
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，，
，，
，
四邊形是平行四邊形．
方案丙：
四邊形是平行四邊形，

，，
，，
在和中，
，

四邊形為平行四邊形．
19. 某生態(tài)體驗(yàn)園推出了甲，乙兩種消費(fèi)卡，設(shè)入園次數(shù)為x次，所需費(fèi)用為y元，選擇這兩種卡消費(fèi)時，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，解答下列問題：

（1）分別求出選擇這兩種卡消費(fèi)時，，關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并結(jié)合題意，說明B點(diǎn)的實(shí)際意義；
（3）當(dāng)入園次數(shù)為12次時，選擇哪種卡消費(fèi)比較合算？
（1）解：設(shè)，把代入得：，
解得：，
∴，
設(shè)，把，代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：聯(lián)立，
解得：，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
B點(diǎn)表示入園次數(shù)為15次時，兩種消費(fèi)卡所需費(fèi)用相同，都是450元．
（3）解：入園次數(shù)為12次時，甲消費(fèi)卡所需費(fèi)用為（元），乙消費(fèi)卡所需費(fèi)用為（元），
∵，
∴選擇甲消費(fèi)卡比較合算．
20. 已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B(5，0)，若OB＝AB，且．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）直接寫出當(dāng)x＞0時，kx+b＜的解集；
解：（1）如圖1，過點(diǎn)作軸于，
，
，
，
，
，
，，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
，，
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
點(diǎn)，在一次函數(shù)的圖象上，
，
，
一次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）結(jié)合圖象可知：當(dāng)x＞0時，不等式kx+b＜的解集為0＜x＜9．
21. 如圖，是等邊三角形，將沿直線平移到的位置，連接，交于點(diǎn)．
（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）請?jiān)趫D中連接，則四邊形一定是菱形嗎？為什么？
解：（1），理由如下：
是等邊三角形，由平移而得，
，，
，
，
，，
∴，且，
∴，，即．
（2）四邊形一定是菱形．
理由如下：由平移知，，
四邊形是平行四邊形．
由（1）可知，，
平行四邊形是菱形．
22. 煙花爆竹的發(fā)明與火藥技術(shù)的使用息息相關(guān)．最初的爆竹是由唐朝的李畋發(fā)明的，他利用火藥、紙筒等材料制作爆竹，目的是產(chǎn)生巨大聲響以驅(qū)鬼辟邪，煙花爆竹不僅在重要節(jié)日以示慶賀，還承載著中國人迎祥納福的美好愿望．小紅的爸爸是一家煙花爆竹店的老板，在春節(jié)前購進(jìn)甲，乙兩種煙花，用3120元購進(jìn)甲種煙花與用4200元購進(jìn)乙種煙花的數(shù)量相同，乙種煙花進(jìn)貨單價比甲種煙花進(jìn)貨單價多9元．
（1）求甲、乙兩種煙花的進(jìn)貨單價；
（2）小紅的爸爸打算再購進(jìn)甲、乙兩種煙花共1000個，其中乙種煙花的購貨數(shù)量不少于甲種煙花數(shù)量的3倍，如何進(jìn)貨才能花費(fèi)最少？并求出最少的花費(fèi)．
解：（1）設(shè)甲種煙花的進(jìn)貨單價為x元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價為元，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，
則，
答：甲種煙花的進(jìn)貨單價為26元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價為元；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種煙花m個，則乙種煙花個，花費(fèi)為y元，
由題意得：，
∵乙種煙花的購貨數(shù)量不少于甲種煙花數(shù)量的3倍，
∴，
解得：，
∵，則y隨m的增大而減小，
∴當(dāng)時，y最小，最小為元，
則，
答：購進(jìn)甲種煙花個，則乙種煙花個，花費(fèi)最少元．
23. 【問題情境】如圖1，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)），延長交于點(diǎn)，連接．

【猜想證明】
（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
【解決問題】
（3）如圖1若，，求．
解：（1）四邊形是正方形，理由如下：
∵將繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，
∴，，，
又∵，
∴四邊形是矩形，
又∵，
∴四邊形是正方形；
（2），證明如下：
如圖②所示，過點(diǎn)D作，垂足為H，則，

∴，
∵，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知四邊形是正方形，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
∴， ∴；
（3）如圖1，過點(diǎn)D作于H，

∵四邊形是正方形，
∴，∴，
∵，∴，∴，
又∵，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
在中，．廠家
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
“優(yōu)秀”等級所占百分比
甲
90
89
a
26.6
40%
乙
90
b
90
39
30%

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